欧拉函数：

1. 欧拉函数定义： 1~n中与n互质的数的个数。 比如     
2. 欧拉函数是积性函数：（也就是）当 n与m互质的时候： 
3. 由算术基本定理，我们可以设n=，那么我们只要计算出的取值就能求出的取值。 下面给出证明

的取值怎么求？ 也就是求1~中与互质的数的个数

我们可以求与不互质的数的个数，由于p是质数，所以与不互质的数一定是p的倍数

那么1~中，p的倍数就是 , 那么我们就知道与不互质的数的个数 就是。也就是 

由于之间互质，且欧拉函数是一个积性函数，那么有

所以我们只需要求出n的所有质因子p，然后求出  的乘积即可 

phi = n;
for(int i=2 ; i*i<=n ; i++ )if( n%i == 0 ){phi = phi/i * (i-1 )   // 1- 1/p == (p-1)/p 为了防止爆int，故意不写成phi*(i-1)/iwhile ( n%i==0 ) n/=i ;}
if(n!=1) phi =phi/n *(n-1);  //防止n有一个大于 sqrt（n）的质因子的情况

以上就是欧拉函数的板子，请牢牢记住，后面回经常用到。

欧拉定理：对于正整数a，n，若an，则

扩展欧拉定理：

对于正整数a，n，始终有 

那么对于任意的正整数a，k，n ，当k大于 时，

对于这些定理，此处不加以证明，背过即可。

下面给出一些例题，用来了解一些欧拉函数在算法竞赛中的应用

（缓慢更新中）