数据结构树，二叉树，堆

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1.树概念及结构

2. 树的表示

3.二叉树概念及结构

特殊的二叉树

二叉树的性质

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二叉树选择题

二叉树的存储结构

4.堆的概念及结构

父亲孩子下标关系编辑

堆的实现接口

堆结构体设计+堆的初始化+堆的销毁

堆的插入(附：向上调整算法)

堆的删除

取堆顶数据+堆的大小+堆的判空

万物皆有裂痕,那是光照进来的地方

1.树概念及结构

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

因此，树是递归定义的。

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

2. 树的表示

介绍最常用的一种孩子兄弟表示法。

（结点指向左孩子，孩子再指向自己的兄弟）

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

3.二叉树概念及结构

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

只有一个孩子和没有孩子也可以称为二叉树

特殊的二叉树

满二叉树和完全二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。

（每一层都是满的）

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

（前h-1层都是满的，最后一层可以不满，从左到右是连续的）

二叉树的性质

二叉树选择题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A 不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

由性质可知，n0 = n2+1. n0 = 199+1 = 200

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

首先分析题干，如何求叶子节点的个数？和节点个数相关的公式有二：

n0 = n2 + 1，N = n0 + n1 + n2

已知总个数N为2n，那么只要知道n1即可求出n0.

这里有一个重要的结论：

在完全二叉树中，如果节点总个数为奇数，则没有度为1的节点；如果节点总个数为偶数，只有一个度为1的节点。

2n为偶数，因此有一个度为1的节点。

2n = n0 + 1 + n2 = n0 + 1 + n0 - 1

2n = 2n0

n0 = n，故选A

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

本题同上。此时共有奇数个节点，因此没有度为1的节点，即n1 = 0.

由 N = n0 + n1 + n2得： 767 = n0 + 0 + n0 - 1

n0 = 768/2 = 384

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

把h带进去，10在这个范围里面，所以选B

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示 完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用 中只有堆才会使用数组来存储 。二叉树顺序存储在 物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链。

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}

4.堆的概念及结构

父亲孩子下标关系

堆的实现接口

堆结构体设计+堆的初始化+堆的销毁

typedef int HPDateType;
typedef struct Heap
{HPDateType* a;int size;int capacity;
}HP;

void HeapInit(HP* php)
{php->size = 0;php->capacity = 0;php->a = NULL;}

void HeapDestory(HP* php)
{free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;}

堆的插入(附：向上调整算法)

void HeapPush(HP* php, HPDateType x){//插入进行扩容assert(php);if (php->size == php->capacity){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HPDateType* tmp = (HPDateType*)realloc(php->a,sizeof(HPDateType)*newcapacity);if (tmp == NULL){//判断一下是否开辟失败printf("realloc fail\n");exit(-1);    //结束程序}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;//向上调整，从刚刚插入孩子的位置Adjustdown(php->a, php->size - 1);
}

向上调整算法

//小堆
void Adjustdown(HPDateType*a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child>0){if (a[child] < a[parent]){HPDateType* tmp = a[child];a[child] = a[parent];a[parent] = tmp;child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else {break;}}}

孩子调整的结束条件是到根结点，跟结点的下标是0，所以大于0就一直调整

堆的删除

void HeapPop(HP* php)
{assert(php);//堆顶和最后一个数据互换Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;//从堆顶开始调整，堆顶是下标是0AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

向下调整

void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < n ){if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child]){child++;}if (a[child] < a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}}

插入删除的时间复杂度都是o(logN）

取堆顶数据+堆的大小+堆的判空

HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}
int HeapSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;}

测试接口

#include"Heap.h"int main()
{HP hp;HeapInit(&hp);int a[] = { 65, 100, 70, 32, 50, 60 };for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(int); i++){HeapPush(&hp, a[i]);}return 0;}

大堆的实现把 < 符号改成＞符号即可。

5.堆的应用

1.堆排序

1. 建堆

升序：建大堆

降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序

建堆（时间复杂度为o（N））

void HeapSort(int* a, int n)
{for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; --i){AdjustDown(a, n, i);}for (int end = n - 1; end > 0; --end){Swap(&a[end], &a[0]);AdjustDown(a, end, 0);}
}
int main()
{int a[] = { 70, 56, 30, 25, 15, 10, 75, 33, 50, 69 };HeapSort(a, sizeof(a) / sizeof(a[0]));for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); ++i){printf("%d ", a[i]);}printf("\n");return 0;
}

时间复杂度

堆排序N*logN

冒泡排序 N*2