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[NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏
题目描述
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏:对于一个给定的 n × m n \times m n×m 的矩阵,矩阵中的每个元素 a i , j a_{i,j} ai,j 均为非负整数。游戏规则如下:
- 每次取数时须从每行各取走一个元素,共 n n n 个。经过 m m m 次后取完矩阵内所有元素;
- 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾;
- 每次取数都有一个得分值,为每行取数的得分之和,每行取数的得分 = 被取走的元素值 × 2 i \times 2^i ×2i,其中 i i i 表示第 i i i 次取数(从 1 1 1 开始编号);
- 游戏结束总得分为 m m m 次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序,对于任意矩阵,可以求出取数后的最大得分。
输入格式
输入文件包括 n + 1 n+1 n+1 行:
第一行为两个用空格隔开的整数 n n n 和 m m m。
第 2 ∼ n + 1 2\sim n+1 2∼n+1 行为 n × m n \times m n×m 矩阵,其中每行有 m m m 个用单个空格隔开的非负整数。
输出格式
输出文件仅包含 1 1 1 行,为一个整数,即输入矩阵取数后的最大得分。
样例 #1
样例输入 #1
2 3
1 2 3
3 4 2
样例输出 #1
82
提示
【数据范围】
对于 60 % 60\% 60% 的数据,满足 1 ≤ n , m ≤ 30 1\le n,m\le 30 1≤n,m≤30,答案不超过 1 0 16 10^{16} 1016。
对于 100 % 100\% 100% 的数据,满足 1 ≤ n , m ≤ 80 1\le n,m\le 80 1≤n,m≤80, 0 ≤ a i , j ≤ 1000 0\le a_{i,j}\le1000 0≤ai,j≤1000。
算法思想
根据题目描述,每次都要从各行的行首或行尾取走一个元素,一共取 m m m次,求出取数后的最大得分。不难发现,在取数的过程中,行与行之间相互独立,因此可以对每一行单独计算取数的最大得分。
根据得分的计算规则,每行取数的得分 = 被取走的元素值 × 2 i \times 2^i ×2i,其中 i i i 表示第 i i i 次取数(从 1 1 1 开始编号),而每次取数有两种情况,行首或行尾取走一个元素,如下图所示:
那么,每行取数的得分之和的最大值除了与被取走的元素值 × 2 i \times 2^i ×2i有关,还与剩余区间的得分相关,可以使用区间型动态规划来处理。
状态表示
f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示在一行中区间 [ i , j ] [i,j] [i,j]取数的最大得分。
状态计算
根据取数规则,只能取走行首或行尾元素,因此要计算当前状态 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j],可以根据取数的位置分成两种情况:
- 取走行首元素,也就是 i i i位置上的元素,得分为 f [ i + 1 ] [ j ] + w [ i ] × 2 m − j + i f[i+1][j] + w[i]\times2^{m-j+i} f[i+1][j]+w[i]×2m−j+i
- 取走行尾元素,也就是 j j j位置上的元素,得分为 f [ i ] [ j − 1 ] + w [ j ] × 2 m − j + i f[i][j-1] + w[j]\times2^{m-j+i} f[i][j−1]+w[j]×2m−j+i
其中:
- f [ i + 1 ] [ j ] f[i+1][j] f[i+1][j]、 f [ i + 1 ] [ j ] f[i+1][j] f[i+1][j]表示剩余区间的得分最大值;
- w 表示取数位置上元素的分值。对区间 表示取数位置上元素的分值。对区间 表示取数位置上元素的分值。对区间[i,j] 取数时,意味着之前已经取走了 取数时,意味着之前已经取走了 取数时,意味着之前已经取走了m-(j-i+1) 个数,当前是第 个数,当前是第 个数,当前是第m-j+i 次取数,因此应加上 次取数,因此应加上 次取数,因此应加上w\times2^{m-j+i}$
初始状态
注意,当区间长度为 1 1 1时, f [ i + 1 ] [ j ] f[i+1][j] f[i+1][j]、 f [ i + 1 ] [ j ] f[i+1][j] f[i+1][j]表示的区间为空,此时状态应为 0 0 0。
时间复杂度
状态数为 m × m m\times m m×m,状态计算的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1),一共要计算 n n n行,因此时间复杂度为 O ( n × m 2 ) = 8 0 3 = 512000 O(n\times m^2)=80^3=512000 O(n×m2)=803=512000。
代码实现(60分)
对于 60 % 60\% 60% 的数据,满足 1 ≤ n , m ≤ 30 1\le n,m\le 30 1≤n,m≤30,答案不超过 1 0 16 10^{16} 1016。
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100;
int n, m;
LL w[N], f[N][N];
LL work()
{//枚举区间长度for(int len = 1; len <= m; len ++)//枚举开始位置for(int i = 1; i + len - 1 <= m; i ++){int j = i + len - 1; //结束位置int t = m - j + i; //第t次取数f[i][j] = max(f[i + 1][j] + w[i] * (1 << t), f[i][j - 1] + w[j] * (1 << t));}return f[1][m];
}
int main()
{cin >> n >> m;LL res = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++){for(int j = 1; j <= m; j ++)cin >> w[j];res += work();}cout << res << endl;return 0;
}
代码实现(100分)
对于 100 % 100\% 100% 的数据,满足 1 ≤ n , m ≤ 80 1\le n,m\le 80 1≤n,m≤80, 0 ≤ a i , j ≤ 1000 0\le a_{i,j}\le1000 0≤ai,j≤1000。
高精度实现
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
typedef vector<int> VI;
typedef long long LL;
const int N = 90, D = 1e8; //表示大整数每个部分的位数
int n, m;
int w[N];
VI f[N][N];
VI power2[N];VI add(VI a, VI b)
{static VI c;c.clear();for (int i = 0, t = 0; i < a.size() || i < b.size() || t; i ++ ){if (i < a.size()) t += a[i];if (i < b.size()) t += b[i];c.push_back(t % D); //压位t /= D; //压位}return c;
}VI mul(VI a, int b)
{static VI c;c.clear();LL t = 0;for (int i = 0; i < a.size() || t; i ++ ){if (i < a.size()) t += (LL)a[i] * b;c.push_back(t % D);t /= D;}return c;
}VI Max(VI A, VI B)
{if (A.size() != B.size()){if (A.size() > B.size()) return A;return B;}for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- ){if (A[i] > B[i]) return A;if (A[i] < B[i]) return B;}return A;
}void print(VI a)
{printf("%d", a.back());//压位处理,中间位数不足8位则补0for (int i = a.size() - 2; i >= 0; i -- ) printf("%08d", a[i]); puts("");
}VI work()
{for (int len = 1; len <= m; len ++ )for (int i = 1; i + len - 1 <= m; i ++ ){int j = i + len - 1;int t = m - j + i;//区间长度为1时if (i == j) f[i][j] = mul(power2[t], w[j]);else{auto left = add(mul(power2[t], w[i]), f[i + 1][j]);auto right = add(mul(power2[t], w[j]), f[i][j - 1]);f[i][j] = Max(left, right);}}return f[1][m];
}int main()
{cin >> n >> m;//求2的次方power2[0] = {1};for (int i = 1; i <= m; i ++ ) power2[i] = mul(power2[i - 1], 2);//将res初始化为0VI res(1, 0);for (int i = 1; i <= n; i ++ ){for (int j = 1; j <= m; j ++ ) cin >> w[j];res = add(res, work());}print(res);return 0;
}
__int128实现
由于 m ≤ 80 m\le 80 m≤80, 0 ≤ a i , j ≤ 1000 0\le a_{i,j}\le1000 0≤ai,j≤1000,那么每行的最大值为 80 × 1000 × 2 80 80\times1000\times2^{80} 80×1000×280,不会超过 2 100 2^{100} 2100,因此可以使用__int128
来实现。
注意:
__int128
并不在c++标准中,它存在于GCC编译器,且仅GCC4.6 及以上的64位版本支持。所以在使用时,要确认OJ是否支持。cout
不能直接输出__int128
。
#include <iostream>
using namespace std;
typedef __int128 INT;
const int N = 100;
int n, m;
int w[N];
INT f[N][N];
INT work()
{//枚举区间长度for(int len = 1; len <= m; len ++)//枚举开始位置for(int i = 1; i + len - 1 <= m; i ++){int j = i + len - 1; //结束位置int t = m - j + i; //第t次取数INT p = 1; p = p << t;f[i][j] = max(f[i + 1][j] + w[i] * p, f[i][j - 1] + w[j] * p);}return f[1][m];
}
void print(INT x)
{if(x > 9) print(x / 10);cout << x % 10;
}
int main()
{cin >> n >> m;INT res = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++){for(int j = 1; j <= m; j ++)cin >> w[j];res += work();}//注意,cout不能直接输出__int128print(res);return 0;
}