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本文参考：
B站：DR_CAN
Dr. CAN学习笔记-数学基础Ch0-2 特征值与特征向量
- 1. 定义
- 1.1 线性变换
- 1.2 求解特征值，特征向量
- 1.3 应用：对角化矩阵——解耦Decouple
- 2. Summary
1. 定义
A v ⃗ = λ v ⃗ A\vec{v}=\lambda \vec{v} Av=λv
对于给定线性变换 A A A，特征向量eigenvector v ⃗ \vec{v} v 在此变换后仍与原来的方向共线，但长度可能会发生改变，其中 λ \lambda λ 为标量，即缩放比例，称其为特征值eigenvalue
1.1 线性变换
1.2 求解特征值，特征向量
A v ⃗ = λ v ⃗ ⇒ ( A − λ E ) v ⃗ = 0 ⇒ ∣ A − λ E ∣ = 0 A\vec{v}=\lambda \vec{v}\Rightarrow \left( A-\lambda E \right) \vec{v}=0\Rightarrow \left| A-\lambda E \right|=0 Av=λv⇒(A−λE)v=0⇒∣A−λE∣=0
1.3 应用：对角化矩阵——解耦Decouple
P = [ v ⃗ 1 , v ⃗ 2 ] P=\left[ \vec{v}_1,\vec{v}_2 \right] P=[v1,v2]—— coordinate transformation matrix
A P = A [ v ⃗ 1 v ⃗ 2 ] = [ A [ v 11 v 12 ] A [ v 21 v 22 ] ] = [ λ 1 v 11 λ 2 v 21 λ 1 v 12 λ 2 v 22 ] = [ v 11 v 21 v 12 v 22 ] [ λ 1 0 0 λ 2 ] = P Λ ⇒ A P = P Λ ⇒ P − 1 A P = Λ AP=A\left[ \begin{matrix} \vec{v}_1& \vec{v}_2\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} A\left[ \begin{array}{c} v_{11}\\ v_{12}\\ \end{array} \right]& A\left[ \begin{array}{c} v_{21}\\ v_{22}\\ \end{array} \right]\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} \lambda _1v_{11}& \lambda _2v_{21}\\ \lambda _1v_{12}& \lambda _2v_{22}\\ \end{matrix} \right] =\left[ \begin{matrix} v_{11}& v_{21}\\ v_{12}& v_{22}\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \lambda _1& 0\\ 0& \lambda _2\\ \end{matrix} \right] =P\varLambda \\ \Rightarrow AP=P\varLambda \Rightarrow P^{-1}AP=\varLambda AP=A[v1v2]=[A[v11v12]A[v21v22]]=[λ1v11λ1v12λ2v21λ2v22]=[v11v12v21v22][λ100λ2]=PΛ⇒AP=PΛ⇒P−1AP=Λ
- 微分方程组 state-space rep
2. Summary
- A v ⃗ = λ v ⃗ A\vec{v}=\lambda \vec{v} Av=λv 在一条直线上
- 求解方法： ∣ A − λ E ∣ = 0 \left| A-\lambda E \right|=0 ∣A−λE∣=0
- P − 1 A P = Λ , P = [ v ⃗ 1 v ⃗ 2 ⋯ ] , Λ = [ λ 1 λ 2 ⋱ ] P^{-1}AP=\varLambda , P=\left[ \begin{matrix} \vec{v}_1& \vec{v}_2& \cdots\\ \end{matrix} \right] , \varLambda =\left[ \begin{matrix} \lambda _1& & \\ & \lambda _2& \\ & & \ddots\\ \end{matrix} \right] P−1AP=Λ,P=[v1v2⋯],Λ= λ1λ2⋱
- x ˙ = A x , x = P y , y ˙ = Λ y \dot{x}=Ax, x=Py,\dot{y}=\varLambda y x˙=Ax,x=Py,y˙=Λy
