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聚类详解
- ARI评价法（兰德系数）
- AMI评价法（互信息）
- V-measure评分
- FMI评价法
- 轮廓系数评价法
- Calinski-Harabasz指数评价法
- 分类模型评价法
以下是常用的评价算法名称
| 方法名称 | 真实值 | 最佳值 | sklearn****函数 |
|---|---|---|---|
| ARI评价法（兰德系数） | 需要 | 1.0 | adjusted_rand_score |
| AMI评价法（互信息） | 需要 | 1.0 | adjusted_mutual_info_score |
| V-measure评分 | 需要 | 1.0 | completeness_score |
| FMI评价法 | 需要 | 1.0 | fowlkes_mallows_score |
| 轮廓系数评价法 | 不需要 | 畸变程度最大 | silhouette_score |
| Calinski-Harabasz指数评价法 | 不需要 | 相较最大 | calinski_harabaz_score |
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ARI评价法（兰德系数）：ARI通过比较聚类结果和真实分类之间的成对样本相似性来衡量聚类的质量，其数值范围从-1到1，值越高表示聚类结果与真实分类越相似。
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AMI评价法（互信息）：AMI利用互信息的概念衡量聚类结果和真实分类之间的共享信息量，其数值范围也从0到1，值越高表示聚类结果越好。
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V-measure评分：V-measure综合考虑了聚类结果的均一性和完整性，通过计算均一性和完整性的加权平均得到评分，数值范围也是从0到1。
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FMI评价法：FMI通过比较聚类结果和真实分类中成对样本关系来评估聚类的相似度，数值范围从0到1，值越高表示聚类结果越好。
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轮廓系数评价法：轮廓系数结合了样本与其所属簇的平均距离和样本与其他簇的平均距离来度量聚类结果的紧密度和分离度，数值范围从-1到1。
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Calinski-Harabasz指数评价法：Calinski-Harabasz指数通过计算簇内离差平方和和簇间离差平方和的比值来评估聚类结果的质量，数值越大表示聚类结果越好。
上表总共列出了6种评价的方法，其中前4种方法均需要真实值的配合才能够评价聚类算法的优劣，后2种则不需要真实值的配合。但是前4种方法评价的效果更具有说服力，并且在实际运行的过程中在有真实值做参考的情况下，聚类方法的评价可以等同于分类算法的评价。
除了轮廓系数以外的评价方法，在不考虑业务场景的情况下都是得分越高，其效果越好，最高分值均为1。而轮廓系数则需要判断不同类别数目的情况下其轮廓系数的走势，寻找最优的聚类数目。
在具备真实值作为参考的情况下，几种方法均可以很好地评估聚类模型。在没有真实值作为参考的时候，轮廓系数评价方法和Calinski-Harabasz指数评价方法可以结合使用。
ARI评价法（兰德系数）
ARI（Adjusted Rand Index，调整兰德指数）是一种用于衡量聚类结果与真实分类之间的相似度的评价方法。它通过比较聚类结果与真实分类之间的成对样本相似性来计算得分，范围从-1到1，其中1表示完全匹配，0表示随机匹配，-1表示完全不匹配。
ARI的计算公式如下：
A R I = ∑ i j ( n i j 2 ) − [ ∑ i ( a i 2 ) ∑ j ( b j 2 ) ] / ( n 2 ) 1 2 [ ∑ i ( a i 2 ) + ∑ j ( b j 2 ) ] − [ ∑ i ( a i 2 ) ∑ j ( b j 2 ) ] / ( n 2 ) ARI = \frac{{\sum_{ij} \binom{n_{ij}}{2} - [\sum_i \binom{a_i}{2} \sum_j \binom{b_j}{2}]/\binom{n}{2}}}{{\frac{1}{2} [\sum_i \binom{a_i}{2} + \sum_j \binom{b_j}{2}] - [\sum_i \binom{a_i}{2} \sum_j \binom{b_j}{2}]/\binom{n}{2}}} ARI=21[∑i(2ai)+∑j(2bj)]−[∑i(2ai)∑j(2bj)]/(2n)∑ij(2nij)−[∑i(2ai)∑j(2bj)]/(2n)
其中， n n n是样本总数， n i j n_{ij} nij表示同时被聚类结果和真实分类划分为同一簇的样本对数量， a i a_i ai表示被聚类结果划分为第 i i i簇的样本数量， b j b_j bj表示被真实分类划分为第 j j j类的样本数量。
AMI评价法（互信息）
AMI（Adjusted Mutual Information，调整互信息）是一种用于评估聚类结果与真实分类之间的相似度的指标。它基于信息论中的互信息概念，度量聚类结果和真实分类之间的共享信息量。
AMI的计算公式如下：
A M I = I ( X ; Y ) − E [ I ( X ; Y ) ] max ( H ( X ) , H ( Y ) ) − E [ I ( X ; Y ) ] AMI = \frac{I(X;Y) - E[I(X;Y)]}{\max(H(X), H(Y)) - E[I(X;Y)]} AMI=max(H(X),H(Y))−E[I(X;Y)]I(X;Y)−E[I(X;Y)]
其中， I ( X ; Y ) I(X;Y) I(X;Y)表示聚类结果和真实分类的互信息， H ( X ) H(X) H(X)和 H ( Y ) H(Y) H(Y)分别表示聚类结果和真实分类的熵， E [ I ( X ; Y ) ] E[I(X;Y)] E[I(X;Y)]是互信息的期望值，用于校正由于随机因素引起的误差。
V-measure评分
V-measure是一种用于评估聚类结果的均一性（homogeneity）和完整性（completeness）的综合指标。它结合了这两个度量以平衡聚类结果的质量。
V-measure的计算公式如下：
V = 2 × ( h × c ) ( h + c ) V = \frac{2 \times (h \times c)}{(h + c)} V=(h+c)2×(h×c)
其中， h h h表示聚类结果的均一性， c c c表示聚类结果的完整性。均一性和完整性的计算公式如下：
h = 1 − H ( C ∣ K ) H ( C ) h = 1 - \frac{H(C|K)}{H(C)} h=1−H(C)H(C∣K)
c = 1 − H ( K ∣ C ) H ( K ) c = 1 - \frac{H(K|C)}{H(K)} c=1−H(K)H(K∣C)
其中， H ( C ∣ K ) H(C|K) H(C∣K)表示给定聚类结果 K K K的条件熵， H ( C ) H(C) H(C)表示真实分类的熵， H ( K ∣ C ) H(K|C) H(K∣C)表示给定真实分类 C C C的条件熵， H ( K ) H(K) H(K)表示聚类结果的熵。
FMI评价法
FMI（Fowlkes-Mallows Index）是一种用于评估聚类结果与真实分类之间的相似度的指标。它通过比较聚类结果中的成对样本关系与真实分类中的成对样本关系来计算得分。
FMI的计算公式如下：
F M I = T P ( T P + F P ) ( T P + F N ) FMI = \frac{TP}{\sqrt{(TP + FP)(TP + FN)}} FMI=(TP+FP)(TP+FN)TP
其中， T P TP TP表示聚类结果和真实分类中成对样本被划分到同一簇的数量， F P FP FP表示聚类结果中被错误划分到同一簇的样本对数量， F N FN FN表示真实分类中被错误划分到同一簇的样本对数量。
轮廓系数评价法
轮廓系数（Silhouette Coefficient）是一种用于评估聚类结果的紧密度和分离度的指标。它结合了样本与其所属簇的平均距离和样本与其他簇的平均距离，用于衡量聚类结果的质量。
轮廓系数的计算公式如下：
s = b − a max ( a , b ) s = \frac{b - a}{\max(a, b)} s=max(a,b)b−a
其中， a a a表示样本与其所属簇的平均距离， b b b表示样本与其他簇的平均距离。对于每个样本，轮廓系数的取值范围在-1到1之间，值越接近1表示样本聚类得越好，值越接近-1表示样本更适合被划分到其他簇，值接近0表示样本在两个簇之间的边界。
Calinski-Harabasz指数评价法
Calinski-Harabasz指数是一种用于评估聚类结果的紧密度和分离度的指标。它基于簇内的离差平方和（Within-Cluster Sum of Squares，WCSS）和簇间的离差平方和（Between-Cluster Sum of Squares，BCSS），用于衡量聚类结果的质量。
Calinski-Harabasz指数的计算公式如下：
C H = BCSS / ( k − 1 ) WCSS / ( n − k ) CH = \frac{{\text{BCSS}/(k-1)}}{{\text{WCSS}/(n-k)}} CH=WCSS/(n−k)BCSS/(k−1)
其中， k k k表示簇的数量， n n n表示样本的总数。Calinski-Harabasz指数的值越大表示聚类结果的质量越好。
分类模型评价法
最后一种评价（evaluation）方法是分类（classification）。通过使用 k-means标签训练分类模型，然后在单独的数据子集中对其进行测试，我们可以看到分类器的表现良好，并不是完全任意的。说明学习效果良好，且存在可分类的特征。
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