【动态规划】LeetCode-1137.第N个泰波那契数

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题目

题目描述

泰波那契序列 $T_{n}$ 定义如下：
$T_{0}$ = 0, $T_{1}$ = 1, $T_{2}$ = 1, 且在 n >= 0 的条件下 $T_{n+3}$ = $T_{n}$ + $T_{n+1}$ + $T_{n+2}$

给你整数 n，请返回第 n 个泰波那契数 $T_{n}$ 的值。

执行示例

示例 1：
输入：n = 4
输出：4
解释：
$T_{3}$ = 0 + 1 + 1 = 2
$T_{4}$ = 1 + 1 + 2 = 4

示例 2：
输入：n = 25
输出：1389537

提示

0 <= n <= 37
答案保证是一个 32 位整数，即 answer <= 2^31 - 1。

题解

这道题给了状态转移方程（也就是递推公式） $T_{n+3}$ = $T_{n}$ + $T_{n+1}$ + $T_{n+2}$ ，我们可以对它做一个变形，即 $T_{n}$ = $T_{n-1}$ + $T_{n-2}$ + $T_{n-3}$ 。从变形后的式子可知，求第n个泰波那契数就必须知道第n-1、n-2、n-3个泰波那契数的数值。题目中给出了前3个泰波那契数的数值，即 $T_{0}$ = 0, $T_{1}$ = 1, $T_{2}$ = 1。所以我们可以计算 $T_{3}$ = $T_{2}$ + $T_{1}$ + $T_{0}$ =0+1+1=2， $T_{4}$ = $T_{3}$ + $T_{2}$ + $T_{1}$ =2+1+1=4，…以此类推。我们来看一下实现的代码↓↓↓

class Solution {
public:int tribonacci(int n) {if(n == 0) return 0;if(n == 1) return 1;vector<int>dp(n + 1);dp[0] = 0;dp[1] = dp[2] = 1;for(int i = 3; i <= n; i++)dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3];return dp[n];}
};

上面代码的时空复杂度均为O(N)，我们可以使用滚动数组将空间复杂度降为O(1)。这里的滚动数组也就是4个变量，我们将4个变量分别设置为cur、pre、ppre、morepre，分别保存第n号数、第n-1号数、第n-2号数、第n-3号数。因为，我们计算第n号数时，仅需要前3号数，因此我们可以通过3个变量保存前3号数，还需要1个变量保存前3号数相加的结果。通过morepre=ppre、ppre=pre、pre=cur来更新各个数值，以求出第n号数的数值。
ps：例如morepre、ppre、pre分别保存第0号、第1号、第2号数的值，cur保存前3个变量的加和，即求出第3号数的数值。通过执行morepre=ppre、ppre=pre、pre=cur，morepre、ppre、pre此时分别保存第1号、第2号、第3号数的值，再使用cur保存前3个变量的加和，就可以求出第4号数的数值，以此类推…

class Solution {
public:int tribonacci(int n) {if(n == 0) return 0;if(n == 1 || n == 2) return 1;int morepre = 0, ppre = 1, pre = 1, cur = 2;for(int i = 3; i < n; i++){morepre = ppre;ppre = pre;pre = cur;cur = morepre + ppre + pre;}return cur;}
};