初识树型结构与二叉树

1. 树型结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树（它是根朝上，而叶朝下的），其物理结构如下图所示：

其中树形结构具有以下的特点：

1、有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

2、除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继（除了根节点之外，其余的节点有且仅只有一个父节点）

3、树是递归定义的

4、树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

5、一个有n个节点的树，它有n-1条边；

1.1 关于树的关键词

下面的一些列重要关键词汇的介绍是针对下图树来讲解的：

一级词汇（重点理解）：

1、结点的度（节点的分支）：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6

2、树的度（分支最多的那个节点的分支数）：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6

3、叶子结点或终端结点（没有分支的节点）：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶结点

4、双亲结点或父结点（有分支的节点）：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点

5、孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

6、根结点（最顶头的节点）：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A

7、结点的层次（从上到下数，该节点在第几行）：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推

二级词汇（了解即可）

1、非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支结点

2、兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

3、兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点

4、堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点
5、结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先
6、子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙
7、森林：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树组成的集合称为森林

1.2 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。

这里通过代码简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法；

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

下图是孩子兄弟表示法的树结构图解：

如上图所示，孩子兄弟表示法主要通过child域（存放该节点的子节点的地址）和brother域（存放该节点兄弟节点的地址）来完成整个树构成；

2. 二叉树

一棵二叉树是关于结点的一个有限集合，该集合的特点：

1. 或者为空

2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

如上图就是将一个二叉树分解成概念中的节点的有限集合的形式(左子树<--根节点-->右子树），从上图可以看出：

1. 二叉树不中结点的分支最多就是2个分支；

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.1 特殊的二叉树

1. 满二叉树（除了叶子节点，其余的节点都有两个分支） : 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为 K，且结点总数是(2^K)-1 ，则它就是满二叉树，如下图就是满二叉树；

2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于所有的节点按照二叉树的规则，依据从上到下，从左到右，依次排序的准则排序的二叉树，要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树，如下图就是完全二叉树；

2.2 二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有（2^i-1)  (i>0)个结点

//已知第几层------> 计算该层节点个数

2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是(2^K)-1 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 n0, 度为2的非叶结点个数为 n2,则有n0＝n2＋1

推导过程如下所示：

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为上取整

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i 的结点有：

若 i>0 ，双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根结点编号，无双亲结点
        若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ，否则无左孩子
        若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ，否则无右孩子

5.1重要的两个小结论：

3.二叉树例题讲解

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

由性质3可得：对任何一棵二叉树 , 如果其叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有n0＝n2＋1------->399=n0+n2-------->399=n0+n0-1----->n0=200

或者---->
n0=199+1为200;------>B

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

考虑是否存在最后一个节点只有一个分支的节点，图解如下图所示：

由n0 = n2 +1可得：

左图：2n = n0 + 1 +n0-1------------->n0 = n---------->A;

右图：2n = n0 +n0-1------------------->n0=(2n+1)/2;