数学杂谈:残次品的无砝码天平定位问题

  • 数学杂谈:残次品的无砝码天平定位问题
    • 1. 问题描述
    • 2. 问题解答
    • 3. 问题拓展
      • 1. 引理1
      • 2. 引理2
      • 3. 引理3
      • 4. 推论1
      • 5. 推论2

1. 问题描述

给出问题如下:

12个乒乓球,有一个次品,不知轻重,用一台无砝码天平称三次,找出次品,告知轻重?

这个题目是我在票圈偶然看到的,号称是清北智商线。

emmmm,虽然我是没考上清北啦,不过这个题还是可以玩玩的(手动狗头)……

2. 问题解答

首先,我们将12个小球分为3份,每份均为4个,分别记作 { a 1 , ⋯ , a 4 } \{a_1, \cdots, a_4\} {a1,,a4}, { b 1 , ⋯ , b 4 } \{b_1, \cdots, b_4\} {b1,,b4} { c 1 ⋯ c 4 } \{c_1 \cdots c_4\} {c1c4}

然后,我们取前两组进行称重:

  • 左侧: { a 1 , ⋯ , a 4 } \{a_1, \cdots, a_4\} {a1,,a4}
  • 右侧: { b 1 , ⋯ , b 4 } \{b_1, \cdots, b_4\} {b1,,b4}

然后任取两组进行第一次天平测量。

下面,我们进行分类讨论:

  1. 两堆小球重量一样

    此时,有问题的小球必然在第三堆当中,记 { c 1 ⋯ c 4 } \{c_1 \cdots c_4\} {c1c4},而 A , B A,B A,B两堆小球必然均为好球。

    然后,我们进行第二次测量:

    • 左侧: c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2
    • 右侧: c 3 , a 1 c_3, a_1 c3,a1

    此时有三种情况:

    1. 左侧重

      此时,只有两种可能性:

      • c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2当中有一个次品,且偏重
      • c 3 c_3 c3为次品,且偏轻

      因此,我们进行第三次测量:

      • 左侧: c 1 + c 3 c_1 + c_3 c1+c3
      • 右侧: a 1 + a 2 a_1 + a_2 a1+a2

      此时,有三种情况:

      1. 左侧轻
        • c 3 c_3 c3为次品,且偏轻
      2. 左侧重
        • c 1 c_1 c1为次品,且偏重
      3. 一样重
        • c 2 c_2 c2为次品,且偏重
    2. 左侧轻

      左侧轻与左侧重的情况完全一样,只是结论相反,即:

      • c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2当中有一个次品,且偏轻
      • c 3 c_3 c3为次品,且偏重

      同样,我们进行第三次测量:

      • 左侧: c 1 + c 3 c_1 + c_3 c1+c3
      • 右侧: a 1 + a 2 a_1 + a_2 a1+a2

      此时,有三种情况:

      1. 左侧轻
        • c 1 c_1 c1为次品,且偏轻
      2. 左侧重
        • c 3 c_3 c3为次品,且偏重
      3. 一样重
        • c 2 c_2 c2为次品,且偏轻
    3. 一样重

      此时次品一定是 c 4 c_4 c4,我们只需要对其确定轻重即可,因此我们只需要将其与任意一个好球,比如说 a 1 a_1 a1,进行比较即可:

      • c 4 > a 1 c_4 > a_1 c4>a1,则偏重;
      • c 4 < a 1 c_4 < a_1 c4<a1,则偏轻;
  2. 两堆小球重量不一样

    此时,显然 C C C堆一定都是好的,而由于我们不确定次品是偏重还是偏轻,因此我们不确定 A A A堆和 B B B堆哪一堆有问题。不妨设 A A A堆为较轻的一堆,而 B B B堆为较重的一堆,那么只可能有以下两种情况:

    • A A A堆当中有一个球为次品,且偏轻;
    • B B B堆当中有一个球为次品,且偏重;

    此时,我们进行第二次称重:

    • 左侧: { a 1 , a 2 , b 1 , b 2 } \{a_1, a_2, b_1, b_2\} {a1,a2,b1,b2}
    • 右侧: { a 3 , c 1 , c 2 , c 3 } \{a_3, c_1, c_2, c_3\} {a3,c1,c2,c3}

    此时有三种情况:

    1. 一样重: a 1 + a 2 + b 1 + b 2 = a 3 + c 1 + c 2 + c 3 a_1 + a_2 + b_1 + b_2 = a_3 + c_1 + c_2 + c_3 a1+a2+b1+b2=a3+c1+c2+c3

      此时有问题的一定在剩余的 a 4 , b 3 , b 4 {a_4, b_3, b_4} a4,b3,b4当中,我们取如下小球进行第三次称重:

      • 左侧: a 4 , b 3 a_4, b_3 a4,b3
      • 右侧: c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2

      此时,有三种情况:

      1. 左侧轻
        • a 4 a_4 a4小球为次品,偏轻;
      2. 左侧重
        • b 3 b_3 b3小球为次品,偏重;
      3. 两边一样重
        • b 4 b_4 b4小球为次品,偏重;
    2. 左侧重: a 1 + a 2 + b 1 + b 2 > a 3 + c 1 + c 2 + c 3 a_1 + a_2 + b_1 + b_2 > a_3 + c_1 + c_2 + c_3 a1+a2+b1+b2>a3+c1+c2+c3

      此时要么次品在左侧的 b 1 , b 2 b_1, b_2 b1,b2当中,要么次品为 a 3 a_3 a3

      我们同样取 a 3 , b 1 a_3, b_1 a3,b1 c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2进行第三次测量,有如下三种情况:

      1. a 3 + b 1 > c 1 + c 2 a_3 + b_1 > c_1 + c_2 a3+b1>c1+c2
        • b 1 b_1 b1小球为次品,偏重
      2. a 3 + b 1 < c 1 + c 2 a_3 + b_1 < c_1 + c_2 a3+b1<c1+c2
        • a 3 a_3 a3小球为次品,偏轻
      3. a 3 + b 1 = c 1 + c 2 a_3 + b_1 = c_1 + c_2 a3+b1=c1+c2
        • b 2 b_2 b2小球为次品,偏轻
    3. 左侧轻: a 1 + a 2 + b 1 + b 2 < a 3 + c 1 + c 2 + c 3 a_1 + a_2 + b_1 + b_2 < a_3 + c_1 + c_2 + c_3 a1+a2+b1+b2<a3+c1+c2+c3

      此时次品必然在左侧的 a 1 , a 2 a_1, a_2 a1,a2小球当中,且次品必然偏轻,因此我们直接将他们放到天平两侧进行测量即可,两者当中较轻的小球即为次品。

综上,问题完成。

3. 问题拓展

事实上,上述问题可以进一步推广到更一般的情况:

推论1
已知 3 n − 3 2 \frac{3^n-3}{2} 23n3个小球当中有且仅有一个次品小球,但次品小球与良品小球的重量关系未知。
现给定一个无砝码天平,则我们可以通过 n n n次称重来准确找到其中的次品小球,并判断其与良品小球的重量关系。

特别的,如果事先给出一个良品小球,那么上述推论可以进一步放宽到:

推论2
已知 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n1个小球当中有且仅有一个次品小球,但次品小球与良品小球的重量关系未知。
现给定一个无砝码天平与一个确定的良品小球,则我们可以通过 n n n次称重来准确找到其中的次品小球,并判断其与良品小球的重量关系。

要说明这两个问题,我们需要用到下面三个较弱的引理。

引理1
已知 3 n 3^n 3n个小球当中存在一个次品小球,且重量偏向已知,那么给定一个无砝码天平,我们必然可以在 n n n次称重之后准确地找到这个次品小球。

引理2
给定两堆存在次品的小球 A , B A,B A,B,他们各自均包含 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n1个小球。
已知 A A A堆小球重于 B B B堆小球,且他们之中有且仅有一个次品小球,但不知道是偏轻还是偏重。
此外,我们还有若干个良品小球,且个数不少于 3 n − 1 3^{n-1} 3n1个。
现给出一个无砝码天平,则在 n n n次称重后,必然可以从这两堆小球当中定位到唯一的一个次品小球,并判断其轻重关系。

引理3

给定两堆小球 A , B A,B A,B,他们分别包含 3 n + 1 2 \frac{3^n+1}{2} 23n+1个小球和 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n1个小球。
且两堆小球当中有且仅有一个次品小球,次品小球的重量关系未知。
此外,我们还有若干个良品小球,且个数不少于 3 n − 1 + 1 3^{n-1}+1 3n1+1个。
已知 A A A堆小球的重量和 B B B堆小球加一个良品小球的重量不相同,但是重量关系已知(不妨设为 A A A堆小球较重)。
现给出一个无砝码天平,则在 n n n次称重后,必然可以从这两堆小球当中定位到唯一的一个次品小球,并判断其轻重关系。

下面,我们逐次来说明这三个引理和两个推论。

1. 引理1

首先,我们重新给出引理1的具体描述如下:

引理1
已知 3 n 3^n 3n个小球当中存在一个次品小球,且重量偏向已知,那么给定一个无砝码天平,我们必然可以在 n n n次称重之后准确地找到这个次品小球。

这个结论其实是比较显然的,不过为求严谨,我们用数学归纳法进行一下证明:

首先,由于次品小球的重量偏向已知,我们不妨设次品小球比良品小球要重一些。

此时,我们考察当 n = 1 n=1 n=1的情况。

这个是比较显然的,我们任取两个小球放到天平两侧,此时:

  • 如果天平不平衡,那么其中较重的一个小球就是次品;
  • 如果天平平衡,那么剩下的第三个小球就是次品。

然后,我们假设 n ≤ k n \leq k nk的情况下都满足上述引理,我们考察 n = k + 1 n = k+1 n=k+1时的情况。

此时,我们将小球均分为3组,则每组都有 3 k 3^k 3k个小球,然后我们任取两堆放到天平两侧,则有如下两种情况:

  • 如果天平不平衡,那么其中较重的一组小球当中包含次品;
  • 如果天平平衡,那么剩下的第三组小球当中包含次品。

此时,我们就退回到了 n = k n=k n=k时的情况,由此 n = k + 1 n=k+1 n=k+1的情况下同样可以满足。

综上,引理1证毕。

事实上,这个引理可以进一步推广到:

推论
那么给定一个无砝码天平,我们总可以在 n n n次称重之后从不超过 3 n 3^n 3n个小球当中准确地找到其中唯一的一个轻重关系已知的次品小球。

这个引理的证明和上面没啥差别,这里就不展开赘述了,有兴趣的读者可以自行考虑一下。

2. 引理2

首先,我们重新给出引理2的具体描述如下:

引理2
给定两堆存在次品的小球 A , B A,B A,B,他们各自均包含 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n1个小球。
已知 A A A堆小球重于 B B B堆小球,且他们之中有且仅有一个次品小球,但不知道是偏轻还是偏重。
此外,我们还有若干个良品小球,且个数不少于 3 n − 1 3^{n-1} 3n1个。
现给出一个无砝码天平,则在 n n n次称重后,必然可以从这两堆小球当中定位到唯一的一个次品小球,并判断其轻重关系。

我们使用归纳法对这个问题进行处理。

首先,考虑当 n = 1 n=1 n=1的情况,此时, A , B A,B A,B两堆小球均为1个,另有1个良品小球。

此时,我们令天平两侧分别为:

  • 左侧:小球 A A A
  • 右侧:良品小球

此时有两种情况:

  1. 左侧较重
    • 小球 A A A为次品,且偏重
  2. 两侧一样重
    • 小球 B B B为次品,且偏轻

下面,我们假设 n ≤ k n \leq k nk时引理成立,考察 n = k + 1 n=k+1 n=k+1时的情形。

此时, A , B , C A,B,C A,B,C三堆小球各自含有 3 k + 1 − 1 2 \frac{3^{k+1}-1}{2} 23k+11个小球,且有至少

我们令天平两侧分别为:

  • 左侧: 3 k 3^{k} 3k A A A组中的小球 + 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k1 B B B组中的小球
  • 右侧: 3 k 3^{k} 3k个良品小球 + 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k1 A A A组中的小球

此时,我们剩余 3 k 3^{k} 3k B B B组中的小球在天平之外。

我们可能有以下三种称重结果:

  1. 左侧较轻
    • 此时,有问题的小球必然在左侧的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k1 B B B组中的小球或者右侧的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k1 A A A组中的小球当中。此时问题退回到了 n = k n=k n=k时的情况,因此这种情况下问题得以解决。
  2. 左侧较重
    • 此时,有问题的小球必然在左侧的 3 k 3^{k} 3k A A A组中的小球当中,且次品小球较重。由上述引理1,问题得解。
  3. 两侧一样重
    • 此时,有问题的小球必然在未称重的剩余 3 k 3^{k} 3k B B B组中的小球当中,且次品小球较轻。同样由上述引理1,问题得解。

因此, n = k + 1 n=k+1 n=k+1时,命题同样成立。

综上,引理2证毕。

3. 引理3

同样的,我们将引理3的具体内容重新记录在下面:

引理3

给定两堆小球 A , B A,B A,B,他们分别包含 3 n + 1 2 \frac{3^n+1}{2} 23n+1个小球和 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n1个小球。
且两堆小球当中有且仅有一个次品小球,次品小球的重量关系未知。
此外,我们还有若干个良品小球,且个数不少于 3 n − 1 + 1 3^{n-1}+1 3n1+1个。
已知 A A A堆小球的重量和 B B B堆小球加一个良品小球的重量不相同,但是重量关系已知(不妨设为 A A A堆小球较重)。
现给出一个无砝码天平,则在 n n n次称重后,必然可以从这两堆小球当中定位到唯一的一个次品小球,并判断其轻重关系。

关于这个引理的证明方法和上述引理2的证明方法完全一致。

我们同样采用数学归纳法对这个问题进行处理。

首先,我们考虑 n = 1 n=1 n=1的情形,此时 A A A堆小球有2个, B B B堆小球有1个,另有至少2个良品小球,且已知 A A A堆小球的重量大于 B B B堆小球加上1个良品小球的重量。

此时,我们进行如下称量:

  • 天平左侧:1个 A A A堆小球 + 1个 B B B堆小球
  • 天平右侧:2个良品小球

此时,有三种可能的结果:

  1. 天平左侧重
    • 次品小球为天平左侧的 A A A堆小球,且偏重
  2. 天平左侧轻
    • 次品小球为天平左侧的 B B B堆小球,且偏轻
  3. 天平平衡
    • 次品小球为剩余的一个 A A A堆小球,且偏重

下面,我们假设 n ≤ k n \leq k nk时上述命题都成立,考察 n = k + 1 n=k+1 n=k+1时的情形。

我们进行如下称量:

  • 天平左侧: 3 k + 1 2 \frac{3^k+1}{2} 23k+1 A A A堆中的小球 + 3 k 3^k 3k B B B堆中的小球
  • 天平右侧: 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k1 B B B堆中的小球 + 3 k + 1 3^k+1 3k+1个良品小球

此时,对于称量可能出现的三种情况,有:

  1. 天平左侧重
    • 次品小球必然在天平左侧的 3 k + 1 2 \frac{3^k+1}{2} 23k+1 A A A堆中的小球或者天平右侧的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k1 B B B堆中的小球当中。由之前的归纳总结,我们可以在剩余的 k k k次称量之后找到其中的次品小球并判断其轻重情况;
  2. 天平左侧轻
    • 次品小球必然在左侧的 3 k 3^k 3k B B B堆中的小球当中,且次品小球偏轻。我们由前述引理1可知,能够在剩余的 k k k次称量之后准确找到其中的次品小球。
  3. 天平平衡
    • 次品小球必然在剩余的的 3 k 3^k 3k A A A堆中的小球当中,且次品小球偏重。我们由前述引理1可知,能够在剩余的 k k k次称量之后准确找到其中的次品小球。

因此, n = k + 1 n=k+1 n=k+1的情况得证。

综上,引理3证毕。

4. 推论1

下面,我们来看一下推论一的证明。

同样的,我们首先回顾一下推论1的细节描述:

推论1
已知 3 n − 3 2 \frac{3^n-3}{2} 23n3个小球当中有且仅有一个次品小球,但次品小球与良品小球的重量关系未知。
现给定一个无砝码天平,则我们可以通过 n n n次称重来准确找到其中的次品小球,并判断其与良品小球的重量关系。

此时,我们将小球均分为三堆,则每堆小球都有 3 n − 1 − 1 2 \frac{3^{n-1}-1}{2} 23n11个小球。

然后,我们任取两堆放到天平的两侧进行称重,能够有以下两种情况:

  1. 天平不平衡
    • 此时,次品小球必然在这两堆小球当中,且两者重量关系已知。由上述引理2,我们能够从中找出次品小球,问题得解。
  2. 天平平衡
    • 此时,次品小球必然在剩下的 3 n − 1 − 1 2 \frac{3^{n-1}-1}{2} 23n11,且天平上的所有小球都是已知的良品小球,因此,由前述提到的推论2中的结论,这个问题也同样是可解的。

综上,只要下面我们说明了推论2中的情况,那么推论1也就完整证毕了。

5. 推论2

最后,我们来看一下推论2的解法。

同样的,我们先重新给出一下推论2的具体描述:

推论2
已知 3 n − 1 2 \frac{3^n-1}{2} 23n1个小球当中有且仅有一个次品小球,但次品小球与良品小球的重量关系未知。
现给定一个无砝码天平与一个确定的良品小球,则我们可以通过 n n n次称重来准确找到其中的次品小球,并判断其与良品小球的重量关系。

这里,我们同样使用归纳法对这个推论进行解答。

首先,对于 n = 1 n=1 n=1的情况,这个是显然的,因为我们有一个次品小球和一个良品小球,因此我们只需要一次测量就能够判断其与良品小球的重量关系。

下面,我们假设 n ≤ k n \leq k nk时命题都成立,考察 n = k + 1 n = k+1 n=k+1时的情况。

我们按照如下方式进行第一次天平测量:

  • 天平左侧:取 3 k + 1 2 \frac{3^k+1}{2} 23k+1个小球
  • 天平右侧:取 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k1个小球 + 一个良品小球

此时,我们有如下两种情况:

  1. 天平不平衡
    • 此时,剩余的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k1个小球必均为良品,因此,由上述引理3,我们可以证明在 k k k称重后我们一定可以找到其中的次品小球,并确定其与良品小球对应的重量关系。
  2. 天平平衡
    • 此时,次品小球必然在剩余的 3 k − 1 2 \frac{3^k-1}{2} 23k1个小球当中,由之前的归纳结果,我们已知其可以在 k k k次称重后找到其中的次品小球,并确定其与良品小球对应的重量关系。

因此, n = k + 1 n=k+1 n=k+1时命题同样成立。

综上,推论2证毕。

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部署zk https://mirrors.tuna.tsinghua.edu.cn/apache/zookeeper/zookeeper-3.9.1/apache-zookeeper-3.9.1.tar.gz tar -xf apache-zookeeper-3.9.1.tar.gz -C /apps cd /apps/ && ln -s apache-zookeeper-3.9.1 zookeeper 修改配置bash grep -vE ^$|^# conf/zo…

buuctf [极客大挑战 2019]Havefun1

解题思路&#xff1a; 小习惯 本题先看看源码或者检查一下&#xff0c;可能这是俺的一个小习惯。 源码里面都看到了php的代码 php代码解析&#xff1a; $cat$_GET[cat]; echo $cat; if($catdog){ echo Syc{cat_cat_cat_cat}; } 1.$ca…

<蓝桥杯软件赛>零基础备赛20周--第8周第2讲--排序的应用

报名明年4月蓝桥杯软件赛的同学们&#xff0c;如果你是大一零基础&#xff0c;目前懵懂中&#xff0c;不知该怎么办&#xff0c;可以看看本博客系列&#xff1a;备赛20周合集 20周的完整安排请点击&#xff1a;20周计划 每周发1个博客&#xff0c;共20周&#xff08;读者可以按…

ESP32使用mpu6050以及pid调参

pid //pid参考教程 https://www.xpstem.com/article/10120 #include <MPU6050_tockn.h> #include <Wire.h>MPU6050 mpu6050(Wire);// pid相关参数 unsigned long lastTime; double Input, Output, Setpoint; double ITerm, lastInput; double kp, ki, kd; int Sa…

HTML知识点梳理

em 自动适应用户所使用的字体。元素像素就是指px dp 虚拟像素&#xff0c;在不同的像素密度的设备上会自动适配 align只能用于div &#xff0c;align直接写在是div的属性 &#xff0c;text-align则是Css的属性 &#xff0c;两个属性使用的地方不一样&#xff0c;但是作用一样…

模板可变参数/包装器

一、什么是模板可变参数 1、对比函数可变参数 可变参数即参数的数量是不确定的&#xff0c;底层根据用户传入的数量&#xff0c;开一个数组存储对应的参数。 2、基本形式 args -- argument 参数 [0,n]个参数 // Args是一个模板参数包&#xff0c;args是一个函数形参参数包…

liunx常用指令之清空文件内容

ChatGPT国内站点&#xff1a;海鲸AI 在Linux系统中&#xff0c;可以使用以下命令清空文件内容&#xff1a; 使用重定向符号>将一个空字符串写入文件&#xff0c;这将覆盖文件的内容&#xff1a; > filename使用echo命令将空字符串写入文件&#xff0c;也会清空文件内容&a…

课题学习(十四)----三轴加速度计+三轴陀螺仪传感器-ICM20602

本篇博客对ICM20602芯片进行学习&#xff0c;目的是后续设计一个电路板&#xff0c;采集ICM20602的数据&#xff0c;通过这些数据对各种姿态解算的方法进行仿真学习。 一、 ICM20602介绍 1.1 初识芯片 3轴陀螺仪&#xff1a;可编程全刻度范围(FSR)为250 dps&#xff0c;500 d…

JavaWeb(四)

一、约束的概念和分类 约束是作用于表中列上的规则&#xff0c;用于限制加入表的数据&#xff0c;约束的存在保证了数据库中数据的正确性、有效性和完整性。 1.1、单表约束 利用约束创建表 需要注意的是: 1、主键是一行数据的唯一标识&#xff0c;要求非空且唯一。一张表只能…