01背包问题
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求解思路:
- 确定dp数组及其下标含义:dp[i][j] 表示从下标为 [0] 到 [i] 的物品里任意选取,放进容量为j的背包,此时的价值总和最大值
- 确定递推公式:
不放物品i,总和为dp[i-1][j];
放物品i,总和为 dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i];
因此递推公式为 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); - dp数组的初始化:注意第一行,dp[0][j],即i为0,存放编号0的物品的时候。当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小;当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品
- 确定遍历顺序:有两个遍历的维度,分别为物品与背包重量,本题中先遍历哪个都可以
- 举例推导dp数组:如图所示
代码:
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, bagweight;
void solve(){vector<int> weight(n, 0); // 每件物品所占空间vector<int> value(n, 0); // 每件物品的价值for (int i = 0; i < n; i++){cin >> weight[i];}for (int j = 0; j < n; j++){cin >> value[j];}// 先将dp数组全部初始化为0vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));// 当只有1件物品的时候(第一行)的初始化for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++){dp[0][j] = value[0];}// 开始遍历for (int i = 1; i < weight.size(); i++){ // 遍历物品for (int j = 0; j <= bagweight; j++){ // 遍历背包if (j < weight[i]) // 放不下的情况dp[i][j] = dp[i-1][j];else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);}}cout << dp[weight.size()-1][bagweight] << endl;
}int main(){cin >> n >> bagweight;solve();return 0;
}
01背包问题(滚动数组)
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卡码网KamaCoder
求解思路:
对于背包问题其实状态都是可以压缩的。
在使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。
这就是滚动数组的由来,需要满足的条件是上一层可以重复利用,直接拷贝到当前层。
动规五部曲
- 确定dp数组的意义:dp[j] 表示容量为j的背包,所背的物品最大价值为 dp[j]
- 确定递推公式:根据上文可知,dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
- dp数组的初始化:因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0,所以dp[0] = 0;dp[j] 在计算的时候会加上自身来判断更大的值,且所有物品价值大于0,为了让值不被初始值覆盖,其他下标也都初始化成0
- 遍历顺序:注意必须倒序遍历,并且先遍历物品再遍历背包。
- 举例推导dp数组:如图所示
代码:
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;int main(){int M, N;cin >> M >> N;vector<int> costs(M);vector<int> values(M);for (int i = 0; i < M; i++)cin >> costs[i];for (int i = 0; i < M; i++)cin >> values[i];vector<int> dp(N+1, 0);for (int i = 0; i < M; i++){for (int j = N; j >= costs[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j-costs[i]] + values[i]);}}cout << dp[N] << endl;return 0;
}
416. 分割等和子集
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力扣(LeetCode)官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台
求解思路:
分割成两个等和子集,等于找出和为一半的子集,等于一个容量为数组和一半的背包可以被数组里的数装满。
注意事项
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为 元素的数值,价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
动规五部曲
- 确定dp数组及其下标含义:dp[j] 表示背包总容量为j,放进物品后,背包的最大重量为dp[j]
- 确定递推公式:因为物品i的重量和价值都是nums[i],所以 dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
- dp数组的初始化:dp[0] = 0,其他下标也为0(因为价值都是正数)
- 遍历顺序:先物品,再背包,并且背包要倒序遍历(参考前面滚动数组)
- 举例推导dp数组:以[1,5,11,5]为例,如图
代码:
class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {// 求和int sum = 0;for (int i : nums) sum+= i;// 和为奇数不可能有解if (sum % 2 == 1) return false;// 01背包int target = sum / 2;vector<int> dp(target+1, 0);for (int i = 0; i < nums.size(); i++){for (int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j-nums[i]] + nums[i]);if (dp[j] == target) return true;}}return false;}
};