1 特征值和特征向量

• 定义

  设$\sigma$为数域$F$上线性空间$V$上的一个线性变换，一个非零向量$v\in V$，如果存在一个$\lambda \in F$使得$\sigma (v)=\lambda v$，则$\lambda$称为$\sigma$的特征值。$\sigma$的特征值的集合称为$\sigma$的谱。并称$v$为$\sigma$的属于（或对应于）特征值$\lambda $的特征向量。

• 特征值和特征向量的求法

  设$V$是数域$F$上的$n$维线性空间，$v_1,\cdots ,v_n$是$V$的一组基，线性变换$\sigma$在这组基下的矩阵为$A$，如果$\lambda$是$\sigma$的特征值，$\alpha$是相应的特征向量。则
  $$\alpha =(v_1,\cdots ,v_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$
  将上式代入$\sigma (v)=\lambda v$得到
  $$\begin{gathered} \sigma (\alpha )=(v_1,\cdots ,v_n)A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right) \\ \lambda \alpha =\lambda (v_1,\cdots ,v_n)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right) \end{gathered}$$
  由于$v_1,\cdots ,v_n$线性无关，所以
  $$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$
  则说明特征向量$\alpha$的坐标$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$满足齐次线性方程组$(\lambda I-A)x=0$。

  因为$\alpha \ne 0$，则$x\ne 0$，即齐次线性方程组$(\lambda I-A)x=0$有非零解。有非零解的充要条件是它的系数矩阵它的系数矩阵行列式$|\lambda I-A|=0$。

• 相关定义

  设$A$是数域$F$上的$n$阶矩阵，$\lambda$是一个符号，也是未知的特征值，矩阵$\lambda I-A$称为$A$的特征矩阵，其行列式$|\lambda I-A|$称为$A$的特征多项式。方程$|\lambda I-A|=0$称为$A$的特征方程，它的根（即$\lambda$的值）称为$A$的特征根（或特征值）。以$A$的特征值$\lambda$代入$Ax=\lambda x$中所得到的非零解$x$称为$A$对应于$\lambda$的特征向量。

• 定理

  设$A$为$n\times n$矩阵，$\lambda$是一个数值，以下命题等价：

  1. $\lambda$是$A$的特征值
  2. $(\lambda I-A)x=0$有一个非平凡的解（即有非零向量的解）
  3. N ( λ I − A ) ≠ { 0 } N(\lambda I-A)\neq\{0\} N(λI−A)={0}
  4. $\lambda I-A$矩阵是奇异矩阵
  5. $\det (\lambda I-A)=0$

• 特征多项式的系数

  如果
  $$\begin{gathered} p(\lambda )=\det (\lambda I-A)={\lambda }^n+\sum _{ \\ k=1}^n(-1{)}^k{c}_k{\lambda }^{n-k} \\ ={\lambda }^n-c_1{\lambda }^{n-1}+\cdots +(-1{)}^{n-1}{c}_{n-1}\lambda +(-1{)}^n{c}_n \end{gathered}$$
  则$c_k(1\le k\le n)$是所有$k$阶主子式（选择$k$行$k$列形成的行列式）的和，特别的，$c_1=tr(A),c_n=\det (A)$。

• 定理

  1. 设$A\in C^{n\times n}$，如果$A$有特征值${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n$，则
     $$\begin{gathered} tr(A)=\sum _{ \\ i=1}^n{\lambda }_i,\det (A)=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i \end{gathered}$$

  2. 如果$A$相似$B$，则两个矩阵有相同的特征值和特征多项式。

  3. 设$A\in C^{m\times n}$，则$A^{H}A$和$A{A}^H$特征值都是非负实数，且它们都有相同的非零特征值和相同的重数，并且非零特征值（包含重数）的数量等于KaTeX parse error: Undefined control sequence: \rank at position 1: \̲r̲a̲n̲k̲(A)。

2 对角化

• 定义

  设矩阵$A\in F^{n\times n}$，如果存在一个非奇异矩阵$P\in F^{n\times n}$和一个对角矩阵$D\in F^{n\times n}$，使得$P^{-1}AP=D$，则称$A$可被对角化。

• 定理

  1. $A$可以被对角化当且仅当$A$有$n$个线性无关的特征向量
  2. ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k$是$A$的不同的特征值，则对应的特征向量$x_1,\cdots ,x_k$它们是线性无关的
  3. 由以上两条定理即可推出如果$A$有$n$个不同的特征值，则$A$可被对角化
  4. 不同特征值对应的特征向量的集合的并集是线性无关的。即取每个特征值的所有特征向量，无论这些向量属于哪个特征值，它们的并集都是线性无关的。

• 代数重数

  设$A\in F^{n\times n}$，如果$\det (\lambda I-A)=(\lambda -{\lambda }_i{)}^{r_1}\cdots (\lambda -{\lambda }_k{)}^{r_k}$，其中${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_k$是$A$的特征值，它们是不同的。则特征值${\lambda }_i$的代数重数是$r_i$，即特征值${\lambda }_i$出现的次数。

• 几何重数

  与特征值${\lambda }_i$对应的特征子空间是$N({\lambda }_{i}I-A)$，则特征值${\lambda }_i$的几何重数为$\dim (N({\lambda }_{i}I-A))$。

  几何重数$\leq $代数重数

• 几何重数看可对角化

  矩阵$A\in F^{n\times n}$可对角化当且仅当$A$中不同特征值的几何重数和等于$n$（即每个特征值的代数重数都要等于几何重数）

3 Schur定理和正规矩阵

• 酉（正交）相似定义

  设$A\in C^{n\times n}(R^{n\times n})$，如果存在一个酉（正交）矩阵$U$使得$U^{H}AU=B(U^H=U^{-1})$，则可称$A$酉（正交）相似$B$

• Schur定理

  $\forall A\in C^{n\times n}$，$A$都与上三角矩阵相似，且存在酉矩阵$U$和上三角矩阵$T$使得$U^{H}AU=U^{-1}AU=T$。

  仅适用于复数域，实数域上不一定适用

• 正规矩阵定义

  设$A\in C^{n\times n}$，如果$A$满足$A^{H}A=A{A}^H$，则称$A$是正规矩阵。

  Hermite矩阵，酉（正交）矩阵都是正规矩阵

• 谱定理

  设$A\in C^{n\times n}$，如果$A$是Hermite矩阵，则$A$酉相似于一个实对角矩阵，换句话说，Hermite矩阵的特征值都是实数。

• 引理

  设$A\in C^{n\times n}$，$A$是正规矩阵当且仅当$\forall \lambda ,x$使得$||Ax-\lambda x||=||A^{H}x-\bar{\lambda }x||$。

• 同时对角化

  设$A,B$都是相同阶数的正规矩阵，则存在一个酉矩阵可以同时酉对角化$A,B$当且仅当$AB=BA$

4 Python求解

import numpy as np
from sympy import symbols, Matrix
import pprint# 定义符号变量
lambda_ = symbols('lambda')A = np.array([[0, 2, 1], [-2, 0, 3], [-1, -3, 0]])
A = Matrix(A)# 求特征矩阵
characteristic_matrix = A - lambda_ * np.eye(3)
pprint.pprint("关于 lambda 的特征矩阵:")
pprint.pprint(characteristic_matrix)# 计算特征多项式
characteristic_polynomial = A.charpoly(lambda_)
pprint.pprint("关于 lambda 的特征多项式:")
pprint.pprint(characteristic_polynomial)# 求特征值
eigenvalues = A.eigenvals()
# 打印特征值、其代数重数、特征向量和几何重数for k, v in eigenvalues.items():pprint.pprint("特征值 %s 的代数重数为 %s" % (k, v))pprint.pprint("特征值 %s 的几何重数为 %s" % (k, A.eigenvects()[list(eigenvalues.keys()).index(k)][1]))pprint.pprint("特征值 %s 的特征向量为 %s" % (k, A.eigenvects()[list(eigenvalues.keys()).index(k)][2]))# 判断A是否可对角化，如果可以，打印出对角化矩阵
if A.is_diagonalizable():pprint.pprint("A可对角化")pprint.pprint("对角化矩阵为:")pprint.pprint(A.diagonalize()[0])# 求A的行空间、列空间、零空间
pprint.pprint("A的行空间为:")
pprint.pprint(A.rowspace())
pprint.pprint("A的列空间为:")
pprint.pprint(A.columnspace())
pprint.pprint("A的零空间为:")
pprint.pprint(A.nullspace())