[笔记] 错排问题 #错排

参考:刷题笔记-错排问题总结

错排问题:
一个n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的一个排列就称为原排列的一个错排。而研究一个排列的错排个数的问题,就称为错排问题(或称为更列问题)。

错排公式:
D[1]=0;
D[2]=1;
D[n]=(n-1)(D[n-1]+D[n-2])
推导:
对于第i个元素,若不在自己的位置上,则有n - 1种情况,取其中一种进行分析:
不充设定:取x -- y为第x个元素分到了第y个元素的位置上

  1. i -- kk -- i(互换位置),那么将这两个组合剔除,
    剩下的n - 2个元素将继续进行错位排序,共D[n - 2]种方案。
  2. i -- k,但k !- i,那么我们将i -- k这个组合剔除,
    剩下的这n - 1个元素继续进行错位排序,共D[n - 1]种方案。
    (将第k个位置与i重新进行配对。因为每个元素不能放在自己对应的位置上,这个组合刚好又满足这个条件)

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