300.最长递增子序列

题目要求：给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
• 输出：4
• 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

思路

dp[i]表示到"i"位置截至的最长递增子序列的长度，dp[i] = max(dp[i-1], count); 这里count还需要判断一下nums[i]和nums[i-1]的关系，来判断当前子序列是否是递增子序列。初始化dp[0] = 1;

但是这种方法只能处理连续的递增子序列，现在最长递增子序列可以是不连续的。

因此经过思考，我认为dp[i]应该存储两个值，一个是以nums[i]为结尾的最长递增子序列长度，另一个是不论是否以nums[i]为结尾的最长递增子序列长度；

• 以nums[i]为结尾的：dp[i][0] = maxn + 1 // maxn代表i之前比nums[i]小的，且为结尾的最大长度
• 因此maxn应该是max(num[j][0]);
• 不论是否以nums[i]为结尾：dp[i][1] = max(dp[i][0], i之前的全局最大值);

返回max(dp[nums.size()-1][0], dp[nums.size()-1][1]);

class Solution {
public:int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {vector<vector<int>> dp(nums.size() + 1, vector<int>(2, 0));dp[0][0] = 1;dp[0][1] = 1;for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {int maxlow = 0;int maxn = 0;for (int j = 0; j < i; ++j) {if (nums[j] < nums[i] && dp[j][0] > maxlow) {maxlow = dp[j][0];}if (dp[j][0] > maxn || dp[j][1] > maxn) {maxn = max(dp[j][0], dp[j][1]);}}dp[i][0] = maxlow + 1;dp[i][1] = max(dp[i][0], maxn);}return max(dp[nums.size() - 1][0], dp[nums.size() - 1][1]);}
};

如果只用一维的dp数组，那么dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。

所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

之后还需要一步：

if (dp[i] > result) result = dp[i]; // 取长的子序列

• 时间复杂度: O(n^2)
• 空间复杂度: O(n)

674. 最长连续递增序列

题目要求：给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例 1：

• 输入：nums = [1,3,5,4,7]
• 输出：3
• 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

思路

这个题目感觉比上一题简单了很多，只需要用最开始的思路即可。

class Solution {
public:int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {vector<int> dp(nums.size() + 1, 1);int count = 1;int result = 1;for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {if (nums[i] > nums[i-1]) {count++;dp[i] = max(dp[i], count);} else {count = 1;}if (dp[i] > result) {result = dp[i];}}return result;}
};

需要注意的是，我们不需要dp[i]来代表全局最长子序列，最长子序列只需要在得到每个以nums[i]为结尾的最长子序列之后比较一下result就可以了。

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

718. 最长重复子数组

给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

示例：

输入：

• A: [1,2,3,2,1]
• B: [3,2,1,4,7]
• 输出：3
• 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

思路

dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

其实dp[i][j]的定义也就决定着，我们在遍历dp[i][j]的时候i 和 j都要从1开始。

• 确定递推公式

根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

• dp数组如何初始化

根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

举个例子A[0]如果和B[0]相同的话，dp[1][1] = dp[0][0] + 1，只有dp[0][0]初始为0，正好符合递推公式逐步累加起来。

class Solution {
public:int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {vector<vector<int>> dp(nums1.size() + 1, vector<int>(nums2.size() + 1, 0));int result = 0;for (int i = 1; i <= nums1.size(); ++i) {for (int j = 1; j <= nums2.size(); ++j) {if (nums1[i-1] == nums2[j-1]) {dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;}if (dp[i][j] > result) {result = dp[i][j];}}}return result;}
};

• 时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
• 空间复杂度：O(n × m)