acwing算法基础之数学知识--容斥原理

1 基础知识

题目描述：给定整数n和m个不同的质数，p1,p2,…pm，求1~n中能被这m个质数中至少一个质数整除的数有多少个。其中n和 $p_i$ 在 $10^9$ 以内，而m在16以内。

容斥原理：
有两个集合 $A$ 和 $B$ ，求总和 $|A\cup B|$ ，答案为
$|A\cup B|=|A| +|B| - |A\cap B|$
有三个集合 $A$ 、 $B$ 和 $C$ ，求总和 $|A\cup B\cup C|$ ，答案为
$|A\cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B \cap C|$

进一步抽象，
某个类有 $n$ 中不同的属性，记为 $P_i$ （其中 $i=1,2\cdots n$ ），拥有属性 $P_i$ 的对象构成集合 $S_i$ ，那么对象总和为，
$|\cup_{i=1}^{n} S_i|=\sum_{i}|S_i|-\sum_{i<j}|S_i\cap S_j|+\sum_{i<j<k}|S_i\cap S_j \cap S_k| - \cdots +(-1)^{n-1}|S_1\cap S_2 \cdots \cap S_n|$
上式即为容斥原理。

解题思路：用容斥原理进行求解，且利用二进制表示中的1表示第i个质数选不选，以此计算出每一项。
C++代码如下，

#include <iostream>using namespace std;const int N = 20;
int n, m;
int p[N];int main() {cin >> n >> m;for (int i = 0; i < m; ++i) cin >> p[i];int res = 0;for (int i = 1; i < 1 << m; ++i) {int t = 1;int cnt = 0;for (int j = 0; j < m; ++j) {if (i >> j & 1) {cnt += 1;if ((long long)t * p[j] > n) {t = -1;break;}t = (long long)t * p[j];}}if (t != -1) {if (cnt % 2 == 1) {res += n / t;} else {res -= n / t;}}}cout << res << endl;return 0;
}