两个旋转矩阵相乘的李代数扰动求导

有一些非常有意思的求导方式，特此记录下来

1. 

\frac{\partial R_1R_2}{\partial R_1} =\underset{\phi\rightarrow0}{lim}{}\frac{log(R_1exp(\phi)R_2\ominus (R_1R_2))}{\phi} \displaystyle \\=lim\frac{log((R_1R_2)^TR_1exp(\phi)R_2)}{\phi} \\=lim\frac{log(R_2^Texp(\phi)R_2)}{\phi}\\ =lim\frac{log(exp(R_2^T\phi))}{\phi} \\=lim\frac{R_2^T\phi}{\phi}\\=R_2^T

2.

\frac{\partial{R_1R_2}}{\partial{R_1}}=lim\frac{log(R_1exp(\phi)R_2)-log(R_1R_2)}{\phi}\\=lim\frac{log(R_1R_2exp(R_2^T\phi))-log(R_1R_2)}{\phi}\\=lim\frac{log(R_1R_2)+J_r^{-1}(R_1R_2)log(exp(R_2^T\phi))-log(R_1R_2)}{\phi}\\=lim\frac{J_r^{-1}(R_1R_2)R_2^T\phi}{\phi}\\=J_r^{-1}(R_1R_2)R_2^T

所以看起来J_r^{-1}是个小量，可以去掉的

3.

\frac{\partial{R_1R_2}}{\partial{R_2}}=lim\frac{log(R_1R_2exp(\phi)\ominus (R_1R_2))}{\phi}\\=lim\frac{log((R_1R_2)^TR_1R_2exp(\phi))}{\phi}\\=lim\frac{log(exp(\phi))}{\phi}\\=lim\frac{\phi}{\phi}\\=I

4.

\frac{\partial{R_1R_2}}{\partial{R_2}}=lim\frac{log(R_1R_2exp(\phi))-log(R_1R_2)}{\phi}\\=lim\frac{log(R_1R_2)-J_r^{-1}(R_1R_2)log(exp(\phi))-log(R_1R_2)}{\phi}\\=lim\frac{J_r^{-1}(R_1R_2)\phi}{\phi}\\=J_r^{-1}(R_1R_2)

同样，J_r^{-1}是个小量

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