一、基本概念

1.象集

给定一个关系R(X,Z)，X和Z为属性组，当t[X]=x时，x在R中的象集定义为：
Z x = { t [ Z ] ∣ t ∈ R , t [ X ] = x } Z_x=\{t[Z]|t\in R,t[X]=x\} Zx​={t[Z]∣t∈R,t[X]=x}
表示R中属性组X上值为x的诸元组在Z上分量的集合。

例：
有如下表R

X取值	Z取值
$x_1$	$Z_2$
$x_1$	$Z_2$
$x_1$	$Z_3$
$x_2$	$Z_2$
$x_2$	$Z_3$
$x_3$	$Z_1$
$x_3$	$Z_3$

则
$x_1$在R中的象集 Z x 1 = { Z 1 , Z 2 , Z 3 } Z_{x1}=\{Z_1,Z_2,Z_3\} Zx1​={Z1​,Z2​,Z3​}
$x_2$在R中的象集 Z x 2 = { Z 2 , Z 3 } Z_{x2}=\{Z_2,Z_3\} Zx2​={Z2​,Z3​}
$x_3$在R中的象集 Z x 3 = { Z 1 , Z 3 } Z_{x3}=\{Z_1,Z_3\} Zx3​={Z1​,Z3​}

2.除法运算

R ÷ S = { t r [ X ] ∣ t r ∈ R ∧ Π Y ( S ) ⊆ Y x } \div S=\{t_r[X] |t_r\in R\wedge \Pi_Y(S)\subseteq Y_x\} ÷S={tr​[X]∣tr​∈R∧ΠY​(S)⊆Yx​}

除运算的结果为P(X)
P是R中满足满足以下条件的元组在X属性上的投影：元组在X上分量值x的象集$Y_x$包含S在Y上投影的集合。

这个定义看起来比较难以理解，因此下面给出几个例子。

二、除法运算的例子（通过例子更容易理解）

例一

R和S共有的属性为B和C，在S中(B,C)组合有三种，即$(b_1,c_2),(b_2,c_1),(b_2,c_3)$，因此接下来就要找到R中象集为这三个的元素A。
R中
$a_1$的象集为$\{(b_1,c_2),(b_2，c_3),(b_2,c_1)\}$
$a_2$的象集为$\{(b_3,c_7),(b_2，c_3)\}$
$a_3$的象集为$\{(b_4,c_6)\}$
$a_4$的象集为$\{(b_6,c_6)\}$
由于只有$a_1$的象集包含了S在(B,C)属性组上的投影，所以 R ÷ S = { a 1 } R\div S=\{a_1\} R÷S={a1​}

例二

假设有如下R表：

姓名	性别	班级	年龄
A	男	1班	14
B	女	1班	15
C	男	2班	14
D	男	2班	15
E	女	2班	15

有如下S表：

性别	班级
男	2班

则$R÷S$ 的结果如下：

姓名	年龄
C	14
D	15

即我们可以将S看作是一个条件，从R中筛选出满足条件S的元组，同时，除去R中与S共有的属性（列）
例如上面一个例子就是选择出既是2班的，性别又为男的所有学生的姓名和年龄。

参考资料

1.《数据库系统概论》王珊，萨师煊
2. 数据库-——关系代数的除法运算最白话解析 by lmo星星呐