【DP/贪心】2023B-观看文艺汇演

题目描述与示例

某公园将举行多场文艺表演，很多演出都是同时进行，一个人只能同时观看一场演出，且不能迟到早退，由于演出分布在不同的演出场地，所以连续观看的演出最少有 15 分钟的时间间隔，小明是一个狂热的文艺迷，想观看尽可能多的演出。现给出演出时间表，请帮小明计算他最多能观看几场演出。

输入

第一行为一个数 N，表示演出场数，1 <= N <= 1000。

接下来 N 行，每行两个空格分割的整数，第一个整数 T 表示演出的开始时间，第二个整数 L 表示演出的结束时间，T 和 L 的单位为分钟，0 <= T <= 1440, 0 < L <= 100。

输出

最多能观看的演出场数。

示例一

输入

2
720 120
840 120

输出

1

说明

第一场演出开始时间是第 720 分钟，经过 120 分钟演出结束，即第 840 分钟结束，此时还需要 15 分钟的间隔时间，即要等到第 855 分钟才可以看下一场演出，故来不及看第二场在第 840 分钟开始的演出。最多只能看 1 场演出。

示例二

输入

2
20 60
100 60

输出

2

说明

第一场演出开始时间是第 20 分钟，经过 60 分钟演出结束，即第 80 分钟结束，此时还需要 15 分钟的间隔时间，即要等到第 95 分钟才可以看下一场演出，第二场演出在第 100 分钟开始的演出，赶得上观看第二场演出。最多可以观看 2 场演出。

示例三

输入

4
10 20
100 20
150 60
80 40

输出

3

解题思路

注意，本题和 LC435. 无重叠区间几乎完全一致。

原始数据处理

我们可以储存每一场演出的开始和结束时间，即按照 [start, end] 的方式进行储存，储存在列表 intervals 中。由于题目要求每间隔 15 分钟才能够看下一场演出，所以我们可以把每一场演出的结束时间再加上 15 分钟，这样题目就转变为：考虑所有不重叠的 [start, end] 区间的最大数目。处理输入的代码如下

N = int(input())
intervals = list()
for _ in range(N):start, during = map(int, input().split())end = start + during + 15intervals.append((start, end))

贪心思想求解问题

为了方便我们贪心地思考问题，我们先按照开始时间 start 从小到大对间隔列表 intervals 进行排序。然后我们考虑相邻的两场演出，[start1, end1] 和 [start2, end2]，由于 intervals 已经排序，必然存在 start1 <= start2 成立，故这两场演出之间的关系存只有以下三种可能性：

1. start1 < end1 <= start2 < end2，即演出 2 的开始时间在演出 1 的结束时间之后。故看完演出 1，可以继续看演出 2。
2. start1 <= start2 <= end1 <= end2，即演出 2 的开始时间在演出 1 的结束时间之前，但演出 2 的结束时间在演出 1 的结束时间之后。故看完演出 1 之后，没办法观看演出 2。
3. start1 <= start2 <= end2 <= end1，即演出 2 的开始时间和结束时间均在演出 1 的结束时间之前。故看完演出 1 之后，没办法观看演出 2。为了尽可能多地看更多的演出，选择演出 2 来观看会比选择演出 1 更好，因为演出 2 的结束时间更早，有充裕的时间去观看后续的演出。

理解了相邻两场演出的三种可能性之后，我们发现解决问题的关键实际上在于考虑演出 1 的结束时间 end1 和演出 2 的间隔 [start2, end2] 之间的关系：

1. end1 在 [start2, end2] 之前
2. end1 在 [start2, end2] 之间
3. end1 在 [start2, end2] 之后

由于我们需要遍历排序后的间隔列表 intervals 中的每一个间隔 [start, end]，因此可以维护变量 pre_end，表示上一场演出的结束时间。初始化 pre_end = -inf，表示第一场演出始终可以观看。

考虑当前间隔 [start, end] 和上一场演出结束时间 pre_end 之间的关系，我们可以得到以下逻辑：

1. 当 pre_end 在 [start, end] 之前，我们可以选择当前的演出 [start, end] 进行观看

   • 能观看的演出场次 ans += 1。
   • 由于选择了 [start, end] 进行观看，下一场演出的观看时间应该由当前的 end 决定，即对于下一场演出而言，当前结束时间 end 是上一场演出的结束时间，故更新 pre_end = end。

2. 当 pre_end 在 [start, end] 之间，我们不能选择当前的演出 [start, end] 进行观看

   • 由于 pre_end ≤ end，因此我们保留之前的 pre_end，作为判断下一场演出是否能观看的依据。故无需做任何事情。

3. 当 pre_end 在 [start, end] 之后，我们不能选择当前的演出 [start, end] 进行观看

   • 由于 pre_end ＞ end，选择 end 作为判断下一场演出是否能观看的依据是更佳的选择，即我们不去选择观看 pre_end 所对应的之前某场演出，而选择观看当前的演出 [start, end]，这样的选择有利于后面留出充裕的时间来尽可能地观看更多演出，故更新 pre_end = end。

整理上述逻辑后，代码为

for start, end in intervals:if start >= pre_end:ans += 1pre_end = endelif start < pre_end <= end:continueelif pre_end > end:pre_end = end

动态规划求解问题

实际上，当我们对间隔列表 intervals 排序之后，我们也可以把这个问题当作经典的 LIS 问题（LC300. 最长递增子序列）进行处理。

譬如对于上述例子，我们所选的演出应该为演出 1、4、5

换句话说，我们需要找到尽可能多的演出区间，所有演出区间均需要满足 start ≥ pre_end，其中 start 为第 i 个区间的开始时间，pre_end 为上一个区间即第第 i-1 个区间的结束时间。这是一个非常自然的 LIS 问题，故也可以用 dp 来解决问题。

我们考虑动态规划三部曲：

1. dp数组的含义是什么？

• dp 数组是一个长度为 n 的一维列表，dp[i] 表示包含了第 i 场演出 intervals[i] 的最长无重叠演出数目。

1. 动态转移方程是什么？

• 包含了第 i 场演出 intervals[i] 的最长无重叠演出数目，由前面的 i-1 场演出中（用索引 j 表示），结束时间 intervals[j][1] 小于当前演出开始时间 intervals[i][0] 且 dp[j] 最大的那场演出决定。

for i in range(1, N):temp = 0for j in range(i):if intervals[j][1] <= intervals[i][0]:temp = max(dp[j], temp)dp[i] = temp + 1

1. dp数组如何初始化？

• 包含第 1 场演出的最长无重叠演出数目为 1。

dp[0] = 1

代码

解法一：贪心

# 题目：2023B-观看文艺汇演
# 分值：200
# 作者：许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法：贪心
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问from math import inf# 输入演出的数目
N = int(input())# 初始化间隔列表
intervals = list()
for _ in range(N):start, during = map(int, input().split())# 对于每一个结束时间都+15后再储存，方便后续进行比较end = start + during + 15intervals.append((start, end))# 对intervals进行排序
intervals.sort()
ans = 0# 初始化【上个区间结束时间】为pre_end = -inf
pre_end = -inf# 遍历所有区间的起始时间和结束时间
for start, end in intervals:# 如果【当前起始时间】大于等于【上次结束时间】# 可以选择【当前区间】进行观看，接在【上个区间】后面# 同时 pre_end 应该修改为【当前结束时间】# 作为下一个区间的【上次结束时间】if start >= pre_end:ans += 1pre_end = end# 如果【上次结束时间】正好落在【当前区间】内# 则不能选择【当前区间】进行观看，保留【上个区间】# 无需做任何事情elif start < pre_end <= end:continue# 如果【上次结束时间】大于【当前结束时间】# 则应该选择【当前区间】进行观看，而不应该选择【上个区间】# 故 pre_end 应该修改为【当前结束时间】# 作为下一个区间的【上次结束时间】elif pre_end > end:pre_end = endprint(ans)

时空复杂度

时间复杂度：O(NlogN)。排序时间复杂度。

空间复杂度：O(1)。仅需要用到若干常数变量。

解法二：DP

# 题目：2023B-观看文艺汇演
# 分值：200
# 作者：许老师-闭着眼睛学数理化
# 算法：dp(LIS问题)
# 代码看不懂的地方，请直接在群上提问# 输入演出的数目
N = int(input())# 初始化间隔列表
intervals = list()
for _ in range(N):start, during = map(int, input().split())# 对于每一个结束时间都+15后再储存，方便后续进行比较end = start + during + 15intervals.append((start, end))# 对intervals进行排序
intervals.sort()
ans = 0# 初始化长度为N的dp数组
dp = N * [0]
# 包含第1场演出的最长无重叠演出数目为1
dp[0] = 1# 遍历所有演出
for i in range(1, N):# 初始化变量temp，用于找到前面的i-1场演出中，最长无重叠的演出场次temp = 0# 对于每一场演出i，遍历其前面的i-1场演出for j in range(i):# 如果演出j的结束时间，小于等于当前演出i的开始时间if intervals[j][1] <= intervals[i][0]:# 则更新temptemp = max(dp[j], temp)# 结束上述循环后，还需要考虑本场演出本身dp[i] = temp + 1# dp数组中的最大值，即为最长无重叠的演出场次
# 也就是能够观看的最多的演出场次
print(max(dp))

时空复杂度

时间复杂度：O(N^2)。dp 过程需要进行双重循环。

空间复杂度：O(N)。dp 数组所占空间。

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