题目描述与示例

题目描述

小明玩一个游戏。 系统发1+n张牌，每张牌上有一个整数。 第一张给小明，后n张按照发牌顺序排成连续的一行。

需要小明判断，后n张牌中，是否存在连续的若干张牌，其和可以整除小明手中牌上的数字。

输入描述

输入数据有多组，每组输入数据有两行，输入到文件结尾结束。

第一行有两个整数n和m，空格隔开。m代表发给小明牌上的数字。

第二行有n个数，代表后续发的n张牌上的数字，以空格隔开。

输出描述

对每组输入，如果存在满足条件的连续若干张牌，则输出1；否则，输出0。

备注

• 1`` ``≤`` ``n`` ``≤`` ``1000
• 1`` ``≤ 牌上的整数 ≤`` ``400000
• 输入的数组，不多于1000
• 用例确保输入都正确，不需要考虑非法情况。

示例一

输入

6 7
2 12 6 3 5 5

输出

1

示例二

输入

10 11
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

输出

0

说明

两组输入。

第一组小明牌的数字为7，再发了6张牌。第1、2两张牌教字和为14，可以整除7，输出1

第二组小明牌的数字为11，再发了10张牌，这10张牌数字和为10，无法整除11，输出0。

解题思路

前缀和

本题需要用到前缀和的概念。

• 对于一个给定的数列A ，它的前缀和数列S中S[i+1]表示从第1个元素到第i个元素的总和。
• 假设nums是一个int型列表，形如sum(nums[0:i+1])就是从索引0对应的元素开始，累加到索引i对应的元素的前缀和。
• 譬如nums = [1, 2, 3, 4]，那么其前缀和列表即为pre_sum_lst = [0, 1, 3, 6, 10]。

前缀和的作用是可以在O(1)的时间复杂度下快速地计算出某段连续子数组的和。即

sum(nums[i:j]) = pre_sum_lst[j] - pre_sum_lst[i]

譬如对于上述nums = [1, 2, 3, 4]而言，如果想快速计算出子数组nums[1:4] = [2, 3, 4]的结果，只需要计算pre_sum_lst[4] - pre_sum_lst[1] = 10 - 1 = 9即为答案。

前缀和的作用也可以解释，为什么我们会把0也视为一个前缀和并且放在前缀和列表的第一个位置。由于设置了pre_sum_lst[0] = 0，那么pre_sum_lst[i] - pre_sum_lst[0] = sum(nums[:i])，才能够得到起始位置为原数组nums中第一个元素的连续子数组的和。

简单的数学推导

假设连续子数组nums[i:j]的和为A，由上述关于前缀和的定义可知

A = pre_sum_lst[j] - pre_sum_lst[i]

假设A是符合题意的连续子数组和（此时应该输出1作为结果），那么存在

A % m == 0

成立，即

(pre_sum_lst[j] - pre_sum_lst[i]) % m == 0

成立。打开括号并移项，可以得到

pre_sum_lst[j] % m == pre_sum_lst[i] % m

成立。

因此，我们只需要找到两个前缀和pre_sum_lst[i]和pre_sum_lst[j]，能够满足上述式子，就可以说明存在符合题意的连续子数组了。

哈希集合的使用

在本题中，只需要判断能否找到一个满足题意的连续子数组，显然下标的具体值并不重要。故我们可以直接使用一个哈希集合pre_sum_set来储存所有的前缀和对m求余的结果，而不用考虑下标。

我们可以在一个循环中对前缀和进行计算和判断，其具体结果如下：

1. 计算包含了i位置元素的前缀和pre_sum
2. 计算当前前缀和对m的求余结果pre_sum % m
3. 判断求余结果pre_sum % m是否位于哈希集合中，若
   1. 存在，则说明在此之前存在某个前缀和对m求余可以得到一样的结果。退出循环，输出1
   2. 不存在，继续循环
4. 如果在上一步中没有退出循环，则将pre_sum % m存入哈希集合pre_sum_set中

将该核心逻辑转化为代码即为

for num in nums:pre_sum += numif pre_sum % m in pre_sum_set:isFind = Truebreakpre_sum_set.add(pre_sum % m)

如果本题不仅要判断能否找到符合要求的连续子数组，还对题目做如下修改：

1. 输出所有符合要求的子数组的起始坐标和结束坐标
2. 输出符合要求的最长子数组的长度
3. 输出符合要求的最短子数组的长度
4. 输出所有符合要求的子数组的数目

那么代码逻辑应该如何修改？

其中，第四种问法等价于LeetCode974. 可被K整除的子数组

代码

Python

# 题目：2023B-数字游戏
# 分值：100
# 作者：闭着眼睛学数理化
# 算法：哈希集合+前缀和
# 代码有看不懂的地方请直接在群上提问# n为其他牌的数目，m为小明手上的牌
n, m = map(int, input().split())
# 输入剩余n张牌
nums = list(map(int, input().split()))# 设置一个集合，用来储存所有前缀和对m的求余结果
pre_sum_set = set()
# 前缀和0始终可以取得到，即不选取任何一个数字，0 % m = 0，在集合中储存0
pre_sum_set.add(0)
# 初始化前缀和为0
pre_sum = 0
# 初始化标志，表示是否找到一段连续的数组可以整除
isFind = Falsefor num in nums:# 前缀和加上numpre_sum += num# 如果pre_sum除以m后的余数位于pre_sum_set中# 说明在当前pre_sum之前存在一个前缀和k，# 存在 pre_sum % m == k % m 成立# 显然上式等价于 (pre_sum - k) % m == 0# 即位于pre_sum和k之间的这一段连续的数组和能够整除mif pre_sum % m in pre_sum_set:isFind = Truebreak# 如果没有进入上述if，则需要把pre_sum % m的结果储存入集合pre_sum_set中pre_sum_set.add(pre_sum % m)# 根据isFind的结果，输出数字0或1
print(int(isFind))

Java

import java.util.HashSet;
import java.util.Scanner;
import java.util.Set;public class Main {public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();int m = scanner.nextInt();int[] nums = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) {nums[i] = scanner.nextInt();}Set<Integer> preSumSet = new HashSet<>();preSumSet.add(0);int preSum = 0;boolean isFind = false;for (int num : nums) {preSum += num;if (preSumSet.contains(preSum % m)) {isFind = true;break;}preSumSet.add(preSum % m);}System.out.println(isFind ? 1 : 0);}
}

C++

#include <iostream>
#include <unordered_set>
#include <vector>
using namespace std;int main() {int n, m;cin >> n >> m;vector<int> nums(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> nums[i];}unordered_set<int> preSumSet;preSumSet.insert(0);int preSum = 0;bool isFind = false;for (int num : nums) {preSum += num;if (preSumSet.count(preSum % m)) {isFind = true;break;}preSumSet.insert(preSum % m);}cout << (isFind ? 1 : 0) << endl;return 0;
}

时空复杂度

时间复杂度：O(n)。仅需一次遍历数组。

空间复杂度：O(n)。哈希集合所占空间。

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