【C++】：AVL树

朋友们、伙计们，我们又见面了，本期来给大家解读一下有关多态的知识点，如果看完之后对你有一定的启发，那么请留下你的三连，祝大家心想事成！

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1. AVL树的概念

2. AVL树节点的定义

3. AVL树的插入

3.1 AVL树的旋转

1. 右单旋

2. 左单旋

3. 先左单旋再右单旋（双旋）

4. 先右单旋再左单旋（双旋）

4. AVL树的验证

4.1 AVL树的性能

1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：

当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树都是AVL树
左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
$O(\log N)$ ，搜索时间复杂度 $O(\log N)$ 。

2. AVL树节点的定义

在这里我们定义AVL树使用一个pair来存储数据，关于AVL树其中除了左右子树的节点指针，还需要一个记录父亲的节点指针，并且需要存储一个平衡因子。平衡因子是右子树的高度减去左子树的高度。
//AVL树节点的定义
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{AVLTreeNode<K, V>* _left;   //左子树AVLTreeNode<K, V>* _right;  //右子树AVLTreeNode<K, V>* _parent; //父节点pair<K, V> _kv;             //存储节点数据的kv模型int _bf;                    //平衡因子//AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr), _right(nullptr),_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0){}
};

3. AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

如果插入的节点在左边，那么就需要将平衡因子--，如果插入的节点在右边，平衡因子就需要++，并且需要注意的是当平衡因子改变之后，如果为0，代表平衡，不需要其他操作，如果改变之后为1或者-1，那么同样的也需要对它祖先的平衡因子进行改变，直到它的父节点为空即可停止，如果改变之后的平衡因子为-2或者2，那么就表示出现的不平衡现象，需要进行旋转。
//插入
bool Insert(const pair<K,V>& kv){//1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);retrun true;}while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->rigth;}elseretrun false;}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}//2. 调整节点的平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur)    //插入的节点在左边时，平衡因子--parent->_bf--;else (parent->_right == cur) //插入的节点在右边时，平衡因子++parent->_bf++;if (parent->_bf == 0)        //判断平衡因子时候合理break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)  //插入新的节点导致高度变化，//所以得依次向上去调整它们父亲的平衡因子{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//平衡出现差错，需要进行旋转调整//...}else   //如果平衡因子不为上述情况，那么就不能再继续了assert(false);}return true;}

3.1 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

1. 右单旋

新节点插入较高左子树的左侧---左左：右单旋

需要注意的一个点，我们不确定这棵树是不是另外一棵树的一个子树，所以还需要将parent的父亲记录下来，如果这棵树就是独立的，那么只需要将subL设置为新的根节点即可，如果是另外一棵树的子树，那么就需要将旋转完之后的树链接在它的祖先上。

首先将根节点记为parent，因为需要右旋，所以肯定是左边高往右边旋转，所以将parent的左子树记为subL，将subL的右子树记为subLR，接下来就需要需要旋转了，将parent的左指向subLR，然后将subL的右指向parent，这样子就完成了右旋。

需要注意的是在修改完各各节点的链接时，它们原来的父亲关系就需要重新设置，比如上面的图，将parent的父亲指向subL，将subLR的父亲指向parent（subLR不一定为空，所以需要判断一下再进行链接）此时只需要将各各节点的平衡因子修改即可，在右旋之后可以发现subL和parent的平衡因子都变成了0，所以直接对它们各自的平衡因子修改即可
//右单旋void Rotate_right(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;Node* ppNode = parent->_parent;//旋转链接parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;//链接祖先if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent){ppNode->_left = subL;}else{ppNode->_right = subL;}subL->_parent = ppNode;}//修改平衡因子subL->_bf = parent->_bf = 0;}
2. 左单旋

左单旋和右单旋的情况类似，只不过左单旋是右边高往左边旋转，类似的可以参考右单旋的思路。
//左单旋void Rotate_left(Node* parent){Node* subR = parent->_right;  //右子树的节点Node* subRL = subR->_left;    //Node* ppNode = parent->_parent;//旋转->重新链接subR->_left = parent;parent->_parent = subR;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;//链接祖先if (_root == parent){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (ppNode->_left == parent)ppNode->_left = subR;elseppNode->_right = subR;subR->_parent = ppNode;}//修改平衡因子parent->_bf = subR->_bf = 0;}
3. 先左单旋再右单旋（双旋）

左右双旋在这里依旧存在三种情况：

①插入在subLR的左边

②插入在subLR的右边

③subLR就是新插入的节点

双旋的情况可以看到是一个折线的样子，根据偏转的方向来确定首先向哪边旋转，先将根节

点记为parent，再将parent的左记为subL，将subL的右记为subLR，先以subL为根进行左单旋，然后再以parent为根进行右单旋。然后根据上述三种情况修改平衡因子。

可以根据subLR的平衡因子来修改parent、subL、subLR的平衡因子：

①如果subLR的平衡因子是-1，那么在双旋完之后，需要将parent的平衡因子修改为1，将其他两个修改为0。

②如果subLR的平衡因子是1，那么在双旋完之后，需要将subL的平衡因子修改为-1，将其他两个修改为0。

③如果subLR的平衡因子是0，那么parent、subL、subLR的平衡因子修改为0。
//左右双旋void Rotate_left_right(Node* parent){Node* subL = parent->-left;Node* subLR = subL->_right;//记录插入之后的平衡因子int bf = subLR->_bf;//先左旋Rotate_left(subL);//再右旋Rotate_right(parent);//修改平衡因子if (bf == 0)   //本身就是新插入的节点{subL->_bf = subLR->_bf = parent->_bf = 0;}else if (bf == -1)  //左边插入{parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1)  //右边插入{subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(flase);}}
4. 先右单旋再左单旋（双旋）

同样的这里也存在三种情况：

①插入在subRL的左边

②插入在subRL的右边

③subRL就是新插入的节点

右左双旋的逻辑和左右双旋的逻辑一样，可以参考上面的。
//右左双旋void Rotate_right_left(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;Rotate_right(subR);Rotate_left(parent);if (bf == 0){subR->_bf = subRL->_bf = parent->_bf = 0;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}elseassert(false);}

解决完插入中的旋转问题之后我们将旋转融入到插入的整个代码中：

bool Insert(const pair<K,V>& kv){//1. 先按照二叉搜索树的规则将节点插入到AVL树中Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);retrun true;}while (cur){if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->rigth;}elseretrun false;}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.first > kv.first){parent->_left = cur;cur->_parent = parent;}else{parent->_right = cur;cur->_parent = parent;}//2. 调整节点的平衡因子while (parent){if (parent->_left == cur)    //插入的节点在左边时，平衡因子--parent->_bf--;else (parent->_right == cur) //插入的节点在右边时，平衡因子++parent->_bf++;if (parent->_bf == 0)        //判断平衡因子时候合理break;else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)  //插入新的节点导致高度变化，//所以得依次向上去调整它们父亲的平衡因子{cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//平衡出现差错，需要进行旋转调整if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)         //左单旋情况Rotate_left(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)  //右单旋情况Rotate_right(parent);else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)   //左右双旋情况Rotate_left_right(parent);else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)   //右左双旋情况Rotate_right_left(parent);// 1、旋转让这颗子树平衡了// 2、旋转降低了这颗子树的高度，恢复到跟插入前一样的高度，所以对上一层没有影响，不用继续更新break;}else   //如果平衡因子不为上述情况，那么就不能再继续了assert(false);}return true;}

4. AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1. 验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

2. 验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
节点的平衡因子是否计算正确
//判断是否平衡bool IsBalance(){return _IsBalance(_root);}//计算树的高度int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);   //左子树的高度int rightHeight = _Height(root->_right); //右子树的高度//返回左右子树高度较高的那一颗树+1return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}bool _IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHeight = _Height(root->_left);   //左子树的高度int rightHeight = _Height(root->_right); //右子树的高度if (rightHeight - leftHeight != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}//右子树-左子树高度不超过2则为AVL树return abs(rightHeight - leftHeight) < 2&& _IsBalance(root->_left)&& _IsBalance(root->_right);}

4.1 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $O(\log N)$ 。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。