文章目录
- 1. 什么是快速幂
- 2. 暴力求解
- 代码实现
- 缺陷分析
- 3. 优化一:取模运算的性质
- 4. 优化二:快速幂算法的核心思想
- 5. 终极优化:位运算优化
- 6. 源码
这篇文章我们来一起学习一个算法——快速幂算法。
1. 什么是快速幂
顾名思义,快速幂就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N), 与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。
那快速幂算法呢一般就是用来解决如下的问题:
我们看到它的取值范围是比较大的,所以我们可以用long long
2. 暴力求解
代码实现
那这个问题呢乍一看很简单:
我们可以考虑用循环(或者使用pow函数)直接计算a^b的值,然后对c去模即可。
缺陷分析
但是呢,这样写我们的算法其实是有去缺陷的:
首先它的时间复杂度是O(b),而上面题目中b的取值是【0,10^18】。
所以当b的取值比较大的时候,时间复杂度就会很大,那么算法的效率就比较低。
此外这里的ret不断乘等以a,它的范围是很有可能超过long long
的。
那一旦溢出的话,结果可能就错了。
所以我们要想办法对该算法进行优化
3. 优化一:取模运算的性质
首先我们可以根据取模运算的性质进行第一重优化:
取模运算是满足这样一条性质的
(a*b)%c=((a%c)*(b%c))%c
大家有兴趣可以自己证明一下
那这样的话我们之前是每次让ret*=a,乘等b次,最后再去模。
那现在我们可以在每次ret*=a之后都对ret进行一次取模
那这样的话ret就不太容易溢出了。
long long fastPow(long long a, long long b, long long c)
{long long ret = 1;for (int i = 0; i < b; i++){ret *= a;ret %= c;}return ret % c;
}
但是,是否仍然有缺陷呢?
🆗,它的时间复杂度并没有得到优化,还是O(b)
所以,我们再来想办法优化:
4. 优化二:快速幂算法的核心思想
快速幂算法的核心思想就是每一步都把指数分成两半,而相应的底数做平方运算。这样不仅能把非常大的指数给不断变小,所需要执行的循环次数也变小,而最后表示的结果却一直不会变。
我们来举个例子:
比如算
3^10
那其实可以这样写:
3^10=(3^2)^5=9^5=9*9^4=9*81^2
那观察这个式子其实我们能发现这样的规律:
- 如果指数是是偶数的话,那么指数除以2,底数平方,前后的值是相等的。(
ret*3^10=ret*(3^2)^5
)- 如果指数是奇数的话,先将ret*=底数,然后依然是指数除以2,底数平方,前后值相同(
ret*9^5=ret*9*81^2
)
那我们来算一下这种写法的时间复杂度:
这样优化之后呢,每次指数的值都会/=2,即b/=2,那之前我们要循环b次,现在就是
O(logb)
,即以2为底,b的对数。
那我们来写一下代码:
那此外,为了防止输入的a过大的话,我们上来可以直接对a取模
5. 终极优化:位运算优化
那针对上面的代码,有两处地方我们其实还可以进行一个优化:
首先
判断指数是偶数还是奇数这里,还有一种更高效的方法就是使用位运算,让b&1
,因为1的补码只有最后一位为1,其余全为0,如果b是奇数的话,那它的最后一位为1,b&1
的结果就是1,如果b是偶数,那最后一位为0,b&1
的结果是0
然后就是:
b/=2这里,我们可以用b>>=1
代替(整数算术右移一位相当于除以2并向下取整)
关于移位操作符如果大家遗忘了可以看: 【C操作符详解】之 移位操作符
我找了一道OJ,我们可以来测试一下:
没有问题!
6. 源码
#include <iostream>
using namespace std;
long long fastPow(long long a, long long b, long long c)
{long long ret = 1;a %= c;while (b){if (b & 1){ret *= a;ret %= c;}a *= a;a %= c;b >>= 1;}return ret;
}int main()
{long long a = 0;long long b = 0;long long m = 0;cin >> a >> b >> m;cout << fastPow(a, b, m) << endl;return 0;
}