Day52

最长递增子序列

300. 最长递增子序列 - 力扣（LeetCode）

题目

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
• 输出：4
• 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

• 输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
• 输出：4

示例 3：

• 输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
• 输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -10^4 <= nums[i] <= 104

思路

动规五部曲

• dp数组以及下标的含义

dp[i]表示 i 之前包括 i 在内的以 num[i] 结尾的最初递增子序列的长度

为什么一定表示 “以nums[i]结尾的最长递增子序” ，因为我们在 做 递增比较的时候，如果比较 nums[j] 和 nums[i] 的大小，那么两个递增子序列一定分别以nums[j]为结尾 和 nums[i]为结尾， 要不然这个比较就没有意义了，不是尾部元素的比较那么 如何算递增呢。

• dp数组推导公式

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

• dp数组初始化

每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

• 遍历顺序

dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。

j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

		for(int i = 1; i < len; i++){for(int j = 0; j < i; j++){if(nums[i] > nums[j]){dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}if(dp[i] > res) res = dp[i]; // 取长的子序列}

• 举例dp数组

输入：[0,1,0,3,2]，dp数组的变化如下：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ZXveJ3Ce-1690980742419)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210110170945618.jpg “300.最长上升子序列”)]

代码

class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int len = nums.length;if (len <= 1) return len;// dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度int dp[] = new int[len];Arrays.fill(dp, 1);int res = 0;for(int i = 1; i < len; i++){for(int j = 0; j < i; j++){if(nums[i] > nums[j]){dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);}}if(dp[i] > res) res = dp[i]; // 取长的子序列}return res;}
}

最长连续递增序列

674. 最长连续递增序列 - 力扣（LeetCode）

题目

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], …, nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [1,3,5,4,7]
• 输出：3
• 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

示例 2：

• 输入：nums = [2,2,2,2,2]
• 输出：1
• 解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。

提示：

• 0 <= nums.length <= 10^4
• -10^9 <= nums[i] <= 10^9

思路

动规五部曲

• 定义dp数组以及下标含义

dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

注意这里的定义，一定是以下标i为结尾，并不是说一定以下标0为起始位置。

• dp数组推导公式

如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

注意这里就体现出和动态规划：300.最长递增子序列 (opens new window)的区别！

因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

• 数组初始化

以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。

所以dp[i]应该初始1;

• 遍历顺序

从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

		for(int i = 1; i < len; i++){if(nums[i] > nums[i - 1]) dp[i] = dp[i - 1] + 1;if(res < dp[i]) res = dp[i]; // 记录最大长度}

• 举例推导公式

已输入nums = [1,3,5,4,7]为例，dp数组状态如下：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-eGPZlM6C-1690980742420)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/20210204103529742.jpg “674.最长连续递增序列”)]

代码

class Solution {public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {int len = nums.length;if(len <= 1) return len;int dp[] = new int[len];Arrays.fill(dp, 1);int res = 0;for(int i = 1; i < len; i++){if(nums[i] > nums[i - 1]) dp[i] = dp[i - 1] + 1;if(res < dp[i]) res = dp[i];}return res;}
}

最长重复子数组

718. 最长重复子数组 - 力扣（LeetCode）

题目

给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：

输入：

• A: [1,2,3,2,1]
• B: [3,2,1,4,7]
• 输出：3
• 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

提示：

• 1 <= len(A), len(B) <= 1000
• 0 <= A[i], B[i] < 100

思路

动规五部曲

• 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

此时细心的同学应该发现，那dp[0][0]是什么含义呢？总不能是以下标-1为结尾的A数组吧。

其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

那有同学问了，我就定义dp[i][j]为 以下标i为结尾的A，和以下标j 为结尾的B，最长重复子数组长度。不行么？

行倒是行！ 但实现起来就麻烦一点，需要单独处理初始化部分

这一部分可以来这里看扩展

代码随想录 (programmercarl.com)

• 确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

• dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

• 确定遍历顺序

外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

那又有同学问了，外层for循环遍历B，内层for循环遍历A。不行么？

也行，一样的，我这里就用外层for循环遍历A，内层for循环遍历B了。

		int res = 0;for(int i = 1; i < nums1.length + 1; i++){for(int j = 1; j < nums2.length + 1; j++){if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;if(res < dp[i][j]) res = dp[i][j];}}

• 举例推导dp数组

拿示例1中，A: [1,2,3,2,1]，B: [3,2,1,4,7]为例，画一个dp数组的状态变化，如下：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ml0KfgsU-1690980742421)(https://code-thinking-1253855093.file.myqcloud.com/pics/2021011215282060.jpg “718.最长重复子数组”)]

代码

class Solution {public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {// dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 //（特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）int dp[][] = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];dp[0][0] = 0;int res = 0;for(int i = 1; i < nums1.length + 1; i++){for(int j = 1; j < nums2.length + 1; j++){if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;if(res < dp[i][j]) res = dp[i][j];}}return res;}
}