回溯算法(3)--n皇后问题及回溯法相关习题

一、n皇后问题

1、概述

        n皇后要求在一个n×n的棋盘上放置n个皇后,使得他们彼此不受攻击,皇后可以攻击同一行、同一列、同一斜线上的敌人,所以n皇后问题要求寻找在棋盘上放置这n个皇后的方案,使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一斜线上。

2、子集树解法

(1)判断是否遍历过叶子结点(t>n),若没有则遍历子集树,判断place(t),即该层从1到n是否存在有成立的情况。

(2)place剪枝函数,遍历1到t,如果存在一个点满足同一列,同一对角线,那么舍弃这个叶节点,反之保留叶节点。由于每一层保存的点存放在x数组,该数组显性约束了不满足同一行的条件,数组中的索引+1就是行号,数组值为列号。

(3)若已经满足t>n,即已经遍历过叶子结点,则输出该可行解。

3、排列树解法

(1)判断是否遍历过叶子结点(t>n),若没有则遍历排列树,对后续层进行全排列,判断place(t),即该层从1到n是否存在有成立的情况。

(2)place剪枝函数,此时由于对后续层全排列,第一层的列数不能存在于后续层,不需要添加同一列的检查,其他与子集树一致。

(3)若已经满足t>n,即已经遍历过叶子结点,则输出该可行解。

4、代码

//n皇后问题
import java.util.Scanner;
public class Queen {static int x[]=new int[100];static int n;static int sum=0;public static void main(String [] args){n=new Scanner(System.in).nextInt();//排列树提前添加x数组值,保证能够进行排列for(int i=1;i<=n;i++)x[i]=i;Backstack2(1);} //子集树算法public static void Backstack(int t){if(t>n){sum++;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(x[i]==j)System.out.print("Q ");else    System.out.print(". ");}System.out.println();}System.out.println();}else{for(int i=1;i<=n;i++){x[t]=i;if(place(t))Backstack(t+1);}}}public static boolean place(int t){for(int i=1;i<t;i++)if((Math.abs(x[i]-x[t])==Math.abs(i-t))||x[i]==x[t])return false;return true;}//排列树算法public static void Backstack2(int t){if(t>n){sum++;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(x[i]==j)System.out.print("Q ");else    System.out.print(". ");}System.out.println();}System.out.println();}else{for(int i=t;i<=n;i++){swap(i,t);if(place2(t))Backstack2(t+1);swap(i,t);}}}public static void swap(int i,int t){int tmp=x[i];x[i]=x[t];x[t]=tmp;}public static boolean place2(int t){for(int i=1;i<t;i++){if(Math.abs(x[i]-x[t])==Math.abs(i-t))return false;}return true;}
}

5、结果

        通过Q和 . 区分皇后的位置。

二、含重复元素的全排列

1、概述

        给定一个可包含重复数字的序列,按任意顺序返回所有不重复的全排列,如:输入【1,1,2】,输出【1,1,2】,【1,2,1】,【2,1,1】。

2、算法

        排列树问题,在原有问题上添加条件x[t]==x[i]&&t!=i,当前交换的两个数若相同,且不是同一个数,则剪枝,注意循环中使用continue,表示下面的交换和扩展的操作不再进行,但循环继续。

3、代码

//含重复元素的全排列
import java.util.Scanner;
public class repeatperm {public static void main(String []args){String m=new Scanner(System.in).nextLine();String []numbers=m.split("\\s+");int x[]=new int[numbers.length+1];for(int i=0;i<numbers.length;i++)x[i+1]=Integer.parseInt(numbers[i]);perm(x,1);} //全排列public static void perm(int[] x,int t){int n=x.length-1;if(t>n){for(int i=1;i<n+1;i++)System.out.print(x[i]+" ");System.out.println();}else{for(int i=t;i<n+1;i++){//约束条件,保证不再重复if(x[t]==x[i]&&t!=i)continue;swap(t,i,x);perm(x,t+1);swap(t,i,x);}}}public static void swap(int t,int i,int []x){int tmp=x[i];x[i]=x[t];x[t]=tmp;}
}

三、 组合

1、概述

        输入n和k,从1~n中任意不放回抽取k个值的所有情况,输入n=4,k=2,输出【1,2】,【1,3】,【1,4】,【2,3】,【2,4】,【3,4】。

2、算法

        子集树,在叶子结点未遍历结束前,每一层的值都为上一层的节点值到n之间所有的遍历。

3、代码

//组合问题
import java.util.Scanner;
public class combination {public static void main(String[] args){int n=new Scanner(System.in).nextInt();  //n=4int k=new Scanner(System.in).nextInt();  //k=2int x[]=new int [k+1];combine(n,k,1,x);}public static void combine(int n,int k,int t,int x[]){if(t>k){for(int i=1;i<=k;i++)System.out.print(x[i]+" ");System.out.println();}else{for(int i=x[t-1]+1;i<=n;i++){x[t]=i;combine(n,k,t+1,x);}}}
}

四、组合总和

1、概述

        输入n和k,输出1-9的任取k个数的组合中,组合加和等于n的所有可能情况。

2、算法

        子集树算法,与上一道题相同,只需要在输出的时候,添加限制总和等于n的输出。另外可以进行改进,对于问题规模过大的情况,如果未完成的组合,组合总和已经大于等于n,则进行剪枝。

3、代码

//组合总和
import java.util.Scanner;
public class combinationsum {public static void main(String[] args){int n=new Scanner(System.in).nextInt();  //n=7,判断条件和int k=new Scanner(System.in).nextInt();  //k=3int x[]=new int [k+1];combine(n,k,1,x);}public static void combine(int n,int k,int t,int x[]){if(t>k){int sum=0;for(int j:x)sum+=j;if(sum==n){for(int i=1;i<=k;i++)System.out.print(x[i]+" ");System.out.println();}}else{for(int i=x[t-1]+1;i<=9;i++){x[t]=i;combine(n,k,t+1,x);}}} 
}

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