详解二叉树

【本节目标】

1.树的概念和结构
2.二叉树的概念和结构
3.二叉树的顺序结构及实现
4.二叉树的链式结构及实现

1.树的概念及结构

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它由一个根结点和n(>=0)个子树构成，之所以叫做树，是因为它很像生活中的树倒过来的样子

注意：

子树是不相交的
每个结点有且只有一个父结点

1.2树相关的概念：

结点的度：一个结点拥有孩子的个数就叫该结点的度，比如A的度为6，E的度为0；

叶结点或终端结点：度为0的结点就是叶结点，比如B，H，I，J......就是叶结点

分支结点或非终端结点：度不为0的结点就是分支结点，比如A，C，D......就是分支结点

父结点：若一个结点含有子节点，则称该结点为其子结点的父结点，比如A就是B的父结点

子结点：一个结点其子树的根结点称为该结点的子结点，比如B就是A的子节点

兄弟结点：两个结点的父节点是同一个结点称为这两个结点是兄弟结点，比如I和J就是兄弟结点

树的度：一颗树中所有结点的度中最大值就是树的度，比如上面的树的度是6

结点的层次：从根结点开始定义，根为第一层，往下依次递增，比如I结点所在的层次为3

树的高度或深度：树中结点的最大层次，比如上面的树的高度为3

堂兄弟结点：两个结点的父结点在同一层，并且这两个结点不为兄弟结点，称这两个结点为堂兄弟结点，比如H和I是堂兄弟结点

结点的祖先：从根结点到该结点的路径上所有的结点都叫该结点的祖先，比如I的祖先是A和D

子孙：以某结点为根的子树下，所有的结点都是该节点的子孙，比如所有的结点都是A的子孙

森林：m(>0)颗互不相交的树的集合叫做森林

1.3树的结构

由于每个结点我们并不知道它有几个子节点，可以定义一个指针数组，规定了每个结点有SIZE个子节点

typedef int TreeDataType;#define SIZE 5struct Node
{TreeDataType val;struct Node* a[SIZE];
};

这样定义的问题是，实际上每个结点的子节点树是不确定，有可能某些结点的子节点没有SIZE个，就造成了空间的浪费

在使用中，我们更常用名为左孩子右兄弟的结构表示法：

typedef int TreeDataType;typedef struct Node
{TreeDataType val;struct Node* leftChild;struct Node* rightBrother;
}Node;

2.二叉树的概念和结构

2.1二叉树的概念

度数<=2的树叫做二叉树

2.2特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一层的结点数都达到最大值，也就是说，如果一个高度为h的二叉树，它的总结点数为 $2^{h}-1$ ，则称该二叉树为满二叉树
完全二叉树：一个二叉树的高度为h，如果它的前h-1层是满二叉树，且h层的结点从左到右是连续的，则称该二叉树为完全二叉树

2.3二叉树的性质：

规定二叉树的层数从1开始

一颗非空二叉树，第i层最多有 $2^{i-1}$ 个结点
深度为h的二叉树最多有 $2^{h}-1$ 个结点
一颗满二叉树，有N个结点，它的高度是 $h=\log_{2}{(N+1)}$
一颗完全二叉树，有N个结点，它的高度范围是 $\left [ \log_{2}{N}+1,\log_{2}{(N+1)} \right ]$
对于任何一颗二叉树，如果它度数为0的结点的个数为 $n_{0}$ ，度数为2的结点的个数为 $n_{2}$ ，则 $n_{0}=n_{2}+1$
若将一个二叉树从上到下，从左到右按照数组的方式依次编号，则父结点和子结点之间的关系：
1）假设父结点的下标为i，由父结点算子结点：左孩子为2*i+1，右孩子为2*i+2
2）假设子结点下标为j，由子结点算父结点：父结点为(j-1)/2

2.4二叉树的存储结构

二叉树的存储结构由两种：

1.顺序结构存储

所谓用顺序结构存储，就是用数据存储，但是用数组存储的二叉树最好是满二叉树或完全二叉树，因为这两个二叉树的结点是连续的，正好与数组连续相对应；如果是普通的二叉树用数组存储，数组中间有的位置需要空出来

2.链式结构存储

链式结构存储就是用链表将数据串起来；通常有二叉链，三叉链，二叉链是一个结点中两个指针，一个指针指向左子树，另一个指向右子树；而三叉链在二叉链的基础上又加了一个指向父节点的指针，目前我们只考虑二叉链。

结构定义：

//二叉链
typedef int BTNDataType;typedef struct BinaryTreeNode
{BTNDataType val;//值struct BinaryTreeNode* leftChild;//指向左孩子struct BinaryTreeNode* rightChild;//指向右孩子
}BinaryTreeNode;

2.5二叉树顺序结构的应用

2.5.1堆的概念

堆是一种完全二叉树，分为大堆和小堆
由于完全二叉树的特性，堆中的数据适合用数组来进行存储

2.5.2堆的性质

大堆中，所有父结点均大于子结点；小堆中，所有父结点均小于子结点

2.5.3堆的实现

结构定义：

前面说过，堆适合用数组存储，因此我们堆的结构就类似一个顺序表

typedef int HeapDataType;typedef struct Heap
{HeapDataType* a;int size;//有效数据个数int capacity;//容量
}Heap;

实现接口：

//初始化
void HeapInit(Heap* php);//销毁
void HeapDestroy(Heap* php);//入数据
void HeapPush(Heap* php, HeapDataType x);//出数据
void HeapPop(Heap* php);//判空
bool HeapEmpty(Heap* php);//获取堆顶数据
HeapDataType HeapTop(Heap* php);//获取堆的数据个数
int HeapSize(Heap* php);

初始化：

//初始化
void HeapInit(Heap* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

入数据：

我们以大堆为例，小堆同理

假设入数据前，我们的数据是一个大堆，此时入的数据有两种情况：
1）入的数据比其父结点大：那么为了保持大堆的性质，我们得将其和其父结点交换；如果此时该数据还比其父结点大，那么还要进行交换，直到比其父结点小或其成为根结点
2）入的数据小于等于其父结点：此时就相当于尾插，不需要动数据

我们把插入的数据往上调整的过程叫做向上调整算法

向上调整算法的实现：

如果孩子比父亲大，则交换两者，再更新孩子和父亲，直到父亲大于孩子或孩子成为根结点

void Swap(HeapDataType* p1, HeapDataType* p2)
{HeapDataType tmp = *p1;*p1 = *p2;*p2 = tmp;
}//向上调整算法
void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}else{break;}}
}

//入数据
void HeapPush(Heap* php, HeapDataType x)
{assert(php);//判断是否需要扩容if (php->capacity == php->size){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)realloc(php->a, sizeof(HeapDataType) * newCapacity);if (tmp == NULL){perror("HeapPush:realloc fail");exit(-1);}php->capacity = newCapacity;php->a = tmp;}php->a[php->size] = x;php->size++;AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}

出数据：

很多人会想，出数据不就是size--吗？在之前的顺序表，链表等数据结构中，出数据的确就只是移除数据；但是，到了这个阶段，我们得考虑到，出数据不仅仅是为了出数据了，要进一步想，我做这个操作有什么作用？

在堆中，如果出数据就只是移除堆尾的元素，那出了数据有什么意义呢？

因此，在堆中，我们的出数据是出掉堆顶的数据，那这样做有什么意义呢？根据堆的性质，堆顶的数据是数组中的最大值(最小值)，将最大值(最小值)删除，接下来就可以筛选次大值(次小值)了......往下一一筛选，是不是就能降序(升序)我们的数据

那么是不是直接出掉堆顶的数据呢？如果直接出掉堆顶的数据，此时所有结点的父子关系都乱了，且此时的二叉树不一定是一个堆了；因此，我们出数据的操作是，先将堆顶数据和堆尾数交换，再出掉堆尾数据，就相当于出掉堆顶数据，且此时根结点的子树的关系不变

此时的二叉树有可能不是大堆，但其子树肯定都是堆，需要我们调整，我们将根结点向下调整叫做向下调整算法

向下调整算法：

我们需要将孩子当中较大的那个与父亲交换，按照常规写法，需要先将其中一个孩子与父亲比较，如果孩子大于父亲，则交换，否则和另一个孩子比较；要求我们写两个逻辑，但这两个逻辑的本质又是一样的，就显得有些冗余，于是想到我们之前写过的假设法
先假设比较的孩子为左孩子，如果右孩子大于左孩子，则将待比较的孩子换成右孩子
如果孩子大于父亲，则交换，之后更新孩子和父亲，直到孩子小于父亲或者孩子越界了
有种特殊情况，孩子正好在堆尾，此时比较右孩子和左孩子时，右孩子越界了；应当控制一下比较的条件

void AdjustDown(HeapDataType* a, int size, int parent)
{int child = parent * 2 + 1;while (child < size){if (child + 1 < size && a[child + 1] > a[child]){child++;}if (a[parent] < a[child]){Swap(&a[parent], &a[child]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}
}

因此我们的出数据代码就是：

//出数据
void HeapPop(Heap* php)
{assert(php);Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);php->size--;AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}

判空：

//判空
bool HeapEmpty(Heap* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}

获取堆顶数据：

//获取堆顶数据
HeapDataType HeapTop(Heap* php)
{assert(php);return php->a[0];
}

获取堆的数据个数：

//获取堆的数据个数
int HeapSize(Heap* php)
{assert(php);return php->size;
}

销毁：

//销毁
void HeapDestroy(Heap* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->capacity = php->size = 0;
}

想要排序数据：

void TestHeap()
{int a[] = { 3, 4,7,2,1,8,9,22,73,24 };Heap hp;HeapInit(&hp);for (int i = 0; i < sizeof(a) / sizeof(a[0]); i++){HeapPush(&hp, a[i]);}while (!HeapEmpty(&hp)){HeapDataType ret = HeapTop(&hp);printf("%d ", ret);HeapPop(&hp);}printf("\n");
}