一.引例

计算机网络传输的问题：

怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其他计算机发送一条消息。

抽象为：

给定带权有向图G=（V，E）和源点v，求从v到G中其余各顶点的最短路径。

即：

单源点最短路径问题

给定带权有向图G=（V，E）和源点vV,求从v到G中其余各顶点的最短路径。

二.最短路径

在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。

在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。

三.Dijskra算法的基本思想

        设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi属于V-S，假设从原点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v，……，vk，就将vk加入到集合S中，并将路径v，……，vk，vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。

四.Dijskra算法的数据结构

1.图的存储结构：

带权的邻接矩阵存储结构（因为需要频繁的读取边）

2.数组dist[n]：

每个分量dist[i]表示当前所找到的从起始点v到终点vi的最短路径的长度。

初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为。

3.数组path[n]:

path数组，下标为图每个顶点的编号，数组中的元素为由某个顶点到这个顶点的顶点编号。

初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为0；否则path[i]为-1。

最终输出最短路径，依靠path数组。

每次更改dist数组的内容，都会在path数组中更新上一个结点的内容。

4.数组s[n]:

存放源点和已生成的终点，其初态为只有一个源点v。

s数组都初始化为0（源点初始化为1），当该点被放入s集合中，将其置为1。

 五.伪代码

1.初始化数组dist、path和s；

2.while（s中的元素个数<n）

        2.1 在dist[n]中求最小值，其下标为k；

        2.2 输出dist[i]和path[j]；

        2.3 修改数组dist和path；

        2.4 将顶点vk添加到数组s中

六.代码实现 

#include <iostream>using namespace std;const int MAX_VERTEX=10;//带权（邻接矩阵）有向图
class MGraph{
private:int arc[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//邻接矩阵int vertex[MAX_VERTEX];//存储每个结点的信息int vertexNum,arcNum;//实际顶点个数，边的条数
public:MGraph(int n,int e);void Dijkstra(int start);int findMinDist(int dist[],int s[]);void display();void displayPath(int dist[],int path[],int start,int min);
};int main(int argc, const char * argv[]) {MGraph G(5, 7);//G.display();G.Dijkstra(0);return 0;
}
MGraph::MGraph(int n,int e){int p,q,w;vertexNum=n;arcNum=e;for(int i=0;i<n;i++){//初始化邻接矩阵for(int j=0;j<n;j++){arc[i][j]=-1;//-1表示不可到达}}for(int i=0;i<n;i++){vertex[i]=i;arc[i][i]=0;}for(int i=0;i<e;i++){cin>>p>>q>>w;arc[p][q]=w;}
}void MGraph::Dijkstra(int start){int *s=new int[vertexNum];int *dist=new int[vertexNum];int *path=new int[vertexNum];int i,num=0,min;for(i=0;i<vertexNum;i++){dist[i]=arc[start][i];//初始化距离s[i]=0;//初始化集合Sif(arc[start][i]!=-1){//start到i有路径path[i]=start;}else{path[i]=-1;}}s[start]=1;//将源点放入集合S中，1表示在集合中，0表示不在集合中num++;//num记录集合S中元素的个数
//    for(int i=0;i<vertexNum;i++){
//        cout<<dist[i]<<" ";
//    }
//    cout<<endl;while(num<vertexNum){min=findMinDist(dist, s);//dist中查找集合S中不存在的顶点到源点的距离的最小值cout<<min<<endl;s[min]=1;//将新生成的终点加入到集合S中num++;for(i=0;i<vertexNum;i++){//更新数组dist和pathif(s[i]==0&&arc[min][i]!=-1){if(dist[i]==-1){dist[i]=dist[min]+arc[min][i];//更新dist数组path[i]=min;//更新path数组}else if(dist[i]!=-1&&(dist[min]+arc[min][i])<dist[i]){dist[i]=dist[min]+arc[min][i];path[i]=min;//更新path数组}}}
//        for(int i=0;i<vertexNum;i++){
//            cout<<dist[i]<<" ";
//        }
//        cout<<endl;displayPath(dist, path, start, min);}delete [] path;delete [] s;delete [] dist;
}int MGraph::findMinDist(int dist[],int s[]){int i=0,min=0;for(i=0;i<vertexNum;i++){//给min赋初始值if(s[i]==0&&dist[i]!=-1){//该顶点不在集合S中min=i;break;}}for(;i<vertexNum;i++){if(s[i]==0){//该顶点不在集合S中if(dist[i]!=-1&&dist[min]>dist[i]){min=i;}}}return min;
}void MGraph::displayPath(int dist[],int path[],int start,int min){int pre=min;int p[vertexNum],i=0,j;while(pre!=start){p[i++]=pre;pre=path[pre];}p[i++]=pre;cout<<"(";for(j=i-1;j>0;j--){cout<<p[j]<<",";}cout<<p[0]<<")";cout<<dist[min]<<endl;
}
void MGraph::display(){for(int i=0;i<vertexNum;i++){for(int j=0;j<vertexNum;j++){cout<<arc[i][j]<<" ";}cout<<endl;}
}