题目描述
你是一名宇航员，即将前往一个遥远的行星。在这个行星上，有许多不同类型的矿石资源，每种矿石都有不同的重要性和价值。你需要选择哪些矿石带回地球，但你的宇航舱有一定的容量限制。
给定一个宇航舱，最大容量为 C。现在有 N 种不同类型的矿石，每种矿石有一个重量 w[i]，一个价值 v[i]，以及最多 k[i] 个可用。不同类型的矿石在地球上的市场价值不同。你需要计算如何在不超过宇航舱容量的情况下，最大化你所能获取的总价值。
输入描述
输入共包括四行，第一行包含两个整数 C 和 N，分别表示宇航舱的容量和矿石的种类数量。
接下来的三行，每行包含 N 个正整数。具体如下：
第二行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的重量。
第三行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的价格。
第四行包含 N 个整数，表示 N 种矿石的可用数量上限。
输出描述
输出一个整数，代表获取的最大价值。
输入示例
10 3
1 3 4
15 20 30
2 3 2
输出示例
90
提示信息
数据范围：
1 <= C <= 10000;
1 <= N <= 10000;
1 <= w[i], v[i], k[i] <= 10000;
思路：动态规划-一维滚动数组
可以转换为0-1背包，关于0-1背包可以看我的博客：动态规划：0-1背包问题-二维数组和一维滚动数组解法。这里就不讲二维数组的解法了，二维数组的写法其实和一维滚动数组是差不多的，虽然物品数增加了，但是可以进行排列，给个例子：
| 质量 | 价值 | 最大数量 |
|---|---|---|
| 1 | 15 | 2 |
| 3 | 20 | 3 |
| 4 | 30 | 2 |
我们可以把数量扩写成如下的形式：
| 质量 | 价值 |
|---|---|
| 1 | 15 |
| 1 | 15 |
| 3 | 20 |
| 3 | 20 |
| 3 | 20 |
| 4 | 30 |
| 4 | 30 |
这样就转换为了0-1背包问题。多重背包在0-1背包的基础上加上了一个数量的维度，把它添上去就好了：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(){int C, N;cin >> C >> N;vector<int> weight(N, 0);vector<int> value(N, 0);vector<int> nums(N, 0);for (int i = 0; i < N; ++i)cin >> weight[i];for (int i = 0; i < N; ++i)cin >> value[i];for (int i = 0; i < N; ++i)cin >> nums[i];for (int i = 0; i < N; ++i){while (nums[i] > 1){weight.push_back(weight[i]);value.push_back(value[i]);nums[i]--;}}vector<int> dp(C + 1, 0);for (int i = 0; i < weight.size(); ++i){for (int j = C; j >= weight[i]; --j){dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]); }}}cout << dp[C];return 0;
}
然而vector的push_back是非常低效的，所以我一开始做出了下面的改进：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(){int C, N;cin >> C >> N;vector<int> weight(N, 0);vector<int> value(N, 0);vector<int> nums(N, 0);for (int i = 0; i < N; ++i)cin >> weight[i];for (int i = 0; i < N; ++i)cin >> value[i];for (int i = 0; i < N; ++i)cin >> nums[i];vector<int> dp(C + 1, 0);for (int i = 0; i < weight.size(); ++i){for (int j = C; j >= weight[i]; --j){for (int k = 1; k <= nums[i]; ++k){if (j >= k * weight[i])dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]); }}}cout << dp[C];return 0;
}
代码还可以继续精简，把if的判断放到for循环里：
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main(){int C, N;cin >> C >> N;vector<int> weight(N, 0);vector<int> value(N, 0);vector<int> nums(N, 0);for (int i = 0; i < N; ++i)cin >> weight[i];for (int i = 0; i < N; ++i)cin >> value[i];for (int i = 0; i < N; ++i)cin >> nums[i];vector<int> dp(C + 1, 0);for (int i = 0; i < weight.size(); ++i){for (int j = C; j >= weight[i]; --j){for (int k = 1; k <= nums[i] && j >= k * weight[i]; ++k){dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * weight[i]] + k * value[i]); }}}cout << dp[C];return 0;
}
