基本概念

1. 可行点（可行解）：在规划问题中，满足约束条件的点
2. 可行集或可行域：全体可行点组成的集合
3. 无约束问题：如果一个问题的可行集是整个空间。

分为三种情况：

1. $S=\varnothing ,则称该问题无解或不可行$
2. $S\ne \varnothing ,但是目标函数在S上无界$
3. $S\ne \varnothing 且目标函数有限的最优解，则称问题有最优解$

符号问题：
$x\in R^n$表示 $x$ 是向量
$x\in R$表示 $x$ 是实数
黑体的是向量
没有加粗的是数

凸集

凸集定义：设S为n维欧式空间$R^n$中的一个集合。若对任意两点$x^{(1)},x^{(2)}\in S$及每个实数 $\lambda \in [0,1]$ 有
$$\lambda \ast x^{(1)}+(1-\lambda )\ast x^{(2)}\in S$$
则称S为凸集。 $\lambda \ast x^{(1)}+(1-\lambda )\ast x^{(2)}$称为$x^{(1)}$和$x^{(2)}$的凸组合。

凸组合定义：给定m个向量，$x^1,x^2,...,x^m\in R^n$， 以及满足$\sum {\lambda }_i=1$的非负实数${\lambda }_i\in R$, 称向量${\lambda }_1{x}^1+{\lambda }_2{x}^2+...+{\lambda }_m{x}^m$为 $x$ 的凸组合。
根据向量知识凸组合形成的集合图形为两顶点之间的连线

定理：如果S为凸集那么其中具有任意有限元素的凸组合。

凸集性质：

1. 凸集放大$\alpha$倍仍为凸集
2. 凸集相交仍为凸集
3. 凸集的元素求和仍为凸集
4. 凸集的元素相减仍为凸集

凸包定义：凸包，给定一堆点，这堆点的凸包就是包含这些点的最小凸集。
这些点称为单纯形的顶点。

闭包：

1. 闭集的闭包就是它本身
2. 开集的闭包就是它本身加上它的边界集

凸锥定义：设有集合$C\subset R^n$, 若对每一点$x\in C$,当 $\lambda$ 取任何非负数时，都有 $\lambda x\in C$, 称C为锥，如果C为凸集，则称C为凸锥。

从零点到x延长线上的点仍在集合C中

凸锥组合：
{ ∑ λ i α ( i ) ∣ λ i > = 0 , i = 1 , 2... k } \{\sum{\lambda_i \alpha^{(i)}} | \lambda_i >= 0, i = 1, 2 ...k\} {∑λi​α(i)∣λi​>=0,i=1,2...k}




多面集：由有限个半空间的交组成的集合为多面集
{ x ∣ A x < = b } \{ x | Ax <= b\} {x∣Ax<=b}
常见于线性规划的可行域

极点定义：若S为非空凸集，$x\in S$, 若由$x=\lambda x^{(1)}+(1-\lambda )x^{(2)}$必有$x=x^{(1)}=x^{(2)}$，则x是S的极点。
任何有界凸集中任意点都可以表示成极点的凸组合。 但是极点不能被其他两点表示。
圆的边缘上的点都是极点。

凸集的方向：如果凸集中的一个点引出一条射线，这条射线上所有的点仍在凸集内，则称这个射线的方向为回收方向（方向），而这所有的方向全部形成的尖锥称为凸集的回收锥。

方向：设S为$R^n$中的闭凸集，d为非零向量，如果对S中的每一个$x$ ,都有射线 { x + λ d ∣ λ > = 0 } ⊂ S \{ x + \lambda d | \lambda >= 0\} \subset S {x+λd∣λ>=0}⊂S则称向量 $d$ 为S的方向。

极方向：如果方向 $d$ 无法由其他两个方向的凸组合得到，那么方向d就是凸锥的极方向。（凸锥组合就是两个方向中夹角的一个方向，向量加法）

性质定理

1. 表示定理：
   
   即多面集可以由极点的凸组合和极方向的凸锥组合全部表示出来

2. 凸集分离定理
   设$S_1$和$S_2$是 $R^n$中两个非空集合， H = { x ∣ p T x = α } H= \{ x | p^T x = \alpha\} H={x∣pTx=α}为超平面， 如果对 $\forall x\in S_1$, 都有 $p^{T}x>=\alpha$, 对于每个$x\in S_2$, 都有 $p^{T}x<=\alpha$（或者相反），则称超平面 $H$分离集合 $S_1$和 $S_2$。
   

3. 闭凸集的一个性质
   设 $S$ 为 $R^n$中的闭凸集， $y\notin S$,则存在唯一的点 $\hat{x}\in S$, 使得
   $$||y-\hat{x}||=in{f}_{x\in S}||y-x||$$
   可以找到唯一的一个点使得y到集合S的距离是最小的，且只有到这个点的距离是最小距离
   

4. 点与凸集分离定理
   设 $S$是 $R^n$中的非空闭凸集， $y\notin S$, 则存在非零向量 $p$及数 $\xi >0$, 使得对每一个点 $x\in S$, 成立 $p^{T}y>=\xi +p^{T}x$
   
   可以在点和凸集中间找到一个超平面

   
   
   考虑边界的情况

5. 凸集分离定理
   设 $S_1$ 和 $S_2$是 $R^n$的两个非空凸集， $S_1\cap S_2=\varnothing$, 则存在非零向量 $p$, 使得
   i n f { p T ∣ x ∈ S 1 } > = s u p { p T x ∣ x ∈ S 2 } inf \{p^T | x \in S_1 \} >= sup \{ p^T x | x \in S_2\} inf{pT∣x∈S1​}>=sup{pTx∣x∈S2​}

   两个交集非空的凸集一定能找到一个超平面将他们分离

6. 择一定理
   不等式组解的充分必要条件

   • Farkas定理
     设A为m x n矩阵， c为n维向量，则$Ax<=0,c^{T}x>0$有解的充分必要条件是 $A^{T}y=c,y>=0$无解。
   • Gordan引理
     设A为m x n矩阵，那么，Ax < 0 有解的充分条件是不存在非零向量 y >= 0, 使$A^{T}y=0$

凸函数

凸函数定义：设S是 $R^n$ 中的非空凸集， $f(x)$ 是定义在S上的实函数，如果对于每一对 $x_1,x_2\in S$ 及每一个 $a$, $0<=a<=1$, 都有
$$f(a{x}_1+(1-a)x_2)<=af(x_1)+(1-a)f(x_2)$$
则称函数 $f(x)$ 为S上的凸函数， 当$<=$ 变成 <,则称为严格凸函数。

凸函数性质

1. 凸函数的线性组合仍为凸函数
2. 截取凸函数连续的一段它的定义域是凸集
3. 凸函数的局部极小点是整体极小点

凸函数的判定
一阶充要条件：
设S是 $R^n$ 中非空开凸集， $f(x)$ 是定义在S上的可微函数， 则 $f(x)$为图函数的充要条件是对任意两点$x^{(1)}$, $x^{(2)}\in S$, 有
$$f(x^{(2)})-f(x^1)>=▽f(x^{(1)})(x^{(2)}-x^{(1)})$$

将 $>=$改为$>$就是严格凸

$f(x)$是凸函数当且仅当任意点处的切线增量不超过函数增量

二阶充要条件：
设 $S$ 是 $R^n$ 中非空开凸集，$f(x)$ 是定义在S上的二次可微函数，则 $f(x)$为凸函数的充要条件是对任意 $x\in S$, $f(x)$ 在x 处的 Hessian矩阵 ${▽}^{2}f(x)$是半正定的。
对二次函数，
正定为严格凸函数。
半正定为凸函数。

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