《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

“ 平方和” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1754

题目描述

【题目描述】 存在n个变量xi，现在告诉你每个变量的取值范围在[li, ri]中。
假设这n个数字的平方和为S，求总共存在多少种不同的S。
【输入格式】 输入第一行为正整数n。(1≤n≤100)
接下来n行为两个整数li和ri。(1≤li,ri≤100)。
【输出格式】 输出一个数表示答案。
【输入样例】

5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6

【输出样例】

26

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题解

   如果暴力统计所有可能的S，需要用对n个变量进行组合，例如样例，x1可选1或2，x2可选2或3，…等等，最多可能有$2^5$种组合。当n=100，li=1，ri=100时，可能有$100^{100}$种组合。
   是否可以反过来思考，判断某个平方和是否存在？最小的平方和是n=1，li=ri=1时，平方和等于1；最大是100个100，平方和等于$100\times 100^2=10^6$。最多只有$10^6$个平方和。
   定义dp[]，若dp[i] = 1，表示平方和i存在。
   处理到第i个取值范围[ll, rr]时，新的平方和范围扩展到[mmin, mmax]，mmin表示所有取值范围最小值的平方和、mmax表示所有取值范围最大值的平方和。
   用k遍历[ll, rr]中的每个数，然后判断dp[j]是否存在，mmin≤j≤mmax。
   （1）如果dp[j - k*k] == 1，说明以前算过i = j - k*k这个平方和，显然现在可以计算出i + k*k = j这个平方和。
   （2）不过，如果j - k*k比以前算出的最小值还小，显然不对，所以需要排除j - k*k < mmin - ll*ll的情况。

【笔记】 简单DP 。

C++代码

   代码第12行，j需要反过来循环，请思考为什么。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000000 + 10;
bool dp[N];
int main(){int n; cin >> n;int ll, rr, mmin = 0, mmax = 0;dp[0] = 1;for(int i = 1; i <= n; i++) {cin >> ll >> rr;mmin += ll * ll, mmax += rr * rr; //计算最小平方和、最大平方和for(int j = mmax; j >= mmin; j--) {dp[j] = 0;for(int k = ll; k <= rr; k++)   {if(j - k*k < mmin - ll*ll)  break; //如果j - k*k小于以前的最小平方和，排除if(dp[j - k*k] == 1){ dp[j] = 1; break;}}}}int ans = 0;for(int i = mmin; i <= mmax; i++)   ans += dp[i];cout<<ans<<endl;return 0;
}

Java代码

import java.util.*;
public class Main {static final int N = 1000000 + 10;static boolean[] dp = new boolean[N];public static void main(String[] args) {Scanner input = new Scanner(System.in);int n = input.nextInt();int ll, rr, mmin = 0, mmax = 0;dp[0] = true;for(int i = 1; i <= n; i++) {ll = input.nextInt();rr = input.nextInt();mmin += ll * ll;mmax += rr * rr;for(int j = mmax; j >= mmin; j--) {dp[j] = false;for(int k = ll; k <= rr; k++) {if(j - k*k < mmin - ll*ll)  break;if(dp[j - k*k] == true) { dp[j] = true;   break;  }}}}int ans = 0;for(int i = mmin; i <= mmax; i++) if(dp[i] == true) ans++;             System.out.println(ans);input.close();}
}

Python代码

N = 1000000 + 10
dp = [False] * N
n = int(input())
mmin, mmax = 0, 0
dp[0] = True
for i in range(1, n+1):ll, rr = map(int, input().split())mmin += ll * llmmax += rr * rrfor j in range(mmax, mmin-1, -1):dp[j] = Falsefor k in range(ll, rr+1):if j - k*k < mmin - ll*ll:  breakif dp[j - k*k] == True:dp[j] = Truebreak
ans = 0
for i in range(mmin, mmax+1):if dp[i] == True:  ans += 1
print(ans)