哈夫曼树（HuffmanTree)
给定N个权值作为N个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。
简介
在计算机数据处理中，哈夫曼编码使用变长编码表对源符号（如文件中的一个字母）进行编码，其中变长编码表是通过一种评估来源符号出现机率的方法得到的，出现机率高的字母使用较短的编码，反之出现机率低的则使用较长的编码，这便使编码之后的字符串的平均长度、期望值降低，从而达到无损压缩数据的目的。
例如，在英文中，e的出现机率最高，而z的出现概率则最低。当利用哈夫曼编码对一篇英文进行压缩时，e极有可能用一个比特来表示，而z则可能花去25个比特（不是26）。用普通的表示方法时，每个英文字母均占用一个字节，即8个比特。二者相比，e使用了一般编码的1/8的长度，z则使用了3倍多。倘若我们能实现对于英文中各个字母出现概率的较准确的估算，就可以大幅度提高无损压缩的比例。
哈夫曼树又称最优二叉树，是一种带权路径长度最短的二叉树。所谓树的带权路径长度，就是树中所有的叶结点的权值乘上其到根结点的路径长度（若根结点为0层，叶结点到根结点的路径长度为叶结点的层数）。树的路径长度是从树根到每一结点的路径长度之和，记为WPL=（W1L1+W2L2+W3L3+…+WnLn），N个权值Wi（i=1,2,…n）构成一棵有N个叶结点的二叉树，相应的叶结点的路径长度为Li（i=1,2,…n）。可以证明哈夫曼树的WPL是最小的。
术语
哈夫曼树又称为最优树.
- 路径和路径长度
在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。 - 结点的权及带权路径长度
若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。 - 树的带权路径长度
树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
构建哈夫曼树
- 创建一个包含所有字符的节点的优先队列（或最小堆），其中每个节点的权重是对应字符的频率。
- 从队列中选择两个具有最小权重的节点，并创建一个新节点作为它们的父节点。新节点的权重是这两个节点的权重之和。
- 将新节点插入队列。
- 重复步骤2和步骤3，直到队列中只剩下一个节点，这个节点就是哈夫曼树的根节点。
- 通过遍历哈夫曼树，给每个字符分配一个唯一的编码。通常，向左走表示添加一个"0"，向右走表示添加一个"1"。
多叉哈夫曼树
哈夫曼树也可以是k叉的，只是在构造k叉哈夫曼树时需要先进行一些调整。构造哈夫曼树的思想是每次选k个权重最小的元素来合成一个新的元素，该元素权重为k个元素权重之和。但是当k大于2时，按照这个步骤做下去可能到最后剩下的元素少于k个。解决这个问题的办法是假设已经有了一棵哈夫曼树(且为一棵满k叉树)，则可以计算出其叶节点数目为(k-1)nk+1,式子中的nk表示子节点数目为k的节点数目。于是对给定的n个权值构造k叉哈夫曼树时,可以先考虑增加一些权值为0的叶子节点，使得叶子节点总数为(k-1)nk+1这种形式,然后再按照哈夫曼树的方法进行构造即可。
实现
实现哈夫曼树的方式有很多种，可以使用优先队列（Priority Queue）简单达成这个过程，给与权重较低的符号较高的优先级（Priority），算法如下：
- 把n个终端节点加入优先队列，则n个节点都有一个优先权Pi，1 ≤ i ≤ n
- 如果队列内的节点数>1，则：
⑴从队列中移除两个最小的Pi节点，即连续做两次remove（min（Pi）, Priority_Queue)
⑵产生一个新节点，此节点为（1）之移除节点之父节点，而此节点的权重值为（1）两节点之权重和
⑶把（2）产生之节点加入优先队列中 - 最后在优先队列里的点为树的根节点（root）
而此算法的时间复杂度（Time Complexity）为O（n log n）；因为有n个终端节点，所以树总共有2n-1个节点，使用优先队列每个循环须O（log n）。
实现代码：（以cpp为例）
#include <iostream>
#include <queue>
#include <unordered_map>using namespace std;// 哈夫曼树节点的定义
struct Node {char data;int frequency;Node* left;Node* right;Node(char data, int frequency) : data(data), frequency(frequency), left(nullptr), right(nullptr) {}// 用于 priority_queue 中比较节点的大小bool operator>(const Node& other) const {return frequency > other.frequency;}
};// 构建哈夫曼树的函数
Node* buildHuffmanTree(const unordered_map<char, int>& frequencies) {// 优先队列，用于存储节点，并按照频率从小到大排列priority_queue<Node, vector<Node>, greater<Node>> pq;// 将字符频率转换为节点，并加入优先队列for (const auto& entry : frequencies) {pq.push(Node(entry.first, entry.second));}// 构建哈夫曼树while (pq.size() > 1) {// 取出两个最小频率的节点Node* left = new Node(pq.top().data, pq.top().frequency);pq.pop();Node* right = new Node(pq.top().data, pq.top().frequency);pq.pop();// 创建一个新节点作为它们的父节点，并将新节点加入优先队列Node* internalNode = new Node('\0', left->frequency + right->frequency);internalNode->left = left;internalNode->right = right;pq.push(*internalNode);}// 返回哈夫曼树的根节点return new Node('\0', pq.top().frequency);
}// 生成哈夫曼编码的递归辅助函数
void generateHuffmanCodes(Node* root, string currentCode, unordered_map<char, string>& codes) {if (root) {if (root->data != '\0') {codes[root->data] = currentCode;}generateHuffmanCodes(root->left, currentCode + "0", codes);generateHuffmanCodes(root->right, currentCode + "1", codes);}
}// 生成哈夫曼编码的函数
unordered_map<char, string> getHuffmanCodes(Node* root) {unordered_map<char, string> codes;generateHuffmanCodes(root, "", codes);return codes;
}int main() {// 示例字符频率字典unordered_map<char, int> frequencies = {{'a', 5}, {'b', 9}, {'c', 12}, {'d', 13}, {'e', 16}, {'f', 45}};// 构建哈夫曼树Node* root = buildHuffmanTree(frequencies);// 生成哈夫曼编码unordered_map<char, string> codes = getHuffmanCodes(root);// 打印字符和对应的哈夫曼编码for (const auto& entry : codes) {cout << entry.first << ": " << entry.second << endl;}return 0;
}
此外，有一个更快的方式使时间复杂度降至线性时间（Linear Time）O（n），就是使用两个队列（Queue）创建哈夫曼树。第一个队列用来存储n个符号（即n个终端节点）的权重，第二个队列用来存储两两权重的合（即非终端节点）。此法可保证第二个队列的前端（Front）权重永远都是最小值，且方法如下：
4. 把n个终端节点加入第一个队列（依照权重大小排列，最小在前端）
5. 如果队列内的节点数>1，则：
⑴从队列前端移除两个最低权重的节点
⑵将（1）中移除的两个节点权重相加合成一个新节点
⑶加入第二个队列
6. 最后在第一个队列的节点为根节点
虽然使用此方法比使用优先队列的时间复杂度还低，但是注意此法的第1项，节点必须依照权重大小加入队列中，如果节点加入顺序不按大小，则需要经过排序，则至少花了O（n log n）的时间复杂度计算。
但是在不同的状况考量下，时间复杂度并非是最重要的，如果我们考虑英文字母的出现频率，变量n就是英文字母的26个字母，则使用哪一种算法时间复杂度都不会影响很大，因为n不是一笔庞大的数字。
实现代码：（以cpp为例)
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>using namespace std;// 哈夫曼树节点的定义
struct Node {char data;int frequency;Node* left;Node* right;Node(char data, int frequency) : data(data), frequency(frequency), left(nullptr), right(nullptr) {}// 用于 priority_queue 中比较节点的大小bool operator>(const Node& other) const {return frequency > other.frequency;}
};// 构建哈夫曼树的函数
Node* buildHuffmanTree(const vector<int>& weights) {priority_queue<Node*, vector<Node*>, greater<Node*>> minHeap; // 存储最小权重的节点for (int i = 0; i < weights.size(); ++i) {minHeap.push(new Node(char('a' + i), weights[i]));}while (minHeap.size() > 1) {// 取出两个最小权重的节点Node* left = minHeap.top();minHeap.pop();Node* right = minHeap.top();minHeap.pop();// 创建一个新节点作为它们的父节点，并将新节点加入最小堆Node* internalNode = new Node('\0', left->frequency + right->frequency);internalNode->left = left;internalNode->right = right;minHeap.push(internalNode);}// 返回哈夫曼树的根节点return minHeap.top();
}// 生成哈夫曼编码的递归辅助函数
void generateHuffmanCodes(Node* root, string currentCode, unordered_map<char, string>& codes) {if (root) {if (root->data != '\0') {codes[root->data] = currentCode;}generateHuffmanCodes(root->left, currentCode + "0", codes);generateHuffmanCodes(root->right, currentCode + "1", codes);}
}// 生成哈夫曼编码的函数
unordered_map<char, string> getHuffmanCodes(Node* root) {unordered_map<char, string> codes;generateHuffmanCodes(root, "", codes);return codes;
}int main() {// 示例权重数组vector<int> weights = {5, 9, 12, 13, 16, 45};// 构建哈夫曼树Node* root = buildHuffmanTree(weights);// 生成哈夫曼编码unordered_map<char, string> codes = getHuffmanCodes(root);// 打印字符和对应的哈夫曼编码for (const auto& entry : codes) {cout << entry.first << ": " << entry.second << endl;}return 0;
}
综合题
【问题描述】在数据压缩问题中，需要将数据文件转换成由二进制字符0、1组成的二进制串，称之为编码，已知待压缩的数据中包含若干字母（A-Z），为获得更好的空间效率，请设计有效的用于数据压缩的二进制编码，使数据文件压缩后编码总长度最小，并输出这个最小长度值。
【输入形式】待压缩的数据（长度不大于100的大写字母）
【输出形式】编码的最小总长度值
【样例输入】ABACCDA
【样例输出】13
【样例说明】A编码0，B编码110，C编码10，D编码111，ABACCDA的编码为0110010101110
代码实现
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>using namespace std;const int MAX_CHAR = 26; // 大写字母的个数// 定义节点结构
struct Node {char data;unsigned freq;Node* left, *right;Node(char data, unsigned freq) : data(data), freq(freq), left(nullptr), right(nullptr) {}
};// 比较节点的频率
struct compare {bool operator()(Node* left, Node* right) {return (left->freq > right->freq);}
};
//构建最小堆时用作比较函数// 生成哈夫曼树
Node* buildHuffmanTree(const string& data) {priority_queue<Node*, vector<Node*>, compare> minHeap;// 统计字符频率int freq[MAX_CHAR] = {0};for (char c : data) {freq[c - 'A']++;}// 创建节点并加入最小堆for (int i = 0; i < MAX_CHAR; ++i) {if (freq[i] > 0) {minHeap.push(new Node('A' + i, freq[i]));}}// 构建哈夫曼树while (minHeap.size() > 1) {Node* left = minHeap.top();minHeap.pop();Node* right = minHeap.top();minHeap.pop();Node* newNode = new Node('$', left->freq + right->freq);//'$'用作内部节点数据，没有实际意义newNode->left = left;newNode->right = right;minHeap.push(newNode);}return minHeap.top();
}// 计算哈夫曼编码长度
unsigned calculateHuffmanCodeLength(Node* root, unsigned depth = 0) {if (!root)return 0;if (!root->left && !root->right)return root->freq * depth;
//递归计算哈夫曼树中每个叶子节点的编码长度，即路径长度乘以叶子节点的频率。return calculateHuffmanCodeLength(root->left, depth + 1) + calculateHuffmanCodeLength(root->right, depth + 1);
}// 主函数
int main() {string input;cin >> input;if (input.size() > 100) {return 1;}// 生成哈夫曼树Node* root = buildHuffmanTree(input);// 计算最小编码长度unsigned minLength = calculateHuffmanCodeLength(root);cout << minLength << endl;return 0;
}
上面代码使用了优先队列实现，使用数组统计频率，实现基于哈夫曼编码的数据压缩。
