插入乘号
题目描述
给定一个非负整数，用k个乘号将其分割，使得乘积最大。
例如：在整数12345中插入两个乘号，有以下插入法：
1*2*345 1*23*45 1*234*5
12*3*45 12*34*5
123*4*5
其中最大值是123*4*5 = 2460
关于输入
一行两个非负整数，非负整数s（s ≦ 10^9）和乘号的个数k（0 ≦ k < s的位数）。
输入保证，如果按题目要求的乘法操作，不会使int发生溢出。
关于输出
一行一个整数，即乘积的最大值
例子输入
12345 2
例子输出
2460
解题分析
动态规划能够解决的问题，一般可看出解决此问题需要解决的子问题，本题中，题目给出了两个信息，一个是一个非负整数，另一个是插入的乘号的数量，我们需要想想，本题的dp数组应该如何去定义？一维还是二维？这取决于，我们能用几个状态来描述清楚问题。
再来复习一下动态规划的基本思路：
动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种解决复杂问题的策略，主要用于优化问题，如求最大值、最小值或者计数问题等。下面是动态规划的基本思路和解决策略：
1. **确定状态**：在动态规划中，状态通常表示为一个或多个变量的组合，这些变量能够完全描述一个问题。例如，在背包问题中，状态可能是当前的重量和价值。
2. **确定状态转移方程**：状态转移方程是描述如何从一个状态到另一个状态的规则。在大多数情况下，这个规则是基于问题的特性和逻辑来确定的。例如，在最长公共子序列问题中，如果两个字符相等，那么最长公共子序列的长度就是前一个状态的长度加一；否则，最长公共子序列的长度就是前两个状态中较大的那个。
3. **确定边界条件**：边界条件描述了当问题降到最小规模时的解。例如，在斐波那契数列问题中，边界条件是第一项和第二项分别为1。
4. **计算并存储状态**：在动态规划中，一般会使用一个表格（一维、二维或者更高维度）来存储所有的状态。计算顺序通常是从边界条件开始，根据状态转移方程逐步计算出所有的状态。
5. **根据存储的状态得到最终结果**：在计算出所有的状态后，可以根据题目要求从存储的状态中得到最终的结果。
动态规划的关键是理解状态和状态转移方程的概念。一旦理解了这两个概念，就可以应用动态规划来解决各种各样的问题。在实际应用中，可能需要花费一些时间和思考来确定正确的状态和状态转移方程。
对于我们现在面临的问题，可以发现的，我们这样去定义dp数组，用两个变量来描述清楚问题，dp[i][j]，其中，i表示我们想要处理的数字的前i位，而j表示我们想要插入的乘号的数量。
转移方程呢？怎么去书写？
首先我们需要一个函数去帮助我们去对输入的整数进行分割，sub(i,j)表示从i位置到j位置的切割数字。
接下里，我们可以把问题化小，对于dp[i][j]即在前i个字符内插入j个乘号，问题等价于，我们从k=j位置开始（因为要插入j-1个乘号），在前k个位置先插入j-1个乘号，再把最后一个乘号放在第k个位置，然后不断增加k直至k到i-1位置，所以，我们有,dp[i][j]=max(dp[j][j-1]*sub(j,i-1),dp[j+1][j-1]*sub(j+1,i-1).....dp[i-1][j-1]*sub(i-1,i-1))，这个过程可以通过循环实现。
dp代码实现如下
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;char num[10];
int k;
int dp[10][10]={0};int sub(int i,int j){int ans=0;while(i<=j){ans=ans*10+num[i]-'0';i++;}return ans;
}int main() {cin>>num>>k;int len=strlen(num);for(int i=1;i<=len;i++){for(int j=0;j<=i-1 && j<=k;j++){if(j==0){dp[i][j]=sub(0,i-1);}else{for(int k=j;k<=i-1;k++){dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*sub(k,i-1));}}}}cout<<dp[len][k]<<endl;return 0;
}
记忆搜索法结合递归代码实现如下
我们定义f(i,j)为在前i个位置插入j个乘号得到的最大值。
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;char num[10];
int dp[10][10]={0};int sub(int i,int j){int ans=0;while(i<=j){ans=ans*10+num[i]-'0';i++;}return ans;
}int f(int i,int j){if(dp[i][j]){return dp[i][j];}if(j==0){return dp[i][j]=sub(0,i-1);}for(int k=j;k<=i-1;k++){dp[i][j]=max(dp[i][j],f(k,j-1)*sub(k,i-1));}return dp[i][j];
}int main() {int k;cin>>num>>k;int len=strlen(num);cout<<f(len,k)<<endl;return 0;
}
