【MATLAB】根轨迹的绘制及rltool工具的使用

一、MATLAB中传递函数的表示

在绘制系统的根轨迹之前，需要知道传递函数在matlab中如何表示。
在matlab中，通常用向量表示一个多项式。例如P=[1 2 3 ]表示 F(s)=s²+2s+3。而对于传递函数的表示，通常利用一个向量num表示其分子多项式，den表示分母多项式。例如表示 $F(s)=\frac{3s^2+s}{s^3+5s+8}$ 的代码如下：

clear all;
close all;
num=[3 1 0];
den=[1 0 5 8];
sys=tf(num,den)

运行结果：

sys =3 s^2 + s-------------s^3 + 5 s + 8Continuous-time transfer function.

如果是两个多项式是相乘的形式，可以利用conv()函数。例如Fs=(s²+3s+1)(4s+1),则可以用den=conv([1 3 1],[4 1])计算出两个多项式相乘后的系数。

二、rlocus函数绘制根轨迹

MATLAB提供rlocus函数可以直接用于绘制系统的根轨迹。还能够允许用户交互式的选取根轨迹上的值。下表是rlocus函数的常见用法。

函数	使用说明
rlocus(G)	绘制开环传递函数为G的根轨迹
rlocus(G1,G2,…)	在同一张图上绘制多个系统的根轨迹
rlocus(G,k)	绘制系统的给定增益向量k的根轨迹
[r,k]=rlocus(G)	返回根轨迹参数，r为闭环特征根
r=rlocus(G,k)	返回系统的开环增益为k时的闭环特征根

下面分别演示常规根轨迹、参数根轨迹和零度根轨迹的绘制步骤。

1.常规根轨迹仿真示例

例：某系统的结构如下图所示，绘制出其根轨迹。
图1-1
其中: $\frac{K^*(s+5)}{(s+2)(s+3)}.$
求解程序如下：

clear all;
close all;
num=[1 5];%num表示传递函数分子多项式系数向量
den=conv([1 2],[1 3]);%den表示传递函数分母多项式系数向量
sys=tf(num,den);%得到传递函数sys
rlocus(sys)%绘制根轨迹，也可以用rlocus(num,den)直接绘制。

运行结果如下图：
图1-2

2.参数根轨迹仿真示例

绘制参数根轨迹和绘制常规根轨迹的过程基本上相同。只需要在绘制参数根轨迹之前，引入“等效开环传递函数”，将绘制参数根轨迹的问题化为绘制K^*变化时的根轨迹形式来处理。
例：单位负反馈系统开环传递函数为 $\frac{k}{s(s+2k)}.$
绘制出k=0→∞时的根轨迹。
解：首先将上述传递函数转化为：
$G^*(s) = \frac{k(2s+1)}{s^2}.$
然后就按照常规根轨迹的绘制步骤进行绘制，代码如下：

clear all;
close all;
num=[2 1];
den=[1 0 0];
rlocus(num,den);

运行结果如下：
图1-3

3.零度根轨迹仿真示例

绘制零度根轨迹和绘制常规根轨迹的过程也基本上相同。唯一的差别是在绘制零度根轨迹时，需要在表示传递函数分子多项式的系数前添加一个负号，举个例子如下。
例：某正反馈系统的结构图如下所示，
图1-4
其中: $\frac{K^*s(s+5)}{(s+8)(s^2+2s+2)}.$
试绘制出根轨迹。
代码如下：

clear all;
close all;
num=[-1 -5 0];
den=conv([1 8],[1 2 2]);
Gs=tf(num,den);
rlocus(Gs)

运行结果如下：
图1-5

三、图形化工具rltool介绍

MATLAB的rltool工具是一个图形化的工具，能够显示出系统的根轨迹以及系统的响应，同时也能够绘制系统的Bode图、奈奎斯特图和Nichols图等。rltool工具提供了一个非常直观的界面，帮助用户设计、分析和仿真控制系统，使得控制器的设计变得更加简单和高效。
下图是rltool工具界面的介绍。
在这里插入图片描述
rltool工具默认的系统结构如下图所示，

其中G为被控对象，也就是输入rltool(sys)命令时传递函数sys，C为控制器（补偿器），在本文中C的值就是开环增益K的值。如果要改变系统的结构图，在菜单栏的第三项“Edit Architecture”中选择系统结构。
rltool常用命令如下表：

函数	说明
rltool	打开rltool工具
rltool(PLANT)	指定被控对象G的模型，PLANT是用TF、ZPK或SS创建的任何线性模型。
rltool(PLANT,COMP)	进一步指定控制器C的模型，COMP是用TF、ZPK或SS创建的任何线性模型。
rltool(PLANT,COMP,LocationFlag,FeedbackSign)	LocationFlag指定控制器的位置，FeedbackSign决定反馈符号。LocationFlag=‘forward’时，控制器C在前向通道上；LocationFlag=‘feedback’时,控制器C在反馈回路上；FeedbackSign='-1’为负反馈；FeedbackSign=’1‘为正反馈。

通过以下的例子来简单介绍rltool工具的使用方法。

例：某系统的方框图下图所示，
图2-1
已知该系统为单位负反馈系统，被控对象为 $G(s)=\frac{1}{s^3+20s^2+100s}$ ,其中C(s)为比例控制器， $C (s) = K$ ，试绘制出K=0→∞时的系统根轨迹，另外讨论分别加入环节(s+4)和(s+2)对系统根轨迹的影响（C(s)=K(s+4)和C(s)=K(s+2)），并用阶跃响应验证结果。
解：
程序代码如下：

clear all;
close all;
num=[1];
den=[1 20 100 0];
Gs=tf(num,den);%建立被控对象传递函数
rltool(Gs)%打开rltool工具界面

运行以上代码过后，进入到rltool工具的界面，如下图所示。其界面会显示出该系统的根轨迹图和K=1时系统的阶跃响应。根轨迹图中的红点表示当前系统的闭环特征根，可以拖动红点来改变当前系统的闭环特征根，拖动红点的同时系统的阶跃响应也会发生改变。而此时左边"Controllers or Fixed Blocks"状态栏中C的值就是当前系统的开环增益。
在这里插入图片描述

然后给系统添加一个环节（s+4），只需要在根轨迹图右击鼠标，选择添加零点极点"Add Pole or Zero"即可，如下如图所示，
在这里插入图片描述
选择"Real Zero"添加实数零点，再在实数坐标上点击’-4‘的位置，添加完成后如下图所示，可以看到此时C的值为(s+4)。为了下一步能和添加环节(s+2)后对比系统的阶跃响应，先将该系统储存起来，点击菜单栏的"Store"选项储存为Design1。
在这里插入图片描述
接下来添加环节(s+2)，只需要将刚才的“-4”零点拖拽到“-2”处，添加过后的结果如下图所示，

在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
为了对比两个环节的阶跃响应，首先把两个系统的开环增益都设置为了1(也就是把控制图中C的值设置为1)然后再点击"Compare"选项选择Design1和当前系统进行对比，对比图如下，

其中，蓝色曲线为当前系统的阶跃响应(添加了环节(s+2)的系统)，绿色曲线为Design1的系统阶跃响应(添加了环节(s+4)的系统)。