傅里叶级数@正弦级数和余弦级数@奇偶延拓和周期延拓

文章目录

    • abstract
    • 正弦级数和余弦级数
      • 周期延拓
      • 奇偶延拓
        • 对延拓函数做区间限制
    • 小结
      • 偶延拓方法
      • 奇延拓方法

abstract

  • 傅里叶级数@正弦级数和余弦级数@奇偶延拓和周期延拓

正弦级数和余弦级数

  • 奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项正弦级数
  • 偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项余弦级数
  • 准确来说,是傅里叶系数的 a n a_n an为0就是正弦级数,而不要求最终级数的形式中包含正弦函数;余弦级数类似

周期延拓

  • 若函数 f ( x ) f(x) f(x)定义在 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π],我们可以在 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [π,π) ( − π , π ] (-\pi,\pi] (π,π]的区间(即 ( − ∞ , − π ] (-\infin,-\pi] (,π] [ π , + ∞ ) [\pi,+\infin) [π,+))补充函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义,使它拓广为周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数 F ( x ) F(x) F(x),称为周期延拓
    • 这里 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [π,π) [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]的写法的区别在于每个区间的端点处的定义
    • f ( x ) f(x) f(x) k π k\pi , k ∈ Z k\in\mathrm{Z} kZ时有间断点(比如第一类间断点)时,就有明显的区别

奇偶延拓

  • 在实际应用中,有时还需要把定义在 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上的函数 f ( x ) f(x) f(x)展开成正弦级数或余弦级数
  • 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上,并且满足收敛定理的条件,那么我们在开区间 ( − π , 0 ) (-\pi,0) (π,0)补充定义,得到定义在 ( − π , π ] (-\pi,\pi] (π,π]上的函数 F ( x ) F(x) F(x),使它在 ( − π , π ) (-\pi,\pi) (π,π)上成为奇函数(偶函数)
  • 按照上述方法拓广函数的定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)
  • 将延拓后的函数展开成傅里叶级数,这个级数必然是正弦级数或余弦级数
对延拓函数做区间限制
  • 限制 x ∈ ( 0 , π ] x\in(0,\pi] x(0,π],此时 F ( x ) ≡ f ( x ) F(x)\equiv{f(x)} F(x)f(x),便得到 f ( x ) f(x) f(x)的正弦级数(余弦级数)的展开式

小结

  • 奇延拓(偶延拓)是先将非奇函数(偶函数)拓广成单个周期内的奇函数(偶函数)
  • 而周期延拓在已经是奇函数(偶函数)的基础上,将定义域拓广到任意更多周期

偶延拓方法

  • 对于偶函数 F ( x ) F(x) F(x),它的图形关于 y y y轴对称

  • f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D f D_{f} Df,且关于 y y y轴对称的图形对应的函数为 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x), ( x ∈ − D f ) (x\in{-D_{f}}) (xDf)

  • 我们有结论 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)= f ( − x ) f(-x) f(x);

    • f 1 f_1 f1的定义域为 D f 1 = − D f D_{f_1}=-D_{f} Df1=Df,(这里假设函数连续,否则要考虑间断点或者分段函数分段点)

      • 例如 D f = ( 0 , + ∞ ) D_{f}=(0,+\infin) Df=(0,+),则 − D f = ( − ∞ , 0 ) -D_{f}=(-\infin,0) Df=(,0)
    • 结论可由函数图形变换性质得出

    • 或由点坐标法得出: P ( x , f ( x ) ) P(x,f(x)) P(x,f(x))的对称点为 Q ( − x , f ( x ) ) Q(-x,f(x)) Q(x,f(x)), Q Q Q满足 f 1 ( − x ) = f ( x ) f_1(-x)=f(x) f1(x)=f(x),即 f 1 ( x ) = f ( − x ) f_1(x)=f(-x) f1(x)=f(x)

奇延拓方法

  • 对于奇函数 F ( x ) F(x) F(x),它的图形关于原点对称

  • f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D f D_{f} Df,并设 f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的图形对应的函数段为 f 1 ( x ) f_{1}(x) f1(x), ( x ∈ − D f ) (x\in{-D_{f}}) (xDf)

  • 我们有结论: f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)= − f ( − x ) -f(-x) f(x)

  • 结论的推导:根据函数图形翻折知识,可知,得到图形关于原点对称的图形有两种方法

    • 方法1:二次翻折法:可通过2步骤完成:
      1. f ( x ) f(x) f(x)的图像关于 y y y轴对称,得到 f ( − x ) f(-x) f(x)
      2. 在将 f ( − x ) f(-x) f(x)关于 x x x对称,得到 − f ( − x ) -f(-x) f(x)
    • 方法2:点坐标对称法,直接获得欲求函数
      • P ( x , f ( x ) ) P(x,f(x)) P(x,f(x))为函数 f ( x ) f(x) f(x)上的点,则 P P P关于原点的对称点坐标为 Q ( − x , − f ( x ) ) Q(-x,-f(x)) Q(x,f(x))
      • Q Q Q f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的函数 f 1 ( x ) f_1(x) f1(x)的图形上,所以 Q Q Q坐标满足 f 1 ( − x ) = − f ( x ) f_1(-x)=-f(x) f1(x)=f(x),从而 f 1 ( x ) = − f ( − x ) f_1(x)=-f(-x) f1(x)=f(x)
  • 这就是说, f ( x ) f(x) f(x)关于原点对称的图形的解析式对应于 − f ( − x ) -f(-x) f(x),定义域为 − D f -D_{f} Df

  • 例如,对于 f ( x ) f(x) f(x)= 2 x 2 2x^2 2x2, x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,\pi] x[0,π],求它展开成的正弦级数和余弦级数

    • 分析:对 f ( x ) f(x) f(x)进行周期延拓,即分别做奇延拓和偶延拓,可分别得到正弦级数和余弦级数展开式
  • 展开成正弦级数:

    • f ( x ) f(x) f(x)奇延拓:
      • ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)= 2 x 2 2x^2 2x2, x ∈ [ 0 , π ] x\in[0,\pi] x[0,π];
      • ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)= − ϕ ( − x ) -\phi(-x) ϕ(x)= − 2 x 2 -2x^2 2x2, x ∈ [ − π , 0 ) x\in[-\pi,0) x[π,0)
    • 再对 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)周期延拓,得到 F ( x ) F(x) F(x), x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) x\in{(-\infin,+\infin)} x(,+)
    • Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)满足收敛定理条件,
      • Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) x = ( 2 k + 1 ) π x=(2k+1)\pi x=(2k+1)π, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ处间断
      • Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x) [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π] Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)= f ( x ) f(x) f(x),所以它的傅里叶级数 F F F [ 0 , π ) [0,\pi) [0,π)上收敛于 f ( x ) f(x) f(x)
      • 周期奇函数的性质可知,其傅里叶系数
        • a n a_{n} an=0, n = 0 , 1 , 2 , ⋯ n=0,1,2,\cdots n=0,1,2,
        • b n b_{n} bn= 2 π ∫ 0 π 2 x 2 sin ⁡ n x d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2x^2\sin{nx}\mathrm{d}x π20π2x2sinnxdx= 4 π ∫ 0 π x 2 sin ⁡ n x d x \frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi}x^2\sin{nx}\mathrm{d}x π40πx2sinnxdx
          • 使用2次分部积分,可得
          • b n b_n bn= − 4 n π ( π 2 cos ⁡ n π − 2 n 2 cos ⁡ n π + 2 n 2 ) -\frac{4}{n\pi}(\pi^2\cos{n}\pi-\frac{2}{n^2}\cos{n\pi}+\frac{2}{n^2}) 4(π2cosnπn22cos+n22)
            • = 4 π ( − π 2 n cos ⁡ n π + 2 n 3 cos ⁡ n π − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}(-\frac{\pi^2}{n}\cos{n\pi}+\frac{2}{n^3}\cos{n\pi}-\frac{2}{n^3}) π4(nπ2cos+n32cosn32)= 4 π ( − π 2 n ( − 1 ) n + 2 n 3 ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}(-\frac{\pi^2}{n}(-1)^{n}+\frac{2}{n^3}(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4(nπ2(1)n+n32(1)nn32)
            • = 4 π ( ( − π 2 n + 2 n 3 ) ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}((-\frac{\pi^2}{n}+\frac{2}{n^3})(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4((nπ2+n32)(1)nn32); n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,
        • Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)= 4 π ∑ n = 1 ∞ ( ( − π 2 n + 2 n 3 ) ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infin}((-\frac{\pi^2}{n}+\frac{2}{n^3})(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4n=1((nπ2+n32)(1)nn32), x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) x\in{(-\infin,+\infin)} x(,+)
        • f ( x ) f(x) f(x)= 4 π ∑ n = 1 ∞ ( ( − π 2 n + 2 n 3 ) ( − 1 ) n − 2 n 3 ) \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infin}((-\frac{\pi^2}{n}+\frac{2}{n^3})(-1)^{n}-\frac{2}{n^3}) π4n=1((nπ2+n32)(1)nn32), x ∈ [ 0 , π ) x\in[0,\pi) x[0,π)
          • 该式就是对延拓函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)做区间限制,即得 f ( x ) f(x) f(x)的正弦级数展开
    • 它是一个奇函数或者偶函数
    • 定义域是一个周期, [ − π , π ] [-\pi,\pi] [π,π]
  • 展开成余弦级数

    • 为此对函数 f ( x ) f(x) f(x)做偶延拓, ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)= 2 x 2 2x^2 2x2, x ∈ ( − π , π ] x\in(-\pi,\pi] x(π,π]
    • 再作 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)的周期延拓函数 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x),则 Φ ( x ) \Phi(x) Φ(x)满足收敛定理的条件,且处处连续
    • [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上, Φ ( x ) = f ( x ) \Phi(x)=f(x) Φ(x)=f(x),所以它的傅里叶级数 F F F [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上收敛于 f ( x ) f(x) f(x)
      • b n = 0 b_{n}=0 bn=0, n = 1 , 2 , ⋯ n=1,2,\cdots n=1,2,
      • a 0 a_{0} a0= 2 π ∫ 0 π f ( x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x π20πf(x)dx= 2 π ∫ 0 π 2 x 2 d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2x^2\mathrm{d}x π20π2x2dx= 4 3 π 2 \frac{4}{3}\pi^{2} 34π2
      • a n a_{n} an= 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos ⁡ n x d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\cos{nx}\mathrm{d}x π20πf(x)cosnxdx= 2 π ∫ 0 π 2 x 2 cos ⁡ n x d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}2x^2\cos{nx}\mathrm{d}x π20π2x2cosnxdx= ( − 1 ) n 8 n 2 (-1)^{n}\frac{8}{n^2} (1)nn28, ( n = 1 , 2 , ⋯ ) (n=1,2,\cdots) (n=1,2,)
    • 所以 f ( x ) f(x) f(x)= 1 2 4 3 π 2 \frac{1}{2}\frac{4}{3}\pi^2 2134π2+ 8 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n 8 n 2 cos ⁡ n x 8\sum_{n=1}^{\infin}(-1)^{n}\frac{8}{n^2}\cos{nx} 8n=1(1)nn28cosnx, x ∈ [ 0 , π ) x\in[0,\pi) x[0,π)

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/153005.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

打破传统束缚,释放服务潜能:本地生活服务商聚合系统引领行业新风向!

本地生活服务商聚合系统是一种集合多平台、多项目的创新型服务系统,它打破了传统服务商系统的一对一限制,为创业者和运营商带来了诸多优势。小多将深入探讨本地生活服务商聚合系统的优势。 随着互联网的快速发展,本地生活服务也迎来了蓬勃的发…

Mongodb命名和文档限制

选用mongodb时,需要了解与mongodb数据大小,命名上的限制。针对这些限制,本文针对这些限制进行翻译整理。 BSON文档 mongodb中的数据记录,按照文档的形式保存。文档保存在一种类似于JSON的BSON结构中。Mongodb对BSON做了一些限制…

RLlib六:实战用户环境

github源码 自定义用户gymnasium环境使用tune搜索不同的learning rate""" Example of a custom gym environment. Run this example for a demo.This example shows the usage of:- a custom environment- Ray Tune for grid search to try different learni…

el-tree 与table表格联动

html部分 <div class"org-left"><el-input v-model"filterText" placeholder"" size"default" /><el-tree ref"treeRef" class"filter-tree" :data"treeData" :props"defaultProp…

linux gdb调试

安装gdb yum install gdb -y 查看dump文件所在路径&#xff1a; 可通过 cat /proc/sys/kernel/core_pattern命令获取dump目录路径 gdb调试&#xff1a; 可执行文件为 xxx&#xff08;例如&#xff1a;main&#xff09;&#xff0c;结合其运行时产生的dump文件进行调试 命令&a…

彻底删除的文件如何恢复?分享正确方法!

“求救&#xff01;我在清理电脑的过程中&#xff0c;把一些比较久远的文件彻底删除了。但是我突然想起好像有些非常重要的数据也一同被删掉了&#xff0c;这可怎么办&#xff1f;有方法恢复彻底删除的文件么&#xff1f;” 在日常使用电脑的过程中&#xff0c;很多用户或许都会…

机器学习-笔记

绪论 参考期刊 ICCV 偏向视觉CVPR 偏向MLIAAA AI原理ICML 参考链接 CSDN 机器学习知识点全面总结 课堂内容学习-0912-N1 对于特征提取&#xff0c;简而言之就是同类聚得紧&#xff0c;异类分得开&#xff1b;   detection研究的是样本二分类问题&#xff0c;即分为正样本…

【C语言】——三道基础程序练习

&#x1f383;个人专栏&#xff1a; &#x1f42c; 算法设计与分析&#xff1a;算法设计与分析_IT闫的博客-CSDN博客 &#x1f433;Java基础&#xff1a;Java基础_IT闫的博客-CSDN博客 &#x1f40b;c语言&#xff1a;c语言_IT闫的博客-CSDN博客 &#x1f41f;MySQL&#xff1a…

Oracle 数据库中 查询时如何使用日期(时间)作为查询条件

在 Oracle 数据库中&#xff0c;可以使用日期&#xff08;时间&#xff09;作为查询条件来筛选数据。 格式化日期的三种方式 方式一: 关键字 DATE 使用关键字DATE&#xff0c; 仅表示日期类型&#xff0c;并不包含时间信息 方式二&#xff1a;关键字TIMESTAMP 使用关键字TI…

Rockdb简介

背景 最近在使用flink的过程中&#xff0c;由于要存储的状态很大&#xff0c;所以使用到了rockdb作为flink的后端存储&#xff0c;本文就来简单看下rockdb的架构设计 Rockdb设计 Rockdb采用了LSM的结构&#xff0c;它和hbase很像&#xff0c;不过严格的说&#xff0c;基于LS…

设计模式-行为型模式-责任链模式

一、什么是责任链模式 责任链模式是一种设计模式。在责任链模式里&#xff0c;很多对象由每一个对象对其下家的引用而连接起来形成一条链。请求在这个链上传递&#xff0c;直到链上的某一个对象决定处理此请求。发出这个请求的客户端并不知道链上的哪一个对象最终处理这个请求&…

Lavarel定时任务的使用

系统为window 执行命令(执行一次命令只会根据当前时间运行一次定时任务) php artisan schedule:run创建一个任务类(在Jobs文件夹下面) <?phpnamespace App\Jobs;use Illuminate\Bus\Queueable; use Illuminate\Contracts\Queue\ShouldBeUnique; use Illuminate\Contract…

VS2019编译安装GDAL(C++)程序库

一、GDAL简介 GDAL&#xff0c;全称Geospatial Data Abstraction Library&#xff0c;即地理空间数据抽象库&#xff0c;是一个在X/MIT许可协议下读写空间数据的开源库&#xff0c;可以通过命令行工具来进行数据的转换和处理。而在调用中我们常用的OGR&#xff08;OpenGIS Simp…

Talk2BEV: Language-enhanced Bird’s-eye View Maps for Autonomous Driving

论文标题为“Talk2BEV: Language-enhanced Bird’s-eye View Maps for Autonomous Driving”&#xff0c;主要介绍了一种新型的视觉-语言模型&#xff08;LVLM&#xff09;界面&#xff0c;用于自动驾驶情境中的鸟瞰图&#xff08;BEV&#xff09;映射。以下是论文的主要内容概…

MATLAB中std函数用法

目录 语法 说明 示例 矩阵列的标准差 三维数组的标准差 指定标准差权重 矩阵行的标准差 数组页的标准差 排除缺失值的标准差 标准差和均值 标准差 std函数的功能是得到标准差。 语法 S std(A) S std(A,w) S std(A,w,"all") S std(A,w,dim) S std(A…

2311rust,到38版本更新

1.35.0稳定版 此版本亮点是分别为Box<dyn FnOnce>,Box<dyn FnMut>和Box<dyn Fn>实现了FnOnce,FnMut和Fn闭包特征. 此外,现在可按不安全的函数指针转换闭包.现在也可无参调用dbg!. 为Box<dyn Fn*>实现Fn*装饰特征. 以前,如果要调用在盒子闭包中存储的…

nvm切换node后,没有npm

当我们想要在不同的 Node.js 版本之间切换的时候&#xff0c;通常会使用 nvm&#xff08;Node Version Manager&#xff09; 来完成。但是&#xff0c;当我们在使用 nvm 切换 Node.js 版本的时候&#xff0c;可能会遇到没有 npm 的情况。这种情况通常发生在我们在新环境或者重新…

Android---Gradle 构建问题解析

想必做 Android App 开发的对 Gradle 都不太陌生。因为有 Android Studio 的帮助&#xff0c;Android 工程师使用 Gradle 的门槛不算太高&#xff0c;基本的配置都大同小异。只要在 Android Studio 默认生成的 build.gradle 中稍加修改&#xff0c;就都能满足项目要求。但是&am…

『vue-router 要点』

参数或查询的改变并不会触发进入/离开的导航守卫&#xff0c;如何解决&#xff1a; 通过观察 $route 对象来应对这些变化&#xff0c; watch: {$route(to, from) {// 对路由变化作出响应...}}使用 beforeRouteUpdate 的组件内守卫。 beforeRouteUpdate(to, from, next) {// re…

面试题c/c++ --STL 算法与数据结构

1.6 STL 模板 模板底层实现&#xff1a;编译器会对函数模板进行两次编译&#xff0c; 在声明的地方对模板代码本身进行编译&#xff0c; 在调用的地方对参数替换后的代码进行编译。 模板传参分析 模板重载 vector 是动态空间&#xff0c; 随着元素的加入&#xff0c; 它的内…