前言

本来想先把搁置了一个月的Linux讲讲的，但是里面有些内容需要用到一些比较高级的数据结构，用C写的话比较麻烦，所以还是接着我前面的C++讲。

本篇主要讲二叉搜索树，先说概念，然后直接上手实现。再给一些生活中的场景，最后用这里的二叉搜索树来解前面我写数据结构阶段的两道链表题。

正式开始

二叉搜索树（搜索二叉树），也叫二叉排序树。如果某棵二叉搜索树不是空树，则其具有以下性质：

1. 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
2. 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
3. 它的左右子树也分别为二叉搜索树

简单来说就是 左 < 根 < 右。搜索树不允许有重复值，所以没有相等的情况。

二叉搜索树是第一个二叉树的应用，还是比较有用的。概念讲完了，就直接开始实现。

模拟实现

就实现三个功能，一般的数据结构都是增删查改四个基本功能，这里二叉搜索树少了一个改的功能，具体为什么各位等会看其余的三个实现就懂了。

二叉搜索树分为两类，一类是key模型，一类是key/value模型，至于什么意思暂时讲不了，但是你们先看模拟实现就行了， 这里先实现key模型的，看完模拟实现就懂了。

树节点以及树框架

二叉搜索树的英文名字叫binary search tree，缩写就用的是BST。

先是树节点，这模版中的模版参数用的是K，而不是平常的T，主要是为了标志出这里的实现是key模型的实现：

上面的是struct而不是class是因为等会实现的时候节点中的左右孩子指针和val一直都要用到。跟前面我在list的模拟实现那篇中同理。

然后就是树的框架：

在里面typedef一下树节点，用起来比较方便。初始情况下root为空。

然后就可以写增删查了。

增

就是往树里面插入。不过这里有点要求。就是插入树节点的时候要保证 左 < 根 < 右。所以要先找到合适的位置，然后再在该位置上插入。

我们就用 int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13}; 这几个数来挨个插入。

先把图解画出来：

那么上面的这棵树就是二叉搜索树，如上面的过程能看懂，那么我觉得二叉搜索树的插入思想你就明白了。

就是找合适的位置，插入即可。

先给个接口：

用bool作为返回值，因为前面说了搜索树中不能有相同的数值。如果有了相同的数值就返回false。

中间要创建节点值为val的新节点，所以我们可以在BSTreeNode中写一个构造：

然后就是找合适位置了：

cur经过如上代码，就可找到要插入的位置。

如果数据结构学的不是很扎实的同学可能会犯如下错误：

这种情况下直接返回。

屏幕前的你知道哪里出问题了吗？
仔细捋一捋就能发现，cur本来已经找到了该插入的位置的，但是new了之后cur的值就变成了val新节点的地址了，这里根本就没有插入，就只是将cur不断地赋值而已。

那么要改一改，插入的时候要插入到合适的位置，要插入到某一个节点的孩子位置，最重要的是要知道插入位置的父节点。

所以找插入位置的过程要不断记住路程中的父节点，这样才能保证插入的位置是在树上的，而不是随机找个节点插。

最终代码如下：

再来写一个中序遍历验证一下：

中序遍历

如果写成下面这样：

调用的时候就有点小问题。

这样的写法在用对象调用的时候必须要将树的根节点指针传过去，但是又有一个问题，我实现的树里面根节点是私有的。

想要解决的话可以给一个接口来专门返回根节点的地址；或者还可以用友元。

有的同学说可以给缺省参数，将函数的缺省参数给为_root，这样的做法是错误的：

这里有一个最优解法，就是搞一个子函数。
像下面这样：

就可以直接不传参调用InOrder。

因为不支持插入重复元素，所以这里绝对不会打印出重复元素。中序打印出来的结果完全就是排好序的。因为左根右的遍历方式打印出来就是有序的，不理解的自己想一想。

然后来说查找。

查找

查找是这三个里面最简单的。

这里不需要返回节点什么的，只要能判断在不在就可以了，这也是key模型的关键所在，等会也会讲对应的应用场景。

测试一下：

再来说删除。

删除

这个最麻烦，主要是删除一个数后要保持其仍然是一个二叉搜索树。

被删除的节点可以分三种情况：

1. 没有孩子
2. 有一个孩子
3. 有两个孩子

分别来画图看看：

没有孩子

节点删除之后将树中的该位置改为nullptr就行。

实现起来的话，先找到13，删除13，再让14的左指向空。

有一个孩子

子替换父即可。

实现起来的话，就是先找到14，然后让10的右指向13，再删除14。

有两个孩子

删除的时候要用到替换法。
最麻烦的就在这里。

两种解决方式：

1. 让删除节点的左树中最大的替换到删除节点处
2. 让删除节点的右树中最小的替换到删除节点处

观看理论比较晦涩，看图：

这样替换下来，仍能够保持其是一棵二叉搜索树。

实现起来的话，两种方法：

1. 左子树：先找到3，再去3的左子树中找最大值1，然后让二者的值交换，这
   样1就跑到了根，3就跑到左子树上了，再删除交换后的3处的节点。
2. 右子树：先找到3，再去3的左子树中找最小值4，然后让二者的值交换，这样4就跑到了根，3就跑到右子树上了，再删除交换后的3处的节点。

再来个例子：

树的根节点的删除比较特殊，这里没看懂的话没关系，等会会详谈。

根据上面的思想，删除两个孩子的节点方法可以总结如下：

1. 先找到删除的节点
2. 删除的时候只用选择 去左树中找最大值 或者 去右树中找最小值 就行了。
   如果去左树中，那么就是左树的最右边，就是左树的最大值。
   如果去右树中，那么就是右树的最左边，就是右树的最小值。

上面孩子的三种情况都要先找到删除的节点，然后再分情况讨论即可。
那就可以写代码了：

因为删除后要让删除的位置为空，所以要定义出一个不断更新的父节点，来找到最后删除位置的父节点。

根据二叉搜索树的特性，先找到节点：

然后再分孩子的情况讨论，我们这里可以把没有孩子的和有一种孩子的放到一块，先不说为什么，各位看图：

没有孩子，比如删13的话，此时就是这样：

删除13，然后让14的左为空，可以直接让14指向13的任意一个节点，因为13的任意节点的值都为空。

有一个孩子，比如删14的话，此时就是这样：

如果删除14的话，可以让10的右指向14的左13，然后再删除14。

二者都能让 parent节点的左/右 指向 cur的左/右 ，就能实现替换这一过程，替换之后再删除cur即可。

如下：

然后内部还要分cur是parent的左还是右：

上面删除cur的地方代码冗余了，等会再搞。

但是还有问题，如果是删除根节点的话，上面的代码就出bug了。
比如说这样：

因为如果val就是根节点的值话，cur的while循环就进不去，那么parent此时就是nullptr，上面的代码就解引用空指针。所以还要分parent是否为空的情况：

再来说左右都不为空的节点，对应删除3：
这里我们以找右树的最小值为例：

右子树的最左边就是最小值：

然后将3和4的值交换，然后再删除min节点就可以了，但是还要将6的左置空，所以又得产生一个不断变换的父节点来记录min的父节点。

所以最终就是这样：

这里不用判断parent是否为空的情况，因为节点的数值交换了。

代码：

这样删除工作就做好了，可以说还是比较麻烦的。

测试一下：

成功。

这里把完整的删除代码给出来：

bool Erase(const K& val)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_val < val){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_val > val){parent = cur;cur = cur->_left;}else // cur 就是要删除的节点{if (cur->_left == nullptr){ // 左树为空的情况，分两种// 1.包含了左右都为空 2.只有左为空 对应到图中就是删除13和删除10// 判断val是否为_root的valif (parent == nullptr) // 也可用 cur == _root 来判断{ // 这里cur左右都为空的情况也成立_root = cur->_right;}else{// 看cur是parent的左树还是右树if (cur == parent->_left) // cur是parent的左树parent->_left = cur->_right;else // cur是parent的右树parent->_right = cur->_right;}delete cur;cur = nullptr;}else if (cur->_right == nullptr){ // 右树为空的情况，上面已经包含左右都为空的情况，所以这里只有一种情况// 就是只有右树为空的情况，对应到图中就是删除14// 判断val是否为_root的valif (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{// 看cur是parent的左树还是右树if (cur == parent->_left) // cur是parent的左树parent->_left = cur->_left;else // cur是parent的右树parent->_right = cur->_left;}delete cur;cur = nullptr;}else { // 左右都不为空Node* min = cur->_right;Node* parentMin = cur;// 去右树中找最小值while (min->_left){parentMin = min;min = min->_left;}swap(min->_val, cur->_val);if (parentMin->_left == min)parentMin->_left = min->_right;elseparentMin->_right = min->_right;delete min;min = nullptr;}// 删除成功return true;}}// 没有删除的节点return false;
}

三个功能均已经实现了，我们还可以用递归的方式实现。

递归实现增删查

先说最简单的查。

查

再说插入

插

直接看代码：

这里非常巧妙运用了引用。

第一个参数root类型为Node*&，什么意思呢，就是一个Node的引用，也就是一个Node变量的别名。

当我们找到了要插入的位置的时候，一定是一个子节点，传过来的一定是root->_left 或者 root->_right 。所以引用的就是父节点左/右的指针。

所以当root为空的时候就是要插入的时候，这时候root就是父节点左/右的指针，就可以直接用new将开辟的空间赋值给root，等价于直接将开辟的空间赋值给了父节点左/右的指针。

删

先给出大致框架：

然后跟上面非递归的删除一样，也要判断孩子的情况：

又因为我们删除节点之后还要置空，但是递归想要找父节点还要多传一个参数，我们此时就可以再将参数改为&的。也就是Node*& root。这样root就直接变成了父节点的左/右指针了。

这里也不需要再考虑删除的位置是否为数的根了，看代码：

整个递归erase的代码如下：

bool _EraseR(Node*& root, const K& val)
{if (root == nullptr)return false;if (root->_val == val){if (root->_left == nullptr){Node* right = root->_right;delete root;root = right;}else if (root->_right == nullptr){Node* left = root->_left;delete root;root = left;}else{Node* min = root->_right;while (min->_left)min = min->_left;swap(min->_val, root->_val);_EraseR(root->_right, val);}return true;}if (root->_val > val)return _EraseR(root->_left, val);if (root->_val < val)return _EraseR(root->_right, val);
}

到这里这三个功能正式讲完。

注意上面的所写的函数都是子函数，都是私有的，公有的只提供了接口。

再说点别的。

析构

给出如下代码：

运行结束之后会崩掉吗？

答案是不会，因为我还没有写析构。

那么二叉树的析构，很简单。后序递归即可。

但是析构函数没有参数，所以也是搞一个子函数就行。

然后上面的代码运行起来就崩掉了，因为拷贝构造是默认生成的，内置类型做浅拷贝。只是把cp的根节点指向了bst的根节点上，两个值相同。所以析构就崩掉了。

拷贝构造

也是递归构造，要写子函数。

测试：

出错了，编译器说我没有默认的构造函数可用。
因为生成了一个构造函数之后编译器就不再提供默认的构造函数了。拷贝构造也算构造。所以此时加上一个构造函数就行。

此时运行就崩不了。

赋值重载

这个还是老方法，直接参数传值，交换即可。

下面说说引用场景。

时间复杂度分析

二叉搜索树，听名字就能知道主要是用来搜索的。那么其查找的时间复杂度是多少呢？

可能有的同学认为是logN，其实不是，当树不是接近满二叉树或者完全二叉树时，效率可能比较低，比如棵单边树：

这样查找效率就很低了，就是O(N)的。

总的来说二叉搜索树的查找效率是取决于树形状的。

所以二叉搜索树控制插入的根节点的值非常重要，但是一般很难决定。后面还有AVL树来平衡整棵树。

应用场景

上面写的是key模型的，主要用来判断关键字在不在，比如说

1. 学生刷卡进宿舍楼。
   这里就是学生卡中记录学生的某一项信息，比如学号，记录到卡的芯片中，然后数卡的时候通过二叉搜索树来查找是否存在，如果二叉搜索树比较均匀的话（满或完全二叉树），查找的效率就非常高，当然，AVL树，比二叉搜索树方便点，但原理都一样。
2. 检查一段英文中每个单词拼写是否正确。
   记录正确的拼写，然后查找单词是否存在就行了。

还有一种模型是key/value模型，其原理是通过key来找value。key模型和key/value模型非常相似，key/value模型还是通过key比较，value只是一个附加项。例子有：

1. 英文单词译为中文

2. 统计……出现的次数

这里简单写一个key/value模型

代码如下：

template<class K, class V>
struct BSTreeNode
{BSTreeNode<K, V>* _left;BSTreeNode<K, V>* _right;K _key;V _value;BSTreeNode(const K& key, const V& value):_left(nullptr), _right(nullptr), _key(key), _value(value){}
};template<class K, class V>
class BSTree
{typedef BSTreeNode<K, V> Node;
public:bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key, value);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;}bool Erase(const K& key){//...return true;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};

拿第一个例子：

插入的时候是按照英文字符串进行比较的。

两道题

这两道题说一下思路：

链表相交

key模型，先入一个链表，再遍历另一个链表查找某节点是否存在，若存在就返回存在的节点，不存在就继续遍历链表，直至遍历完毕。

复制带随机指针的链表

key/value模型，建立原节点和拷贝节点的映射关系。

比如：

黑色为原节点，蓝色为拷贝节点。1和1,2和2,3和3，建立映射。

1的random为3，那么蓝色的1random也为3，我们可以通过映射关系，通过黑色的3找蓝色的3，继而找到蓝色的random，然后连接1、3即可。其余同理。

到此结束。。。