题目:

你有一个背包和一些物品，每个物品都有自己的体积和价值。背包有一个最大的体积限制。目标是选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大，同时保证背包中物品的总体积不超过背包的体积限制。

思路:

1. 初始化变量和数组：

   • w数组存储了各商品的体积（重量）。
   • v数组存储了各商品的价值。
   • bagV表示背包的最大容量。
   • dp二维数组用于存储动态规划表的状态。dp[i][j]表示考虑前i件商品，当背包容量为j时能够获得的最大价值。

2. 动态规划过程：

   • 外层循环遍历所有商品（i从1到4，因为数组第一位留空）。
   • 内层循环遍历所有可能的背包容量（j从1到bagV）。
   • 如果当前背包容量小于商品i的体积，则不能装入该商品，此时dp[i][j]的值与装入前一个商品时的值相同，即dp[i - 1][j]。
   • 如果当前背包容量可以装下商品i，则需要比较装入和不装入商品i的情况，取两者的最大值作为dp[i][j]的值：
     • 不装入商品i：最大价值为dp[i - 1][j]。
     • 装入商品i：最大价值为商品i的价值加上剩余容量下的最大价值，即v[i] + dp[i - 1][j - w[i]]。

3. 输出动态规划表：

   • 通过双层循环输出dp数组的所有值，展示整个动态规划过程的状态变化。

代码:

#include<iostream>
using namespace std;
#include <algorithm>int main()
{// 商品的体积（或重量）数组，第一位留空，以便使数组下标与商品编号一致int w[5] = { 0, 2, 3, 4, 5 };// 商品的价值数组，第一位留空，以便使数组下标与商品编号一致int v[5] = { 0, 3, 4, 5, 6 };// 背包的最大容量int bagV = 8;// 初始化动态规划表，全部填充为0。dp[i][j]表示考虑前i个商品时，背包容量为j时的最大价值int dp[5][9] = { { 0 } };// 动态规划过程for (int i = 1; i <= 4; i++) { // 遍历所有商品，i代表商品编号for (int j = 1; j <= bagV; j++) { // 遍历所有可能的背包容量，j代表当前背包容量if (j < w[i]) {// 如果当前背包容量装不下商品i，则dp[i][j]的值与不包含商品i时相同// 即不选择当前商品i，直接继承前一个商品的状态dp[i][j] = dp[i - 1][j];} else {// 如果能装下商品i，则比较不装入和装入商品i的情况，取最大值// 不装入商品i：直接继承前一个商品的状态，即dp[i - 1][j]// 装入商品i：当前商品的价值加上剩余容量下的最大价值，即v[i] + dp[i - 1][j - w[i]]dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);}}}// 输出动态规划表for (int i = 0; i < 5; i++) { // 遍历动态规划表的每一行for (int j = 0; j < 9; j++) { // 遍历动态规划表的每一列cout << dp[i][j] << ' '; // 打印每个状态的值}cout << endl; // 每行打印完毕后换行}return 0;
}