【组合数学】排列组合

1. 加法乘法原理

加法原理

计算在一系列互斥事件中任意一个事件发生的总数。
如果事件A有 $m$ 种可能发生的方式，事件B有 $n$ 种可能发生的方式，并且这两个事件不能同时发生，那么这两个事件A或B发生的总方式数为 $m + n$ 。

乘法原理

计算多个事件同时发生的总数。如果事件A有 $m$ 种可能发生的方式，事件B有 $n$ 种可能发生的方式，那么这两个事件同时发生的总方式数为 $m \times n$ 。

习题1、在小于 2000 的数中，有多少个正整数含有数字 2 ?
解: 1.千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为： $2 * 1 * 10 * 10$ ；
2.千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为： $2 * 9 * 1 * 10$ ;
3.千位数为1或0，百位数和十位数皆不为 2，个位数为2的正整数个数为： $2 * 9 * 9 * 1$ ;
故满足题意的整数个数为: $200 + 180 + 162 = 542$ 。

2. 排列&组合

集合排列

n 元集合 S 的一个 r 排列是指先从 S 中选出 r 个元素，然后将其按次序排列。一般用 $P (n, r)$ 或 $A_n^r$ 表示 n 元集合 S 的 r 排列数。

定理 2.1：集合排列 $\frac{n!} {(n - r)!}$

特别的有 $P (n, n) = n!$ ； $P (n, 1) = n$

定理 2.2：n 元集合 S 的 r 圆排列数为 $\frac{P(n, r)}{r} = \frac{n!} {r\cdot (n - r)!}$

集合组合

n 元集合 S 的 r 组合是指从 S 中取出 r 个元素的一种无序选择，其组合数记为 $\binom{n}{r}$ 或 $C_n^r$

定理 2.3：集合组合 $\binom{n}{r}= \frac{P(n, r)}{r!} = \frac{n!} {r!\cdot (n - r)!}$

特别的有 $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\\\quad\\\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}\\\quad\\\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+...+\binom{n}{n}=2^n$

习题2、在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个?
解: 1.串中有6个1和1个0，有5个位置可以插入：5种；
2.串中有5个1，除去 0111110，从6个空位中选2个插入0，个数为 $C_6^2-1=14$ ;
3.串中有4个1，a) 3个0单独插入，除去 10101010，一共 $C_5^3-1=9$ ;
b) 其中两个0一组，另外一个单独，一共 $C_5^2\cdot P(2,2)-C_4^1\cdot 2=12$ ;
4.串中有3个1: 串只能为 **1101** 或 **1011** ，一共 $4 * 2 = 8$
故满足题意的串个数为: 5+14+9+12+8=48。

习题3、设由1、2、3、4、5、6 组成的各位数字互异的4位偶数共有n个，其和为 m。求n和m。
解: 由1、2、3、4、5、6 组成的各位数字互异，且个位数字为 2、4、6 的偶数均有P(5,3)=60个，所以 n=60*3=180
以 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 分别表示这 180 个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则
$m =a_1+10a_2+100a_3+1000a_4$ 因为个位数字为 2，4，6的偶数各有 60个，故 $a_1=(2+4+6) * 60=720$ 。
因为千（百，十）位数字为1、3、5的偶数各有 3 * P(4,2) = 36 个
为2、4、6的偶数各有 2 * P(4,2) = 24 个
故 $a_2=a_3 =a_4 =(1+3+5)*36 +(2+4+6)*24 =612$
$m = 720 + 612 * (10 + 100 + 1000) = 680040$

习题4、从{1,2,…,7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数字有多少个?
解: 1.1与2都有：1和2相邻: 2* $\binom{5}{3}$ *P(4,4)。不相邻的方案数 $\binom{5}{3}$ *P(5,5)-2* $\binom{5}{3}$ * P(4,4)
2.只有1或2: 2* $\binom{5}{4}$ *P(5,5)
3.没有1和2: P(5,5)

3. 多重集合的排列 & 组合

多重集合，即有重复元素的集合。比如 $M = \{a, a, a, b, c, c, d, d, d, d \}$

多重集合的排列

定理 3.1：无穷多重集合 $\{\infty \cdot a_1,\infty \cdot a_2 ,..., \infty \cdot a_k\}$ 的 r 排列数为 $k^r$

定理 3.2：有限多重集合 $\{n_1 \cdot a_1,n_2 \cdot a_2 ,..., n_k \cdot a_k\}$ 的全排列数为 $\frac{(n_1+n_2+...+n_k)!}{n_1!n_2!...n_k!}$

多重集合的组合

定理 3.3：无穷多重集合 $\{\infty \cdot a_1,\infty \cdot a_2 ,..., \infty \cdot a_k\}$ 的 r 组合数为 $\binom{k+r-1}{r}$

定理 3.3：无穷多重集合 $\{\infty \cdot a_1,\infty \cdot a_2 ,..., \infty \cdot a_k\}$

要求 $a_1,a_2,...,a_k$ 至少出现一次的 r 组合数为 $\binom{(r-k)+k-1}{r-k}=\binom{r-1}{k-1}$

4. 二项式定理

设 n 为一正整数，则对任意的 x 和 y，其二项式为 $x+y)^n$

定理 4.1： $(x+y)^n=y^n+\binom{n}{1}xy^{n-1}+...+\binom{n}{n-1}x^{n-1}y+x^n=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}x^ry^{n-r}$

定理 4.2：二项式对称关系 $\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$

二项式递推关系 $\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r}+\binom{n-1}{r-1}$

定理 4.3 令 x =-1, y = 1可得： $\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+...=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+...$

定理 4.4： $1\cdot \binom{n}{1}+2\cdot \binom{n}{2}+...+n\cdot\binom{n}{n}=n\cdot 2^{n-1}$ 令y=1,对x求导后取x=1

定理 4.5 $\binom{0}{k}+\binom{1}{k}+...+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k+1}$

5. 集合的划分（Stirling）

一个 n 元集合的全部 k 分划的个数叫作第 2 类 Stirling 数，记作 $S (n, k)$
例如，集合 A={1,2,3,4}有 7 个 2 分划，它们是 $\{1,2,3,4\}=\{1\}\cup\{2,3,4\}=\{2\}\cup\{1,3,4\}=\{3\}\cup\{1,2,4\}=\{4\}\cup\{1,2,3\}=\{1,2\} \cup\{3,4\} =\{1,3\}\cup\{2,4\} =\{1,4\}\cup \{2,3\}$ ，故 $S (4, 2) = 7$