从使用回溯分割字符串的技巧到前向搜索

题目 131. 分割回文串

给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文串。返回 s 所有可能的分割方案。

回文串是正着读和反着读都一样的字符串。

答案：

class Solution {boolean[][] f;List<List<String>> ret = new ArrayList<List<String>>();List<String> ans = new ArrayList<String>();int n;public List<List<String>> partition(String s) {n = s.length();f = new boolean[n][n];for (int i = 0; i < n; ++i) {Arrays.fill(f[i], true);}for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {for (int j = i + 1; j < n; ++j) {f[i][j] = (s.charAt(i) == s.charAt(j)) && f[i + 1][j - 1];}}dfs(s, 0);return ret;}public void dfs(String s, int i) {if (i == n) {ret.add(new ArrayList<String>(ans));return;}for (int j = i; j < n; ++j) {if (f[i][j]) {ans.add(s.substring(i, j + 1)); dfs(s, j + 1); // #A 为什么这里入参是j+1而不是i+1ans.remove(ans.size() - 1);}}}
}作者：力扣官方题解
链接：https://leetcode.cn/problems/palindrome-partitioning/solutions/639633/fen-ge-hui-wen-chuan-by-leetcode-solutio-6jkv/
来源：力扣（LeetCode）
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疑问：dfs(s, j + 1); 入口为什么这里入参是j+1而不是i+1？

首先看一下dfs(s, j + 1);入口参数是j+1的回溯过程：

以aab为例，我们dfs的流程是：
添加"a"--->
继续添加"a"--->
继续添加"b"--->
继续dfs发现i==len越界，将答案["a","a","b"]加入到ret里然后返回-->
在res中删除最后添加的"b"，并且发现当前层dfs的for循环不能再执行了于是自然返回--->
res继续删除末尾的"a",再次for循环更长的回文串，但发现"ab"不是回文串，而且for循环执行不下去了遂返回--->
res继续删除末尾的"a"(空了)，然后for循环(i,j)从(0,0)变为(0,1)，将对应回文串"aa"添加--->
继续添加"b"-->继续dfs发现i==len越界，将答案["aa", "b"]加入到ret然后返回--->
在res中删除最后添加的"b"，发现for不能执行了自然返回--->
res继续删除"aa"，再次for循环找更长的回文串，(i,j)从(0,1)变成了(0,2)，但"子串aab"不是回文串---->
继续for循环，发现j==len越界，for循环结束，最外层调用的dfs函数自然返回。主函数返回结果集ret...

打印路径如下：

(共7个节点)
i:0,j:0,s.substring(i,j+1):a
i:1,j:1,s.substring(i,j+1):a
i:2,j:2,s.substring(i,j+1):b
i:1,j:2,s.substring(i,j+1):ab
i:0,j:1,s.substring(i,j+1):aa
i:2,j:2,s.substring(i,j+1):b
i:0,j:2,s.substring(i,j+1):aab

再看一下下面这个棵回溯树：

root
|_ 'a' (0,0)|_ 'a' (1,1)|_ 'b' (2,2)|_ 'ab' (1,2)
|_ 'aa' (0,1)|_ 'b' (2,2)
|_ 'aab' (0,2)

把它画成图：
在这里插入图片描述

使用j+1的树中，为什么没有|_ ‘aab’ (0,2)的子树

在使用 j+1 的方法中，代码逻辑会优先尝试将字符串划分为更小的部分，也就是说，它会先尝试将 aab 分割为 a 和 ab，再分割为 a、a 和 b。因此，在这个过程中，它实际上并没有尝试到 aab 这一整个字符串，也就没有 ‘aab’ (0,2) 这个节点。这是因为，一旦发现一个回文串，它就会立即向后查找，而不会尝试更大的字符串。根本原因是 if (f[i][j])的判断

dfs(s, j + 1);入口参数是i+1的回溯历程

同样的字符串“aab”，其打印路径如下：

(共经过9个节点)
i:0,j:0,s.substring(i,j+1):a
i:1,j:1,s.substring(i,j+1):a
i:2,j:2,s.substring(i,j+1):b
i:1,j:2,s.substring(i,j+1):ab
i:0,j:1,s.substring(i,j+1):aa
i:1,j:1,s.substring(i,j+1):a
i:2,j:2,s.substring(i,j+1):b
i:1,j:2,s.substring(i,j+1):ab
i:0,j:2,s.substring(i,j+1):aab

对应的树如下：
在这里插入图片描述

使用i+1的树中，为什么没有|_ ‘aab’ (0,2)的子树？

对于 aab，‘aab’ (0,2) 是整个字符串，是无法继续划分的，所以没有子树。之所以在使用 i+1 的树中有 aab 这一节点，是因为每次 dfs 的入参增加了1，所以即使前一步已经找到了一个完整的回文串（如 aa），也会尝试下一步，从而导致 aab 被添加到树中。但是因为 aab 不是回文串，所以不会有对应的有效划分，即没有子树。

区别

可以看出，改变 dfs(s, j + 1) 为 dfs(s, i + 1)后，树中多出了一些节点，这是为什么呢？使用j+1作为入参后，似乎更像是做切割，表明之前的部分与此无关，后者更像是还会重复做一些判断

使用 dfs(s, j + 1) 和 dfs(s, i + 1) 的差别主要体现在搜索的方向和重复判断上。

dfs(s, j + 1): 这是一种前向搜索的策略，每次找到一个回文串，都会立即查找该回文串后面的所有可能划分。这意味着，当你进行下一次递归调用时，你已经完成了当前位置之前的所有搜索，你将不需要再次考虑这些部分。也就是说，这种策略有效地避免了重复判断。
dfs(s, i + 1): 这是一种深度搜索策略，每次只前进一个位置，然后尝试所有可能的划分。这意味着，在每个位置，你都需要考虑所有的可能划分，即使这些划分在之前已经被考虑过。因此，这种策略会产生一些重复的判断和多余的节点。

这就是为什么改变 dfs(s, j + 1) 为 dfs(s, i + 1) 后，树中会多出一些节点。而使用 j + 1 的策略可以减少这种重复，使得搜索更高效。

什么是前向搜索

前向搜索（forward search）是一种搜索策略，在这种策略下，我们从一个起始状态开始，然后逐步探索所有可达的状态。这种策略常常在图论、树、动态规划等问题中使用。在你的代码中，前向搜索就体现在 dfs(s, j + 1) 这一行，即每次找到一个回文串后，立即查找该回文串之后的所有可能划分。

前向搜索是一种剪枝策略嘛

前向搜索本身并不是一种剪枝策略，而是一种搜索策略。它决定了搜索的方向和步骤，即从当前状态出发，探索所有可以直接到达的状态。然而，在某些情况下，前向搜索可以减少搜索的空间，提高搜索的效率，这可以看作是一种隐式的剪枝。比如在这个问题中，dfs(s, j+1) 就相当于一种前向搜索策略，它避免了不必要的重复搜索，减小了搜索空间

前向搜索相关力扣题目

在力扣（LeetCode）上，许多题目都可以使用前向搜索策略，例如：

题目22. 括号生成

题目39. 组合总和

class Solution {List<List<Integer>>res;List<Integer>tmp;public List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {int n=nums.length;res=new ArrayList<>();tmp=new ArrayList<>();dfs(nums,0);return res;}void dfs(int[] nums,int i){res.add(new ArrayList<>(tmp));for(int j=i;j<nums.length;j++){tmp.add(nums[j]);dfs(nums,j+1);tmp.remove(tmp.size()-1);}}
}