树和二叉树的基本概念和堆的实现

树的概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。
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1.有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
2.除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
3.因此，树是递归定义的

这里大家要注意到一个点：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
例如：
以下几种情况都不是树
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树的相关概念

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上图是一棵树，我们用他来了解相关的定义：
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；如上图：树的度为6
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次；如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

孩子兄弟表示法就是一个节点带着一个数据，一个孩子，一个兄弟
孩子指向下一层的第一个孩子节点，兄弟节点则指向右侧的同一层的兄弟节点
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二叉树的概念及结构

二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

或者为空
由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

你会发现二叉树的规则：
二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

但是二叉树也可以是空树或者只有一个节点
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特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是，则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

满二叉树一定是完全二叉树！

二叉树的性质

若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是( 2^h)-1
对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为 n2,则有 n0 = n2 +1
若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1) (ps：是log以2为底，n+1为对数)

二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
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链式存储过于复杂，这里不做过多的讲解

堆的实现

这里我们用顺序结构来实现，和堆一起

堆的概念及结构

堆其实就是一颗二叉树：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树

其节点总是大于父节点的值就是小堆
节点的值总是小于父节点的值就是大堆
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现在我们给出一个数组，逻辑上看做一颗完全二叉树。我们通过从根节点开始的向下调整算法可以把它调整成一个小堆。向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能调整

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？这里我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
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向下调整算法

我们用父节点开始调整，如果当父节点的值小于子节点的值时我们就将其交换（此处的算法时调整为小堆）
代码实现如下：

void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b)
{HPDataType temp = *a;*a = *b;*b = temp;
}
void Adjustdown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;;while (child < n){if ((child + 1) < n && a[child] < a[child + 1]){child++;}if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}

堆的初始化

初始化小菜一碟了

void HeapInit(Heap* hp)
{assert(hp);hp->a = NULL;hp->capacity = 0;hp->size = 0;
}

堆的销毁

销毁也是轻车熟路了

void HeapDestory(Heap* hp)
{assert(hp);free(hp->a);hp->a = NULL;hp->capacity = 0;hp->size = 0;
}

判断堆是否为空

直接看size是否为0即可

int HeapEmpty(Heap* hp)
{assert(hp);return hp->size == 0;
}

返回堆顶元素

直接返回数组首元素（记得判断是否为就空）

HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));return hp->a[0];
}

堆增加元素

增加元素前我们首先判断数组是否已满，看是否需要扩容
然后将数组size位置赋值，同时size++，然后再用向下（上）调整算法

void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{assert(hp);if (hp->size == hp->capacity){int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (temp == NULL){perror("realloc");return;}hp->a = temp;hp->capacity = newcapacity;}hp->a[hp->size] = x;hp->size++;Adjustup(hp->a, hp->size - 1);
}

堆删除元素（堆顶）

栈的删除元素不能直接删除，因为因为直接删除头部元素后，父子关系全乱了，还需要重新建堆，所以我们首先进行首位交换，然后删除掉后面的的元素，再调整堆

void HeapPop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);//先交换首尾hp->size--;//再删除Adjustdown(hp->a, hp->size, 0);//再重新排栈
}

堆的实现完整代码如下：

void HeapInit(Heap* hp)
{assert(hp);hp->a = NULL;hp->capacity = 0;hp->size = 0;
}void HeapDestory(Heap* hp)
{assert(hp);free(hp->a);hp->a = NULL;hp->capacity = 0;hp->size = 0;
}int HeapEmpty(Heap* hp)
{assert(hp);return hp->size == 0;
}HPDataType HeapTop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));return hp->a[0];
}void Swap(HPDataType* a, HPDataType* b)
{HPDataType temp = *a;*a = *b;*b = temp;
}void Adjustup(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}void Adjustdown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;;while (child < n){if ((child + 1) < n && a[child] < a[child + 1]){child++;}if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x)
{assert(hp);if (hp->size == hp->capacity){int newcapacity = hp->capacity == 0 ? 4 : hp->capacity * 2;HPDataType* temp = (HPDataType*)realloc(hp->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (temp == NULL){perror("realloc");return;}hp->a = temp;hp->capacity = newcapacity;}hp->a[hp->size] = x;hp->size++;Adjustup(hp->a, hp->size - 1);
}void HeapPop(Heap* hp)
{assert(hp);assert(!HeapEmpty(hp));Swap(&hp->a[0], &hp->a[hp->size - 1]);//先交换首尾hp->size--;//再删除Adjustdown(hp->a, hp->size, 0);//再重新排栈
}

好了，本篇博客到此结束，谢谢大家的支持！