一、舒尔特方格简介

二、如何生成舒尔特方格

（一）线性同余法

1、利用线性同余法生成随机数序列的规律

(1) 当a和c选取合适的数时，可以生成周期为m的随机数序列

(2) 种子seed取值也是有周期的

2、利用线性同余法生成5阶舒尔特方格的程序

(1)先验证当x0不变时，生成的随机数序列是有周期的

(2)验证seed值x0也具有周期性

(3)生成5维舒尔特方格数字

（二）利用rand()函数

1、rand()函数搭配srand(time(NULL))函数

2、动态取模法

(1)初始化

(2)随机将a中数据存入b中

3、图解动态取模法

(1)a、b初始状态

(2)生成第一个随机数

(3)生成第二个随机数

（4）执行最后一步

4、动态取模法代码

rand()随机函数可以用来生成舒尔特方格数字。下边先介绍一下舒尔特方格。

一、舒尔特方格简介

舒尔特方格是用来测试和训练专注力的，百度百科的介绍如下：

舒尔特方格，画一张有25个小方格(规格1cm*1cm)的表格，将1~25的数字顺序打乱，填在表格里面，然后以最快速度从1数到25，要边读边指出，一人指读一人帮忙计时。

采用盯点法就可以随时训练的，在教室和家里，每天盯着某个点和物体看上几分钟就可以的，还可以采用舒尔特训练法。

运用这种方法的时候，可以自制几套卡片，绘制表格，任意填上数字。从 1开始，边念边指出相应的数字，直到25为止。同时诵读出声，施测者一旁记录所用时间。数完 25 个数字所用时间越短，注意力水平越高。以 12 —— 14 岁年龄组为例，能达到 16 "以上为优秀， 26 "属于中等水平， 36 "则需要进行强化提高。

注：百度百科上介绍的舒尔特方格是5维(5行5列)规格的，而实际维数是可变的，维数越高难度越大，1维2维太简单，一般不用。3维、4维属于初级难度，5维6维属于中级难度，7级及以上就属于难度比较高级的了。

二、如何生成舒尔特方格

5维舒尔特方格内数字的排列不是固定的，位置是随机的，运用排列组合的知识可以知道，一共有25！个不同的排列方式。用人工排列生成的方法显然是不可行的，那么用什么算法可以实现这个目的呢？下边介绍两种方法。

（一）线性同余法

在上一篇文章中介绍了线性同余生成随机数的方法。线性同余的公式如下所示：

$x_{n+1}=(a*x_{n}+c) mod(m)$ (1)

其中a是乘法器，c是增值，m是模，这三个都是常数， $x_{n}$ 是生成的随机数序列，当n=0时， $x_{0}$ 的值称为种子seed。

1、利用线性同余法生成随机数序列的规律

(1) 当a和c选取合适的数时，可以生成周期为m的随机数序列

周期为m的意思就是，在一个周期内，利用公式（1）迭代计算m次，正好可以把数字0~m-1每个数字都可以生成且只生成一次，而且最后一次迭代生成的数正好就是种子数 $x_{0}$ 。迭代到第m+1次时，生成的数字和第一次迭代生成的数字 $x_{1}$ 一样，再接着迭代就会重复上一个周期。生成一个周期内的数字排列顺序表面看是无规律，实际上是由公式（1）计算出来的，所以叫伪随机数。

还需要注意，并不是任意取一组a和c，就可以生成周期为m的伪随机数序列。a和c的取值是有限定条件的，条件如下图所示。

(2) 种子seed取值也是有周期的

利用公式(1)，当a、c、m都确定后，当seed值选取不同时，生成的随机数序列也不同。但是需要注意，并不是任意取一个seed值，生成的随机数序列都不一样，seed取值也是有周期的，当随机数的周期是m时，seed的周期也是m。也就是seed=0时，和seed=m时，生成的随机数序列是一样的。也就是利用线性同余方法，生成不同的随机数序列最多有m种。

2、利用线性同余法生成5阶舒尔特方格的程序

5阶舒尔特方格的数字范围为1~25，每个格子数字各不相同，排列顺序随机。所以可以考虑使用线性同余法。经过测试，发现当c=11，a=11时，利用线性同余计算出来的伪随机数序列的周期是25。

(1)先验证当x0不变时，生成的随机数序列是有周期的

编写一个给定x0=0，生成两个周期随机数的测试程序如下：

#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int i,x0=0,a=11,c=11,m=25;	//确定a=11，c=11，m=25	for(i=0;i<m*2;i++)		//此循环用于生成2个周期内的随机数 {x0=(a*x0+c)%m;cout<<x0<<" ";}cout<<endl; return 0;
}

下图是测试结果，图中黄色框内是第一个周期的25个随机数，绿色框内是第二个周期内的25个随机数。可以看出两个周期内的随机数排列顺序完全一致，因此说明当x0不变时，生成的随机数呈周期性变化。

(2)验证seed值x0也具有周期性

编写一个x0从0增加到49(两个周期)时，每个seed值生成一个周期的随机函数序列，代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int i,j,x0,a=11,c=11,m=25;	//确定a=11，c=11，m=25 for(j=0;j<m*2;j++) 			//此循环用于使种子值从0增加到49 {x0=j;cout<<"seed="<<x0<<"：";		for(i=0;i<m;i++)		//此循环用于生成一个周期内 {x0=(a*x0+c)%m;cout<<x0<<" ";}cout<<endl; }	return 0;
}

下图是测试结果如下图，从图中可以发现，seed值在0~24范围内(黄线以上)，生成的25个随机数序列各不相同，而seed在25~49范围内（黄线以下）时的随机序列，与0~24范围内依次对应，完全一样，说明，seed值对随机序列的影响也是周期性的，周期也是25。

综上所述，利用基本的线性同余算法，对于5维舒尔特方格，最多只能生成25个不同的排列。

(3)生成5维舒尔特方格数字

本例程序，将生成的25个5维舒尔特方格数字输出到一个csv文件内。因为利用线性同余算法生成的随机数范围为0~24，而5维舒尔特方格内的数字为1~25，所以只需将生成的随机数再加1即可。

#include <iostream>
#include <fstream>using namespace std;int main()
{int i,j,x0,a=11,c=11,m=25;	//确定a=11，c=11，m=25 ofstream oFile;				//新建一个ofstream文件oFileoFile.open("ShultGrid.csv",ios::out|ios::trunc);//打开oFile文件，文件名称为"ShultGrid.csv"for(j=0;j<m;j++) 			//此循环用于使种子值从0增加到49 {x0=j;oFile<<"舒尔特方格"<<x0;		for(i=0;i<m;i++)		//此循环用于生成一个周期内 {x0=(a*x0+c)%m;			if(i%5==0)			//每5个数字分成一行 {oFile<<endl;	}oFile<<x0+1<<",";	//生成的随机数为0~24，加1后变为1~25。输入一个","，代表光标移动到同一行的下一个单元格 }oFile<<endl<<endl; 		//最后一行回车，然后再空一行 }	return 0;
}

以下是程序运行后，生成的csv文件部分舒尔特方格截图。

（二）利用rand()函数

以上介绍了利用线性同余法生成舒尔特方格的方法，方法比较简单，但是最大的缺点是只能生成25个不同的排列。要想生成更多不同的排列，还需要用其他的方法。而利用rand()函数就是一种可行的方法。

1、rand()函数搭配srand(time(NULL))函数

在上一讲种介绍了，可以利用rand()搭配srand(time(NULL))函数，生成1~25的随机数，代码如下所示。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <windows.h>
#include <stdio.h>
#include <unistd.h>
#include <sys/types.h>
using namespace std;int main()
{int m,n;cin>>n>>m; 
//	srand(getpid());srand(time(NULL));while(1){cout<<rand()%(m-n+1)+n<<endl;Sleep(1000);}}

运行代码，输入n=1，m=25，生成的结果如下图所示。从图中可以看出，在前25个数中，有重复的数字，还缺了一些数字。这是因为rand()函数是以32768为模，在一个周期内可以生成0~32767范围内互不相同的随机数序列。但是rand()%25的结果就可能在0~25范围内会出现重复或者缺失的情况。

所以，用这种方法是不可行的。

2、动态取模法

本例提出了一种新的方法实现不同维数舒尔特方格的生成方法，也需要用到rand()、srand()函数，在算法上采用动态取模方法。

动态取模算法的思路是：

(1)初始化

声明两个长度为25的一维数组a[25]，b[25]，数组a用来按顺序存放1~25数字，b用来存放从a中随机取出来的数字。用j表示数组b的角标，i表示数组a[]的角标，k表示需要更新数据的a[]的角标。

(2)随机将a中数据存入b中

从j=0开始，依次随机将a中的一个数字，存入到b[j]中，然后将a中角标i以后的有效数字依次向前移动一位。此时a[i]就被覆盖了，而a[24-j]那个位置的数据就无效了，下次取数字就不会再考虑这个位置。a中有效数字就是a中还没有被存入到b中的数字。a的角标i是用srand()搭配rand()%(25-j)随机生成的。此步关键代码为

srand(time(NULL));
i=rand()%(25-j);b[j]=a[i];a[i]=a[i+1];

模m=25-j，是可变的，因为每次从a中取走一个数字，a中的有效数字就减少了一个，所以生成的随机数范围就要减少1，也就是模m是依次减少1，是动态可变的，所以叫动态取模法。

3、图解动态取模法

(1)a、b初始状态

a、b初始化后的状态如下图所示。

(2)生成第一个随机数

假设第一次i=3，则把a[3]的值4赋给b[0]，然后从i=3开始，到i=23结束，执行a[i]=a[i+1]进行数据更新。a、b数组执行生成随机数前后的对比如下图所示。图中a数组中有效的数字所占据的空间用绿色填充，无效的空间用白色填充。数组b中已经填入的随机数字用蓝色填充，没有填入数字的用白色填充。

(3)生成第二个随机数

假设第二次i=22，那么取出其中存储的数据24，放入b[1]中，然后从i=22开始，到i=22结束，执行a[i]=a[i+1]进行数据更新。a、b数组执行生成随机数前后的对比如下图所示。

（4）执行最后一步

执行到第25步时，a、b数组内的存储情况如下图所示。

4、动态取模法代码

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <fstream>
#include <string>
using namespace std;int* diff_random(int m,int num)
{int a[num];//a数组用于按1-num顺序存放初始数字，b用于存放随机生成的舒尔特数字 int *b=new int[num];int i,j,k;	for(i=0;i<num;i++)//初始化初始数字数组 {a[i]=i+m;}srand(time(NULL));for(j=0;j<num;j++)			//利用无重复随机数算法生成舒尔特方格数组，j为生成数组的序号 {i=rand()%(num-j);		//生成数组a的随机序号，范围为0~num-j,用i表示 b[j]=a[i];				//将a[i]中存放的数字(也就是i+1)赋值给b[j]for(k=i;k<num-j-1;k++)	//将a[i]中存放的数字删除，将a[i+1]~a[num-j]的数字依次向前移动一个位置 {a[k]=a[k+1];}	}for(i=0;i<num;i++)			//初始化初始数字数组 {cout<<a[i]<<endl;}	return b;
}int main()
{int dim,num;//dim:舒尔特方格维数,num:方格个数 cout<<"请输入舒尔特方格维数："<<endl;cin>>dim; num=dim*dim;int i;int *b=diff_random(1,num);ofstream oFile;//新建一个ofstream文件oFileoFile.open("ShultGrid1.csv",ios::out|ios::trunc);//打开oFile文件，文件名称为"ShultGrid.csv"oFile<<dim<<"维舒尔特方格"<<endl;	for(i=0;i<num;i++){oFile<<b[i]<<",";if((i+1)%dim==0){oFile<<endl;}	}oFile.close();cout<<dim<<"维舒尔特方格已生成，请打开ShultGrid1.csv文件查阅"<<endl;return 0;
}