NOIP2007提高组第二轮T3:矩阵取数游戏

题目链接

[NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏:对于一个给定的 n × m n \times m n×m 的矩阵,矩阵中的每个元素 a i , j a_{i,j} ai,j 均为非负整数。游戏规则如下:

  1. 每次取数时须从每行各取走一个元素,共 n n n 个。经过 m m m 次后取完矩阵内所有元素;
  2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾;
  3. 每次取数都有一个得分值,为每行取数的得分之和,每行取数的得分 = 被取走的元素值 × 2 i \times 2^i ×2i,其中 i i i 表示第 i i i 次取数(从 1 1 1 开始编号);
  4. 游戏结束总得分为 m m m 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序,对于任意矩阵,可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件包括 n + 1 n+1 n+1 行:

第一行为两个用空格隔开的整数 n n n m m m

2 ∼ n + 1 2\sim n+1 2n+1 行为 n × m n \times m n×m 矩阵,其中每行有 m m m 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含 1 1 1 行,为一个整数,即输入矩阵取数后的最大得分。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

样例输出 #1

82

提示

【数据范围】

对于 60 % 60\% 60% 的数据,满足 1 ≤ n , m ≤ 30 1\le n,m\le 30 1n,m30,答案不超过 1 0 16 10^{16} 1016
对于 100 % 100\% 100% 的数据,满足 1 ≤ n , m ≤ 80 1\le n,m\le 80 1n,m80 0 ≤ a i , j ≤ 1000 0\le a_{i,j}\le1000 0ai,j1000

算法思想

根据题目描述,每次都要从各行的行首或行尾取走一个元素,一共取 m m m次,求出取数后的最大得分。不难发现,在取数的过程中,行与行之间相互独立,因此可以对每一行单独计算取数的最大得分。

根据得分的计算规则,每行取数的得分 = 被取走的元素值 × 2 i \times 2^i ×2i,其中 i i i 表示第 i i i 次取数(从 1 1 1 开始编号),而每次取数有两种情况,行首或行尾取走一个元素,如下图所示:

在这里插入图片描述
那么,每行取数的得分之和的最大值除了与被取走的元素值 × 2 i \times 2^i ×2i有关,还与剩余区间的得分相关,可以使用区间型动态规划来处理。

状态表示

f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]表示在一行中区间 [ i , j ] [i,j] [i,j]取数的最大得分。

状态计算

根据取数规则,只能取走行首或行尾元素,因此要计算当前状态 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j],可以根据取数的位置分成两种情况:

  • 取走行首元素,也就是 i i i位置上的元素,得分为 f [ i + 1 ] [ j ] + w [ i ] × 2 m − j + i f[i+1][j] + w[i]\times2^{m-j+i} f[i+1][j]+w[i]×2mj+i
  • 取走行尾元素,也就是 j j j位置上的元素,得分为 f [ i ] [ j − 1 ] + w [ j ] × 2 m − j + i f[i][j-1] + w[j]\times2^{m-j+i} f[i][j1]+w[j]×2mj+i

其中:

  • f [ i + 1 ] [ j ] f[i+1][j] f[i+1][j] f [ i + 1 ] [ j ] f[i+1][j] f[i+1][j]表示剩余区间的得分最大值;
  • w 表示取数位置上元素的分值。对区间 表示取数位置上元素的分值。对区间 表示取数位置上元素的分值。对区间[i,j] 取数时,意味着之前已经取走了 取数时,意味着之前已经取走了 取数时,意味着之前已经取走了m-(j-i+1) 个数,当前是第 个数,当前是第 个数,当前是第m-j+i 次取数,因此应加上 次取数,因此应加上 次取数,因此应加上w\times2^{m-j+i}$

初始状态

注意,当区间长度为 1 1 1时, f [ i + 1 ] [ j ] f[i+1][j] f[i+1][j] f [ i + 1 ] [ j ] f[i+1][j] f[i+1][j]表示的区间为空,此时状态应为 0 0 0

时间复杂度

状态数为 m × m m\times m m×m,状态计算的时间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1),一共要计算 n n n行,因此时间复杂度为 O ( n × m 2 ) = 8 0 3 = 512000 O(n\times m^2)=80^3=512000 O(n×m2)=803=512000

代码实现(60分)

对于 60 % 60\% 60% 的数据,满足 1 ≤ n , m ≤ 30 1\le n,m\le 30 1n,m30,答案不超过 1 0 16 10^{16} 1016

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100;
int n, m;
LL w[N], f[N][N];
LL work()
{//枚举区间长度for(int len = 1; len <= m; len ++)//枚举开始位置for(int i = 1; i + len - 1 <= m; i ++){int j = i + len - 1; //结束位置int t = m - j + i; //第t次取数f[i][j] = max(f[i + 1][j] + w[i] * (1 << t), f[i][j - 1] + w[j] * (1 << t));}return f[1][m];
}
int main()
{cin >> n >> m;LL res = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++){for(int j = 1; j <= m; j ++)cin >> w[j];res += work();}cout << res << endl;return 0;
}

代码实现(100分)

对于 100 % 100\% 100% 的数据,满足 1 ≤ n , m ≤ 80 1\le n,m\le 80 1n,m80 0 ≤ a i , j ≤ 1000 0\le a_{i,j}\le1000 0ai,j1000

高精度实现

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
using namespace std;
typedef vector<int> VI;
typedef long long LL;
const int N = 90, D = 1e8; //表示大整数每个部分的位数
int n, m;
int w[N];
VI f[N][N];
VI power2[N];VI add(VI a, VI b)
{static VI c;c.clear();for (int i = 0, t = 0; i < a.size() || i < b.size() || t; i ++ ){if (i < a.size()) t += a[i];if (i < b.size()) t += b[i];c.push_back(t % D); //压位t /= D; //压位}return c;
}VI mul(VI a, int b)
{static VI c;c.clear();LL t = 0;for (int i = 0; i < a.size() || t; i ++ ){if (i < a.size()) t += (LL)a[i] * b;c.push_back(t % D);t /= D;}return c;
}VI Max(VI A, VI B)
{if (A.size() != B.size()){if (A.size() > B.size()) return A;return B;}for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- ){if (A[i] > B[i]) return A;if (A[i] < B[i]) return B;}return A;
}void print(VI a)
{printf("%d", a.back());//压位处理,中间位数不足8位则补0for (int i = a.size() - 2; i >= 0; i -- ) printf("%08d", a[i]); puts("");
}VI work()
{for (int len = 1; len <= m; len ++ )for (int i = 1; i + len - 1 <= m; i ++ ){int j = i + len - 1;int t = m - j + i;//区间长度为1时if (i == j) f[i][j] = mul(power2[t], w[j]);else{auto left = add(mul(power2[t], w[i]), f[i + 1][j]);auto right = add(mul(power2[t], w[j]), f[i][j - 1]);f[i][j] = Max(left, right);}}return f[1][m];
}int main()
{cin >> n >> m;//求2的次方power2[0] = {1};for (int i = 1; i <= m; i ++ ) power2[i] = mul(power2[i - 1], 2);//将res初始化为0VI res(1, 0);for (int i = 1; i <= n; i ++ ){for (int j = 1; j <= m; j ++ ) cin >> w[j];res = add(res, work());}print(res);return 0;
}

__int128实现

由于 m ≤ 80 m\le 80 m80 0 ≤ a i , j ≤ 1000 0\le a_{i,j}\le1000 0ai,j1000,那么每行的最大值为 80 × 1000 × 2 80 80\times1000\times2^{80} 80×1000×280,不会超过 2 100 2^{100} 2100,因此可以使用__int128来实现。

注意:

  • __int128并不在c++标准中,它存在于GCC编译器,且仅GCC4.6 及以上的64位版本支持。所以在使用时,要确认OJ是否支持。
  • cout不能直接输出__int128
#include <iostream>
using namespace std;
typedef __int128 INT;
const int N = 100;
int n, m;
int w[N];
INT f[N][N];
INT work()
{//枚举区间长度for(int len = 1; len <= m; len ++)//枚举开始位置for(int i = 1; i + len - 1 <= m; i ++){int j = i + len - 1; //结束位置int t = m - j + i; //第t次取数INT p = 1; p = p << t;f[i][j] = max(f[i + 1][j] + w[i] * p, f[i][j - 1] + w[j] * p);}return f[1][m];
}
void print(INT x)
{if(x > 9) print(x / 10);cout << x % 10;
}
int main()
{cin >> n >> m;INT res = 0;for(int i = 1; i <= n; i ++){for(int j = 1; j <= m; j ++)cin >> w[j];res += work();}//注意,cout不能直接输出__int128print(res);return 0;
}

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/187695.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

恒驰服务 | 华为云云上运维服务offering

恒驰运维服务主要针对运维要求高或自身运维能力有限的客户&#xff0c;通过服务增购的形式&#xff0c;提供运维服务以协助客户做好云上资源运维管理&#xff0c;规避业务风险&#xff0c;降低运维开销&#xff0c;提升客户业务稳定性。 适用场景&#xff1a; 如何保障业务稳定…

内衣洗衣机哪个牌子好用?性价比高的迷你洗衣机推荐

洗衣机是现代家庭中必备的一种家用电器&#xff0c;它的使用简便、省时、省力&#xff0c;是我们生活中不可缺少的一部分&#xff0c;差不多家家户户都有一台&#xff0c;甚至两台以上。由于内衣内裤并不能够直接扔进洗衣机里进行清洗&#xff0c;因此一种内衣专业的洗衣机就出…

单机zk安装与zk四字命令

一、下载 Apache ZooKeeper可以在 Linux 系统中使用 wget 命令直接下载&#xff0c;官网地址 Apache ZooKeeper 二、解压 tar -zxvf apache-zookeeper-3.8.3-bin.tar.gz 进去解压的目录中&#xff0c; 进入到 zk 解压目录的 conf 目录&#xff0c;复制 zoo_sample.cfg 文件&a…

简单实用:isPalindrome方法在密码验证中的应用

在信息安全领域中&#xff0c;密码验证是非常重要的一部分。一个好的密码应该有足够的复杂度&#xff0c;以防止被破解。而回文密码由于正读和反读都一样这样特殊的性质&#xff0c;具有很高的安全性&#xff0c;可以发挥很大的作用。在实际的密码策略中&#xff0c;我们可能会…

2023认证杯B题:金属表面缺陷检测|数学中国数学建模国际赛(小美赛) |数学建模完整代码+建模过程全解全析

当大家面临着复杂的数学建模问题时&#xff0c;你是否曾经感到茫然无措&#xff1f;作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主&#xff0c;我为大家提供了一套优秀的解题思路&#xff0c;让你轻松应对各种难题。 让我们来看看认证杯的B题&#xff01; 完整内容可以在文章末…

你对SPA单页面的理解,它的优缺点分别是什么?

面试官&#xff1a;你对SPA单页面的理解&#xff0c;它的优缺点分别是什么&#xff1f;如何实现SPA应用呢 一、什么是SPA SPA&#xff08;single-page application&#xff09;&#xff0c;翻译过来就是单页应用SPA是一种网络应用程序或网站的模型&#xff0c;它通过动态重写当…

Whisper

文章目录 使后感Paper Review个人觉得有趣的Log Mel spectrogram & STFT Trainingcross-attention输入cross-attention输出positional encoding数据 Decoding为什么可以有时间戳的信息 Test code 使后感 因为运用里需要考虑到时效和准确性&#xff0c;类似于YOLO&#xff…

vue3使用动态component

使用场景&#xff1a; 多个组件通过component标签挂载在同一个组件中&#xff0c;通过触发时间进行动态切换。vue3与vue2用法不一样&#xff0c;这里有坑&#xff01; 使用方法&#xff1a; 1.通过vue的defineAsyncComponent实现挂载组件 2.component中的is属性 父组件&am…

GaussDB如何进行性能调优

GaussDB如何进行性能调优 GaussDB性能调优过程需要综合考虑多方面因素&#xff0c;因此&#xff0c;调优人员应对系统软件架构、软硬件配置、数据库配置参数、并发控制、查询处理和数据库应用有广泛而深刻的理解。 调优流程 调优各阶段说明&#xff0c;如下表所示。 数据库性…

深入探究Photoshop图像修复与润饰技巧

&#x1f482; 个人网站:【 海拥】【神级代码资源网站】【办公神器】&#x1f91f; 基于Web端打造的&#xff1a;&#x1f449;轻量化工具创作平台&#x1f485; 想寻找共同学习交流的小伙伴&#xff0c;请点击【全栈技术交流群】 在Photoshop中&#xff0c;图像修复和润饰是强…

Vim Coc插件实现代码跳转

Vim Coc插件实现代码跳转 按照coc主页的配置 里面是有提供代码跳转的功能的 具体配置如下 " GoTo code navigation nmap <silent> gd <Plug>(coc-definition) nmap <silent> gy <Plug>(coc-type-definition) nmap <silent> gi <Plug…

CNN对 MNIST 数据库中的图像进行分类

加载 MNIST 数据库 MNIST 是机器学习领域最著名的数据集之一。 它有 70,000 张手写数字图像 - 下载非常简单 - 图像尺寸为 28x28 - 灰度图 from keras.datasets import mnist# 使用 Keras 导入MNIST 数据库 (X_train, y_train), (X_test, y_test) mnist.load_data()print(&…

代码随想录算法训练营第三十六天| 435 无重叠区间 763 划分字母区间 56 合并区间

目录 435 无重叠区间 763 划分字母区间 56 合并区间 435 无重叠区间 将intervals数组按照左端点进行升序排序。 设置变量len标志此时新加入端点后所有区间的位置&#xff0c;将其赋初值为第一对区间的右端点&#xff0c;因为该点是一定可达的。设置变量res来存储需要移除空间…

上海亚商投顾:沪指震荡反弹 消费、医药股走势活跃

上海亚商投顾前言&#xff1a;无惧大盘涨跌&#xff0c;解密龙虎榜资金&#xff0c;跟踪一线游资和机构资金动向&#xff0c;识别短期热点和强势个股。 一&#xff0e;市场情绪 指数今日窄幅震荡&#xff0c;黄白二线分化明显&#xff0c;权重股力挺指数&#xff0c;题材小票走…

INA219电流感应芯片_程序代码

详细跳转借鉴链接INA219例程此处进行总结 简单介绍一下 INA219&#xff1a; 1、 输入脚电压可以从 0V~26V,INA219 采用 3.3V/5V 供电. 2、 能够检测电流&#xff0c;电压和功率&#xff0c;INA219 内置基准器和乘法器使之能够直接以 A 为单位 读出电流值。 3、 16 位可编程地…

《数字图像处理-OpenCV/Python》连载(50)非线性灰度变换

《数字图像处理-OpenCV/Python》连载&#xff08;50&#xff09;非线性灰度变换 本书京东优惠购书链接&#xff1a;https://item.jd.com/14098452.html 本书CSDN独家连载专栏&#xff1a;https://blog.csdn.net/youcans/category_12418787.html 第 7 章 图像的灰度变换 灰度变…

Unity | 渡鸦避难所-0 | 创建 URP 项目并导入商店资源

0 前言 知识点零零碎碎&#xff0c;没有目标&#xff0c;所以&#xff0c;一起做游戏吧 各位老师如果有什么指点、批评、漫骂、想法、建议、疑惑等&#xff0c;欢迎留言&#xff0c;一起学习 1 创建 3D&#xff08;URP&#xff09;项目 在 Unity Hub 中点击新项目&#xff…

【ESP32】手势识别实现笔记:红外温度阵列 | 双三次插值 | 神经网络 | TensorFlow | ESP-DL

目录 一、开发环境搭建与新建工程模板1.1、开发环境搭建与卸载1.2、新建工程目录1.3、自定义组件 二、驱动移植与应用开发2.1、I2C驱动移植与AMG8833应用开发2.2、SPI驱动移植与LCD应用开发2.3、绘制温度云图2.4、启用PSRAM&#xff08;可选&#xff09;2.5、画面动静和距离检测…

SSM框架详解:结构创建与注解应用

文章目录 1. 引言2. SSM框架项目结构创建2.1 目录结构2.2 说明 3. 注解的应用3.1 Controller3.2 Service3.3 Repository3.4 Autowired3.5 RequestMapping3.6 Select、Insert等 4. 结语 &#x1f388;个人主页&#xff1a;程序员 小侯 &#x1f390;CSDN新晋作者 &#x1f389;欢…

专业级音频处理 Logic Pro X 中文 for Mac

Logic Pro X是一款专业音频制作和音乐创作软件。它是Mac电脑上最受欢迎和广泛使用的音频工作站&#xff08;DAW&#xff09;。Logic Pro X提供了丰富的功能和工具&#xff0c;适用于音乐制作、录音、编辑、混音和音频处理等方面。以下是Logic Pro X软件的一些主要特点和功能&am…