基于C#实现Kruskal算法

这篇我们看看第二种生成树的 Kruskal 算法，这个算法的魅力在于我们可以打一下算法和数据结构的组合拳，很有意思的。

一、思想

若存在 M={0,1,2,3,4,5}这样 6 个节点，我们知道 Prim 算法构建生成树是从”顶点”这个角度来思考的，然后采用“贪心思想”来一步步扩大化，最后形成整体最优解，而 Kruskal 算法有点意思，它是站在”边“这个角度在思考的，首先我有两个集合。

1.1、顶点集合(vertexs)

比如 M 集合中的每个元素都可以认为是一个独根树（是不是想到了并查集？）。

1.2、边集合(edges)

对图中的每条边按照权值大小进行排序。（是不是想到了优先队列？）
首先：我们从 edges 中选出权值最小的一条边来作为生成树的一条边，然后将该边的两个顶点合并为一个新的树。
然后：我们继续从 edges 中选出次小的边作为生成树的第二条边，但是前提就是边的两个顶点一定是属于两个集合中，如果不是则剔除该边继续选下一条次小边。
最后：经过反复操作，当我们发现 n 个顶点的图中生成树已经有 n-1 边的时候，此时生成树构建完毕。
image.png
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从图中我们还是很清楚的看到 Kruskal 算法构建生成树的详细过程，同时我们也看到了”并查集“和“优先队列“这两个神器来加速我们的生成树构建。

二、构建

2.1、Build 方法

这里我灌的是一些测试数据，同时在矩阵构建完毕后，将顶点信息放入并查集，同时将边的信息放入优先队列，方便我们在做生成树的时候秒杀。

 #region 矩阵的构建/// <summary>/// 矩阵的构建/// </summary>public void Build(){//顶点数graph.vertexsNum = 6;//边数graph.edgesNum = 8;graph.vertexs = new int[graph.vertexsNum];graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum];//构建二维数组for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++){//顶点graph.vertexs[i] = i;for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++){graph.edges[i, j] = int.MaxValue;}}graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80;graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100;graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20;graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90;graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70;graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40;graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;//优先队列，存放树中的边queue = new PriorityQueue<Edge>();//并查集set = new DisjointSet<int>(graph.vertexs);//将对角线读入到优先队列for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++){for (int j = i; j < graph.vertexsNum; j++){//说明该边有权重if (graph.edges[i, j] != int.MaxValue){queue.Eequeue(new Edge(){startEdge = i,endEdge = j,weight = graph.edges[i, j]}, graph.edges[i, j]);}}}}#endregion

2.2、Kruskal 算法

并查集，优先队列都有数据了，下面我们只要出队操作就行了，如果边的顶点不在一个集合中，我们将其收集作为最小生成树的一条边，按着这样的方式，最终生成树构建完毕。

 #region Kruskal算法/// <summary>/// Kruskal算法/// </summary>public List<Edge> Kruskal(){//最后收集到的最小生成树的边List<Edge> list = new List<Edge>();//循环队列while (queue.Count() > 0){var edge = queue.Dequeue();//如果该两点是同一个集合，则剔除该集合if (set.IsSameSet(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge))continue;list.Add(edge.t);//然后将startEdge 和 endEdge Union起来，表示一个集合set.Union(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge);//如果n个节点有n-1边的时候，此时生成树已经构建完毕，提前退出if (list.Count == graph.vertexsNum - 1)break;}return list;}#endregion

最后是总的代码：

 using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;using System.Diagnostics;using System.Threading;using System.IO;using System.Threading.Tasks;namespace ConsoleApplication2{public class Program{public static void Main(){MatrixGraph graph = new MatrixGraph();graph.Build();var edges = graph.Kruskal();foreach (var edge in edges){Console.WriteLine("({0},{1})({2})", edge.startEdge, edge.endEdge, edge.weight);}Console.Read();}}#region 定义矩阵节点/// <summary>/// 定义矩阵节点/// </summary>public class MatrixGraph{Graph graph = new Graph();PriorityQueue<Edge> queue;DisjointSet<int> set;public class Graph{/// <summary>/// 顶点信息/// </summary>public int[] vertexs;/// <summary>/// 边的条数/// </summary>public int[,] edges;/// <summary>/// 顶点个数/// </summary>public int vertexsNum;/// <summary>/// 边的个数/// </summary>public int edgesNum;}#region 矩阵的构建/// <summary>/// 矩阵的构建/// </summary>public void Build(){//顶点数graph.vertexsNum = 6;//边数graph.edgesNum = 8;graph.vertexs = new int[graph.vertexsNum];graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum];//构建二维数组for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++){//顶点graph.vertexs[i] = i;for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++){graph.edges[i, j] = int.MaxValue;}}graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80;graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100;graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20;graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90;graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70;graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40;graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;//优先队列，存放树中的边queue = new PriorityQueue<Edge>();//并查集set = new DisjointSet<int>(graph.vertexs);//将对角线读入到优先队列for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++){for (int j = i; j < graph.vertexsNum; j++){//说明该边有权重if (graph.edges[i, j] != int.MaxValue){queue.Eequeue(new Edge(){startEdge = i,endEdge = j,weight = graph.edges[i, j]}, graph.edges[i, j]);}}}}#endregion#region 边的信息/// <summary>/// 边的信息/// </summary>public class Edge{//开始边public int startEdge;//结束边public int endEdge;//权重public int weight;}#endregion#region Kruskal算法/// <summary>/// Kruskal算法/// </summary>public List<Edge> Kruskal(){//最后收集到的最小生成树的边List<Edge> list = new List<Edge>();//循环队列while (queue.Count() > 0){var edge = queue.Dequeue();//如果该两点是同一个集合，则剔除该集合if (set.IsSameSet(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge))continue;list.Add(edge.t);//然后将startEdge 和 endEdge Union起来，表示一个集合set.Union(edge.t.startEdge, edge.t.endEdge);//如果n个节点有n-1边的时候，此时生成树已经构建完毕，提前退出if (list.Count == graph.vertexsNum - 1)break;}return list;}#endregion}#endregion}

并查集：

 using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;namespace ConsoleApplication2{/// <summary>/// 并查集/// </summary>public class DisjointSet<T> where T : IComparable{#region 树节点/// <summary>/// 树节点/// </summary>public class Node{/// <summary>/// 父节点/// </summary>public T parent;/// <summary>/// 节点的秩/// </summary>public int rank;}#endregionDictionary<T, Node> dic = new Dictionary<T, Node>();public DisjointSet(T[] c){Init(c);}#region 做单一集合的初始化操作/// <summary>/// 做单一集合的初始化操作/// </summary>public void Init(T[] c){//默认的不想交集合的父节点指向自己for (int i = 0; i < c.Length; i++){dic.Add(c[i], new Node(){parent = c[i],rank = 0});}}#endregion#region 判断两元素是否属于同一个集合/// <summary>/// 判断两元素是否属于同一个集合/// </summary>/// <param name="root1"></param>/// <param name="root2"></param>/// <returns></returns>public bool IsSameSet(T root1, T root2){return Find(root1).CompareTo(Find(root2)) == 0;}#endregion#region  查找x所属的集合/// <summary>/// 查找x所属的集合/// </summary>/// <param name="x"></param>/// <returns></returns>public T Find(T x){//如果相等，则说明已经到根节点了，返回根节点元素if (dic[x].parent.CompareTo(x) == 0)return x;//路径压缩(回溯的时候赋值，最终的值就是上面返回的"x"，也就是一条路径上全部被修改了)return dic[x].parent = Find(dic[x].parent);}#endregion#region 合并两个不相交集合/// <summary>/// 合并两个不相交集合/// </summary>/// <param name="root1"></param>/// <param name="root2"></param>/// <returns></returns>public void Union(T root1, T root2){T x1 = Find(root1);T y1 = Find(root2);//如果根节点相同则说明是同一个集合if (x1.CompareTo(y1) == 0)return;//说明左集合的深度 < 右集合if (dic[x1].rank < dic[y1].rank){//将左集合指向右集合dic[x1].parent = y1;}else{//如果 秩 相等，则将 y1 并入到 x1 中，并将x1++if (dic[x1].rank == dic[y1].rank)dic[x1].rank++;dic[y1].parent = x1;}}#endregion}}

优先队列：

 using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;using System.Text;using System.Diagnostics;using System.Threading;using System.IO;namespace ConsoleApplication2{public class PriorityQueue<T> where T : class{/// <summary>/// 定义一个数组来存放节点/// </summary>private List<HeapNode> nodeList = new List<HeapNode>();#region 堆节点定义/// <summary>/// 堆节点定义/// </summary>public class HeapNode{/// <summary>/// 实体数据/// </summary>public T t { get; set; }/// <summary>/// 优先级别 1-10个级别 (优先级别递增)/// </summary>public int level { get; set; }public HeapNode(T t, int level){this.t = t;this.level = level;}public HeapNode() { }}#endregion#region  添加操作/// <summary>/// 添加操作/// </summary>public void Eequeue(T t, int level = 1){//将当前节点追加到堆尾nodeList.Add(new HeapNode(t, level));//如果只有一个节点，则不需要进行筛操作if (nodeList.Count == 1)return;//获取最后一个非叶子节点int parent = nodeList.Count / 2 - 1;//堆调整UpHeapAdjust(nodeList, parent);}#endregion#region 对堆进行上滤操作，使得满足堆性质/// <summary>/// 对堆进行上滤操作，使得满足堆性质/// </summary>/// <param name="nodeList"></param>/// <param name="index">非叶子节点的之后指针（这里要注意：我们/// 的筛操作时针对非叶节点的）/// </param>public void UpHeapAdjust(List<HeapNode> nodeList, int parent){while (parent >= 0){//当前index节点的左孩子var left = 2 * parent + 1;//当前index节点的右孩子var right = left + 1;//parent子节点中最大的孩子节点，方便于parent进行比较//默认为left节点var min = left;//判断当前节点是否有右孩子if (right < nodeList.Count){//判断parent要比较的最大子节点min = nodeList[left].level < nodeList[right].level ? left : right;}//如果parent节点大于它的某个子节点的话，此时筛操作if (nodeList[parent].level > nodeList[min].level){//子节点和父节点进行交换操作var temp = nodeList[parent];nodeList[parent] = nodeList[min];nodeList[min] = temp;//继续进行更上一层的过滤parent = (int)Math.Ceiling(parent / 2d) - 1;}else{break;}}}#endregion#region 优先队列的出队操作/// <summary>/// 优先队列的出队操作/// </summary>/// <returns></returns>public HeapNode Dequeue(){if (nodeList.Count == 0)return null;//出队列操作，弹出数据头元素var pop = nodeList[0];//用尾元素填充头元素nodeList[0] = nodeList[nodeList.Count - 1];//删除尾节点nodeList.RemoveAt(nodeList.Count - 1);//然后从根节点下滤堆DownHeapAdjust(nodeList, 0);return pop;}#endregion#region  对堆进行下滤操作，使得满足堆性质/// <summary>/// 对堆进行下滤操作，使得满足堆性质/// </summary>/// <param name="nodeList"></param>/// <param name="index">非叶子节点的之后指针（这里要注意：我们/// 的筛操作时针对非叶节点的）/// </param>public void DownHeapAdjust(List<HeapNode> nodeList, int parent){while (2 * parent + 1 < nodeList.Count){//当前index节点的左孩子var left = 2 * parent + 1;//当前index节点的右孩子var right = left + 1;//parent子节点中最大的孩子节点，方便于parent进行比较//默认为left节点var min = left;//判断当前节点是否有右孩子if (right < nodeList.Count){//判断parent要比较的最大子节点min = nodeList[left].level < nodeList[right].level ? left : right;}//如果parent节点小于它的某个子节点的话，此时筛操作if (nodeList[parent].level > nodeList[min].level){//子节点和父节点进行交换操作var temp = nodeList[parent];nodeList[parent] = nodeList[min];nodeList[min] = temp;//继续进行更下一层的过滤parent = min;}else{break;}}}#endregion#region 获取元素并下降到指定的level级别/// <summary>/// 获取元素并下降到指定的level级别/// </summary>/// <returns></returns>public HeapNode GetAndDownPriority(int level){if (nodeList.Count == 0)return null;//获取头元素var pop = nodeList[0];//设置指定优先级（如果为 MinValue 则为 -- 操作）nodeList[0].level = level == int.MinValue ? --nodeList[0].level : level;//下滤堆DownHeapAdjust(nodeList, 0);return nodeList[0];}#endregion#region 获取元素并下降优先级/// <summary>/// 获取元素并下降优先级/// </summary>/// <returns></returns>public HeapNode GetAndDownPriority(){//下降一个优先级return GetAndDownPriority(int.MinValue);}#endregion#region 返回当前优先队列中的元素个数/// <summary>/// 返回当前优先队列中的元素个数/// </summary>/// <returns></returns>public int Count(){return nodeList.Count;}#endregion}}

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