Fourier分析导论——第5章——实数据R上的Fourier变换(E.M. Stein R. Shakarchi)

第5章实数域ℝ上的Fourier变换

The theory of Fourier series and integrals has always

had major difficulties and necessitated a large math-

ematical apparatus in dealing with questions of con-

vergence. It engendered the development of methods

of summation, although these did not lead to a com-

pletely satisfactory solution of the problem....For the

Fourier transform, the introduction of distributions

(hence the space S) is inevitable either in an explicit

or hidden form....As a result one may obtain all that

is desired from the point of view of the continuity and

inversion of the Fourier transform.

(Fourier级数和积分的理论一直存在重大困难，在处理收敛性问题时需要大型数学仪器。它促成了求和方法的发展，尽管这些并没有导致产生完全令人满意的问题解......。对于Fourier变换，分布(因此空间 S )的引入是不可避免的，无论是显式还是隐式形式 ......。因此，从Fourier变换的连续性和逆变换的角度来看，人们可能会得到所有预期东西。)

-----------------------------------------------------------------------------------L. Schwartz, 1950

Fourier级数理论适用于圆周上的函数，或等价地适用于实数域 ℝ 上的周期函数。在本章中，我们为整个非周期性实数轴(real line)上的函数开发一个类似的理论。我们考虑的函数在无穷远处将适当地“小(small)”。有几种方法可以定义一个合适的“小(smallness)”的概念，但是，假设某种在无穷远处消失的“小”仍然是定义的关键。

在一方面，我们记得，周期函数的Fourier级数将一系列数(即Fourier系数)与该函数相关联；在另一方面，给定一个 ℝ 上的合适函数 f ，与 f 关联的类比对象实际上是 ℝ 上的另一个函数 $\hat{f}$ ，称其为 f 的Fourier变换。由于 ℝ 上函数的Fourier变换又是 ℝ 上的函数，因此人们可以观察到函数及其Fourier变换之间的对称性，其类似对象在Fourier级数的设置中并不明显。

大致说来，Fourier变换是Fourier系数的连续版本。我们记得，定义在圆周上的函数 f 的Fourier系数 $a_{n}$ 由

(1) $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}f(x)e^{-2\pi inx}dx$

给出，则，在合适的意义上，我们有

(2) $\displaystyle f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}e^{2\pi inx}$ 。

此处，我们用 2πx 替换 θ ，和前我们经常按这样处理的方式一样。

现在，考虑以下类比，我们将所有离散符号(例如整数及其求和)替换为它们的连续对等对象(例如实数及其积分)。换句话说，给定一个实数域 ℝ 上的函数 f ，我们定义其 Fourier变换，将积分域从圆周上改变到所有整个实数域 ℝ ，在 (1) 中用 $\xi_{n} \in \mathbb{R}$ 替换掉 n∈ℤ 。即，通过设置

(3) $\displaystyle \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i\xi x}dx$ 。

我们进一步推进类比，考虑下面(2)的连续版本：用积分代替求和，用 $\hat{f}(\xi)$ 替代 $a_{n}$ ，导出了逆Fourier变换公式

(4) $\displaystyle f(x) = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi x}d\xi$ 。

在 $f$ 上合适的假设之下，恒等式(4)事实上是成立的，本章理论的大部分旨在证明并探索这个关系。逆Fourier变换公式的有效性也通过下面的简单观察得到启发。假如 $f$ 在一个包含于 $I = [-L/2,L/2]$ 有限区间上被支持，我们在 $I$ 上以Fourier级数延拓 $f$ 。则，令 $L$ 趋近于无限，我们导出了(4) (见练习1).

Fourier 变换的特性使其成为研究偏微分方程的重要工具。例如，我们将会看到，逆Fourier变换公式是如何允许我们分析某些基于实数轴建模的方程。特别地，遵循圆周上发展起来的思想，我们解决了针对无限杆的时变(time-dependent)热传导方程和位于上半平面中的稳态热传导方程。

在本章的最后，我们讨论了与 Poisson 和公式

$\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f}(n)$

有关的更深入的主题，它给出了周期函数(和它们的Fourier级数)与线上的非周期函数(和它们的Fourier变换)之间的另一个显著联系。在前面的章节中，这个恒等式允许我们证明一个诊断，即，热传导核 $H_{t}(x)$ 满足好核的属性。此外，Poisson求和公式还出现在许多其它的设置中，特别是出现在数论部分，我们将在第2册书中看到这部分内容。

我们对我们选择的方案做出最后评述。在研究Fourier级数时，我们发现考虑圆周上的Riemann可积函数很有用。特别是，这种通用性向我们保证，即使是具有某些不连续性的函数也可以用该理论处理。相比之下，我们对Fourier变换基本属性的阐述是根据测试函数的 Schwartz[ʃwɔːts]( 1915年3月5日–2002年7月4日,法国数学家)空间 𝒮 来说明的。这些函数是无限可微的，并且与它们的导数一起在无穷大处迅速递减。对这个函数空间的依赖提供了一方法，允许我们快速得出主要结论，并以直接和透明的风格对结论进行公式化。一旦执行此操作，我们将指出对某些更广泛设置的简易扩展。更通用的Fourier变换理论(必须以Lebesgue[ləbέ:g]( 1875年6月28日-1941年7月26日，法国数学家)积分为基础)将在第3册中讨论。

1. Fourier变换的基本理论(Elementary theory of the Fourier transform)

我们以扩展积分概念到定义于整个实数轴上的函数开始。

1.1 实数轴上的函数积分(Integration of functions on the real line)

已知封闭且有界区间上函数积分的概念，将这个定义扩展到实数域 ℝ 上的连续函数的最自然的定义便是

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N \rightarrow \infty } \int_{-N}^{N}f(x)dx$ 。

然，这个极限不存在。例如，假如 f (x) = 1 ，或者，甚至 f (x) = 1 / ( 1 + |x| ),则很显然，以上极限都是无穷的。片刻的思考表明，当| x |趋于无穷大时，如果我们对 f 施加足够大的下限，那么极限将存在。下面是一个有用的条件。

对于一个定义于实数域 ℝ 上的函数 f ,如果 f 是连续函数且存在一个常量 A > 0 ,使得对于所有 x∈ℝ ，都有

$\displaystyle |f(x)| \leq \frac{A}{1+x^{2}}$ ,

则称函数 f 是中速递降的(moderate decrease)。这个不等式指的是，函数 f 有界(比如，以 A 为界)，此外，至少，在无穷远处它和 $\frac{1}{x^{2}}$ 下降得同样快，因为 $\frac{A}{1+x^{2}} \leq \frac{A}{x^{2}}$ 。

例如，对于函数 $f(x)=\frac{1}{1+|x|^{2}}$ , 只要 n ≥ 2 ,则其便是中速递降的。另一个例子是函数 $\displaystyle e^{-a|x|}(a>0)$ 。

我们将用符号 ℳ(ℝ)来表示实数域 ℝ 上的中速递降函数集。作为一个练习，读者可以检验在通常的函数加和标题乘法则下，ℳ(ℝ)构成一个复数域 ℂ 上的向量空间。

接下来，我们可以看到，只要 f 属于 ℳ(ℝ) ，则，我们就可以定义

(5) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=\lim_{N \rightarrow \infty } \int_{-N}^{N}f(x)dx$ ,

其中，现在这个极限是存在的。事实上，对于每一个 $N$ , $I_{N} =\int_{-N}^{N}f(x)dx$ 是良好定义的，因为 f 是连续函数。现在，足以证明 $\{I_{N}\}$ 是 Cauchy 序列，因为，假如 $M \geq N$ ，则可以推出，当 $N \longrightarrow \infty$ 时，

$\displaystyle \begin{array}{rl} \left | I_{M}-I_{N} \right | & \displaystyle \leq \left | \int_{N \leq |x| \leq M}^{} f(x)dx\right| \\[0.2cm] \\ & \displaystyle \leq A \int_{N \leq |x| \leq M}^{}\frac{1}{x^{2}}dx \\[0.2cm] \\ & \displaystyle \leq \frac{2A}{N} \longrightarrow 0 \end{array}$ 。

注意，我们也可以证明，当 $N \longrightarrow \infty$ 时， $\int_{|x| \geq N}^{}f(x)dx \longrightarrow 0$ 。在这一点上，我们注意到，我们可以将中速递降中定义的指数 2 用 1 + 𝜖 (𝜖 >0) 替换；即，对于所有 x∈ℝ ，有

$\displaystyle |f(x)| \leq \frac{A}{1+x^{(1+\epsilon)}}$ 。

这个定义同样契合于本章中发展的理论的目的。我们选择 𝜖 = 1只是出于方便。

我们在一个命题中总结了实数域ℝ 上积分的一些基本属性。

命题1.1 按(5)定义的中速递降函数的积分满足下面的属性：

( $i$ ) 线性属性(Linearity): 假如 f ，g ∈ ℳ(ℝ) 且 a，b ∈ ℂ ，则

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}[af(x)+bg(x)]dx=a\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx+b\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dx$ 。

( $ii$ ) 平移不变性(Translation invariance):对于每一个 h ∈ ℝ ，我们有

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x-h)dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ 。

( $iii$ ) 膨胀下的缩放(Scaling under dilations):假如 δ > 0 ，则

$\displaystyle \delta \int_{-\infty}^{\infty}f(\delta x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx$ 。

( $iv$ ) 连续性(Continuity): 假如 f ∈ ℳ(ℝ) ，则，当 h ⟶ 0 时，

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|f(x-h)-f(x)|dx \longrightarrow 0$ 。

说一下关于证明的问题。属性(i)是显而易见的。为了验证属性(ii)，只需考察当 $N \longrightarrow \infty$ 时，

$\displaystyle \int_{-N}^{N}f(x-h)dx= \int_{-N}^{N}f(x)dx \longrightarrow 0$

就足以证明，因为 $\int_{-N}^{N}f(x-h)dx= \int_{-N-h}^{N-h}f(x)dx$ 。以上的差异主要在于,

$\displaystyle \left | \int_{-N-h}^{N}f(x)dx \right |+ \left | \int_{N-h}^{N}f(x)dx \right | \leq \frac{A^{'}}{1+N^{2}}$

对于任意大的 N , 当 N 趋近于无穷的时候，上式趋近于 0 。属性(iii)的证明再次类似，我们观察到， $\delta \int_{-\infty}^{\infty}f(\delta x)dx=\int_{-\delta N}^{\delta N}f(x)dx$ 。对于属性(iv),只需取 | h| ≤ 1 即可。对于一个预分配的 𝜖 > 0 , 我们首先选取任意大的 N ，使得

$\displaystyle \int_{|x| \geq N}{}f(x)dx \leq \epsilon/4$ 且 $\displaystyle \int_{|x| \geq N}{}f(x-h)dx \leq \epsilon/4$ 。

现在，使 N 固定，我们利用这个事实——因为 f 是连续的，因此，它在区间 [-N - 1, N + 1]上是一致连续的。因此，当 h ⟶ 0 时， $\sup_{|x| \leq N} |f(x-h)-f(x)|dx \longrightarrow 0$ 。因此，我们可以选取足够小的 h ，使得这个上确界小于 𝜖/4N 。综合在一起，则

$\displaystyle \begin{array}{rl} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|f(x-h)-f(x)|dx & \leq \displaystyle \int_{-N}^{N}|f(x-h)-f(x)|dx \\[0.2cm] \\ &\displaystyle + \int_{|x| \geq N}|f(x-h)|dx + \int_{|x| \geq N}|f(x)|dx \\[0.2cm] \\ & \leq \epsilon/2 +\epsilon/4 +\epsilon/4 =\epsilon \end{array}$ ，

因此，得出结论( iv )。

1.2 Fourier变换的定义(Definition of the Fourier transform)

假如 f ∈ ℳ(ℝ)，对于 ξ∈ℝ ，我们定义 Fourier变换为

$\displaystyle \hat{f}(\xi)= \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i \xi x}dx$

显然， $|e^{-2\pi i \xi x}| = 1$ ，因此，积分是中速递降的，因此，这个积分有意义。

事实上，最后一个观察意味着， $\hat{f}$ 是有界的，此外，简单的论据证明，当 $|\xi| \longrightarrow \infty$ 时， $\hat{f}$ 是连续且趋近于 0 的(练习5)。然而，以上定义并不能确保 $\hat{f}$ 是中速递降的，或者，有一个具体的下降。特别是，在这个背景下，如何理解积分 $\int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)e^{2\pi i \xi x}d\xi$ 及其导致的逆Fourier变换公式，是不明确的。为了弥补这一点不足，我们引入了由Schwartz考虑的更精确的函数空间，它在建立Fourier变换的初始属性的过程中非常有用。选择 Schwartz 空间的动机是源于将 f 的下降与 f 的连续性和可微性联系起来(反之亦然)的重要原则： $\hat{f}(\xi)$ 随 $|\xi| \longrightarrow \infty$ 下降得越快，则 f 一定“越平滑(smoother)”。反映这个原则的一个例子在练习3中给出。我们也注意到， $\hat{f}$ 与 $f$ 之间的这种关系相似于圆周上函数的平滑性与其 Fourier 系数的下降之间的关系；参见第2章推论2.4的讨论。

1.3 Schwartz空间(The Schwartz space)

实数域 ℝ 上的Schwartz 空间由所有无限可微的函数 f 的集合构成，且函数集 f 及其导数 $f^{'} \:,f^{''}\:,\:...\:,\:f^{\ell}\: ,\: ...\: ,$ 在

$\displaystyle \sup_{x \in \mathbb{R}}|x|^{k}|f^{\ell}(x)|< \infty$ (对于每一个 k, 𝓁 ≥ 0 )

的意义上，是寁降的(rapidly decreasing)(译注：寁(zǎn))。我们用 𝒮 = 𝒮(ℝ)表示这个空间，不过，读者应当验证 𝒮(ℝ) 是复数域 ℂ 上的向量空间。此外，假如 f ∈ 𝒮(ℝ) ，我们有

$\displaystyle f^{'}(x)=\frac{dy}{dx} \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 且 $\displaystyle xf(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 。

这表达了一个重要的事实——Schwartz 空间在多项式的微分和乘法下是封闭的。

一个Schwartz 空间中函数的简单例子是由

$f(x)=e^{-x^{2}}$

所定义的 Gauss 函数。它在Fourier变换理论及其它领域(如概率论和物理学)中起着核心的作用。读者可以验证， $f$ 的导数形如 $P(x) e^{-x^{2}}$ , 其中，P(x) 是多项式，这立即证明了 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 。事实上， $e^{-ax^{2}}$ 属于 𝒮(ℝ) (只要 a > 0)。然后，我们将选取 a = π 来归一化 Gauss 函数。

--------------------------------------------图1. Gauss 函数 $e^{-\pi x^{2}}$ ----------------------------------------------

𝒮(ℝ)中其它例子的一个重要分类是“隆凸函数(bump functions)或鼓凸函数”(译注：此函数的特征为中间有隆起的部分),它们在有界区间之外消失(练习4)。

作为最后的评述，请注意，尽管 $e^{-|x|}$ 在无穷远处也是寁降的，但是它在 0 点处是不可微的，因此，不属于𝒮(ℝ)。

1.4 𝒮 上的Fourier变换(The Fourier transform on 𝒮)

一个 f ∈ 𝒮(ℝ) 的 Fourier变换定义为

$\displaystyle \hat{f}(\xi)= \int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i \xi x}dx$ 。

Fourier 变换的一些简单性质收集在以下命题中。我们使用记法

$f ( x ) \longrightarrow \hat{f}(\xi )$

来表示—— $f$ 的Fourier变换是 $\hat{f}$ 。

命题 1.2 假如 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ , 则：

( $i$ ) $f ( x + h) \longrightarrow \hat{f}(\xi) e^{2\pi ih\xi}$ (只要 h ∈ ℝ)

( $ii$ ) $f ( x ) e^{-2\pi ixh} \longrightarrow \hat{f}(\xi + h)$ (只要 h ∈ ℝ)

( $iii$ ) $f (\delta x ) \longrightarrow \delta^{-1}\hat{f}(\delta^{-1}\xi )$ (只要 h ∈ ℝ)

( $iv$ ) $f^{'}(x) \longrightarrow 2\pi i \xi \hat{f}(\xi)$

$(v)$ $\displaystyle -2\pi i xf(x) \longrightarrow \frac{d}{d\xi}\hat{f}(\xi)$ 。

特别是，除却 2πi 因子，Fourier变换按 x 交换微分和乘法。这是使得Fourier变换成为微分方程理论中核心对象的关键属性。我们后面会回到这一主题。

证明：

属性( i )是积分平移不变性的直接结果，属性( ii )可以从定义推出。此外，命题1.1 的第三个属性确立了属性( iii )。

由分部积分给出

$\displaystyle \int_{-N}^{N}f^{'}(x)e^{-2\pi i\xi x}dx=\left [ f(x))e^{-2\pi i\xi x }\right ]_{-N}^{N}+2\pi i \xi \int_{-N}^{N}f(x)e^{-2\pi i\xi x }dx$ ，

因此，令 N 趋近于无穷即给出 ( iv )。

最后，证明属性 ( v ) ，我们必须证明， $\hat{f}$ 是可微的，并求得其导数。令 𝜖 > 0 并考虑

$\displaystyle \frac{\hat{f}(\xi+h)-\hat{f}(\xi)}{h}-\widehat{(-2\pi ixf)}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi i \xi x}\left [\frac{e^{-2\pi ixh}-1}{h} +2\pi ix\right ]dx$ 。

因为 $f ( x )$ 和 $x f ( x )$ 是寁降的，所以存在一个整数 N ，使得 $\int_{|x| \geq N}^{}|f(x)|dx \leq \epsilon$ 且 $\int_{|x| \geq N}^{}|x|\:|f(x)|dx \leq \epsilon$ 。此外，对于 $| x | \leq N$ ，存在 $|h| < h_{0}$ ，使其意味着

$\displaystyle \left [\frac{e^{-2\pi ixh}-1}{h} +2\pi ix\right ] \leq \frac{\xi}{N}$ ，

因此，对于 $|h| < h_{0}$ ，我们有

$\begin{array}{rl}\displaystyle \left | \frac{\hat{f}(\xi+h)-\hat{f}(\xi)}{h}-\widehat{(-2\pi ixf)}(\xi) \right | & \displaystyle \leq \int_{-N}^{N}\left | f(x)e^{-2\pi i \xi x}\left [\frac{e^{-2\pi ixh}-1}{h} +2\pi ix\right ] \right | dx + C\epsilon \\ & \leq C^{'}\epsilon \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \circ \end{array}$ 定理 1.3 假如 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ , 则 $\hat{f} \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 。

该证明是对 Fourier 变换互换微分和乘法这一事实的简单应用。事实上，请注意到，假如 f ∈ 𝒮(ℝ) ，其Fourier变换 $\hat{f}$ 必定是有界的；此外，对于每一对非负整数 𝓁 和 k ，表达式

$\displaystyle \xi^{k} (\frac{d}{d\xi})^{\ell}\hat{f}(\xi)$

是有界的，因为，根据最后一个命题，它是

$\displaystyle \frac{1}{(2\pi i)^{k}}(\frac{d}{dx})^{k}[(-2\pi ix)^{\ell}f(x)]$

的Fourier变换。

逆Fourier变换公式

$\displaystyle f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi x}d\xi$ ( 对 f ∈ 𝒮(ℝ) )

的证明，我们将在下一节中给出，是基于对函数 $e^{-ax^{2}}$ 的存细研究之上，正好我们已经考察过一样，当 a > 0时，它属于 𝒮(ℝ) 。

1.4.1 Gauss函数作为好核(The Gaussians as good kernels)

我们以考察 a = π 这种情况开始，其归一化形式为：

(6) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^{2}}dx=1$

为了理解为什么 (6) 式能成立，我们使用指数函数的乘法属性将积分简化为二维积分。更准确地说，我们可以按如下方式论证：

$\begin{array}{rl} \displaystyle \left ( \int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^{2}}dx \right )^{2}&\displaystyle =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{{-\pi}(x^{2}+y^{2})}dxdy \\ \\[0.2cm] &\displaystyle =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty}e^{-\pi r^{2}}rdrd\theta \\[0.2cm] \\ &\displaystyle =\int_{0}^{\infty}2\pi re^{-\pi r^{2}}dr \\[0.2cm] \\ &\displaystyle = \left [ -e^{-\pi r^{2}} \right ]_{0}^{\infty} \\[0.2cm] \\ &\displaystyle =1 \: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\circ \end{array}$

其中，我们使用了极坐标来计算二维积分。

Gauss函数的基本属性是我们的兴趣点，事实上，从(6)可以推出， $e^{-\pi x^{2}}$ 等于其Fourier变换。我们将这个重要的结果分离形成一个单独的定理。

定理1.4 假如 $f (x) = e^{-\pi x^{2}}$ ，则 $\hat{f}(\xi)=f(\xi)$ 。

证明：

定义

$\displaystyle F(\xi)=\hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\pi x^{2}}e^{-2\pi i\xi x}dx$ ，

并观察到，根据我们前面的计算， $F( 0 ) = 1$ 。事实上，根据命题 1.2 中的属性(v)， $f^{'}( x ) = -2\pi x f (x)$ ，我们获得

$\displaystyle F^{'}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)(-2\pi i x)e^{-2\pi i\xi x}dx=i\int_{-\infty}^{\infty}f^{'}(x)e^{-2\pi i\xi x}dx$ 。

根据以上同一命题的属性(iv) , 我们求得

$F^{'} (\xi) = i (2\pi i\xi)\hat{f}(\xi) = -2\pi\xi F( \xi )$ 。

假如我们定义 $G( \xi) = F(\xi ) e^{-\pi\xi^{2}}$ , 则从以上所见，可以推断出， $G^{'}(\xi) = 0$ , 因此，G 是一个常量。因为 F ( 0 ) = 1 ，我们断定出 G 恒等于 1，因此，正如证明所示， $F(\xi) = e^{-\pi \xi^{2}}$ 。

Fourier变换在扩张下的缩放特性产生了以下重要的变换定律，它来自命题 1.2 中的 (iii)(只是 δ 替换为 $\delta^{-1/2}$ ) 。

推论1.5 假如 $\delta > 0$ 且 $K_{\delta}(x)=\delta^{(-1/2)}e^{(-\pi x^{2}/\delta)}$ , 则 $\widehat{K_{\delta}(\xi)}=e^{(-\pi\delta\xi^{2})}$ 。

我们停下来，先做一个重要的观察。当 δ 趋近于0时，函数 $K_{\delta}(x)$ 在原点达峰值，而其 Fourier 变换 $\widehat{K}_{\delta}$ 获得遍平状(flatter)。因此，在这个特别的例子中，我们看到 $K_{\delta}$ 与 $\widehat{K}_{\delta}$

不能同时在原点局部化(localized)(即，聚焦(concentrated)))。这是一个泛化现象的例子，称为Heisenberg不确定原理(Heisenberg uncertainty principle),奖在本章末尾讨论。现在，我们以第2章中考虑的圆周上的好核族作为类比，基于实数轴构建一族好核族。事实上，关于

$\displaystyle K_{\delta}(x)=\delta^{(-1/2)}e^{(-\pi x^{2}/\delta)}$ ，

我们有：

( $i$ ) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}K_{\delta}(x)dx=1$ 。

( $ii$ ) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left | K_{\delta}(x) \right | dx \leq M$ 。

( $iii$ ) 对于每一个 η > 0 ,我们有 $\displaystyle \int_{|x|>\eta}^{}\left | K_{\delta}(x) \right | dx \longrightarrow 0$ ( 当 δ ⟶ 0 时) 。

为了证明(i),我们改变变量并利用(6)，或者注意到，根据推率1.5，此积分等于 $\widehat{K_{\delta}(0)}$ 。

因此， $K_{\delta} \geq 0$ ，很显然，属性 (ii) 也是成立的。最后，我们再次改变变量，得到

$\displaystyle \int_{|x|>\eta}^{}\left | K_{\delta}(x) \right | dx=\int_{|y|>\eta /\delta(1/2)}^{}e^{-\pi y^{2}}dy \longrightarrow 0$ (当 δ⟶ 0 时) 。

因此，我们已经证明了下面的结论。

定理1.6 集合 $\{K_{\delta}\}_{\delta>0}$ 是一个好核族 (当 δ⟶ 0 时)

接下来，我们经由卷积运算应用这些好核族。假如，f，g ∈ 𝒮(ℝ) ,则它们的卷积义为

( 7 ) $( f * g )( x ) =\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)g(t)dt$ 。

对于 x 的固定值，函数 f ( x - t)g( t )是按 t寁降的。因此，积分收敛。

按照第2章第4节的论据(稍加修改)，我们得到下面的推论。

推论 1.7 假如 f ∈ 𝒮(ℝ)，则

$( f * K_{\delta} )( x ) \longrightarrow f ( x )$ ( 当 δ ⟶ 0 时, 按 x 一致性地)。

证明：

首先，我们声明， f 在ℝ上是一致连续的。事实上，任给一个 𝜖 > 0 ,存在一个 R > 0 ，使得，只要| x |≥R ，就有| f ( x )|< 𝜖 。此外，f 是连续的，因此，因此在压缩区间[-R, R]上一致连续。结合前面的观察，我们可以找到一个 η > 0 ，使得只要 | x - y |< η ，便有 | f ( x ) - f ( y ) | < 𝜖/4 。现在，我们像通常一样论证。使用好核的第一个属性，我们可以写成

$\displaystyle ( f * K_{\delta} )( x ) - f ( x ) = \int_{-\infty}^{\infty}K_{\delta}(t)\left | f(x-t)-f(x) \right |dt$ ，

且因为 $K_{\delta} \geq 0$ ，我们求得

$\displaystyle \left | ( f * K_{\delta} )( x ) - f ( x ) \right | \leq \int_{|t|>\eta}+\int_{|t|\leq \eta}K_{\delta}(t) \left | f(x-t)-f(x)\right |dt$ 。

根据好核第三属性，第一个积分很小，事实上，f 是有界的，而第二个积分也很小，因为 f 是一致连续的且 $\int K_{\delta} = 1$ 。这就推出了引理。

1.5 逆Fourier变换(The Fourier inversion)

这下一个结论是一个恒等式，有时候称为乘法公式。

命题 1.8 假如 $f , g \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ , 则

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\hat{g}(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(y)g(y)dy$ 。

为了证明这个命题，我们需要离题简短地讨论一下针对双重积分的次序调换。假如 $F(x,y)$
是平面 $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ 上的连续函数。我们将假设施加于 F 的如下下降条件：

$\displaystyle|F(x,y)| \leq \frac{A}{(1+x^{2})(1+y^{2})}$ 。

则，我们可以指出，对于每一个固定的 x，函数 F(x,y) 以 y 中带递降，类似地，对于每一个固定的 y ，函数 F(x,y) 以 x 中带递降。此外，函数 $F_{1}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(x,y)dy$ 是连续且递降的；类似地， $F_{2}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}F(x,y)dx$ 亦如此。最后，

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} F_{1}(x)dy = \int_{-\infty}^{\infty}F_{2}(y)dx$ 。

这些事实的证明可以在附录中找到。

现在，我们应用这个事实到 $F(x,y) = f (x) g(y) e^{-2\pi ixy}$ 。则， $F_{1}(x)=f(x)\hat{g}(x)$ 和 $F_{2}(x)=\hat{f}(y)g(y)$ ，因此

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\hat{g}(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(y)g(y)dy$ ,

这正是命题的论断。

乘法公式和 Gauss 函数的Fourier变换是其自身的事实，引导了第一主要定理的证明。

定理1.9 (逆Fourier变换) 假如 f ∈ 𝒮(ℝ)，则

$\displaystyle f(x)= \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i x\xi}d\xi$ 。

证明：

我们首先声明

$\displaystyle f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)d\xi$ 。

令 $\displaystyle G_{\delta}(x)=e^{(-\pi \delta x^{2})}$ 使得 $\displaystyle \widehat{G_{\delta}(\xi)}=K_{\delta}(\xi)$ 。根据乘法公式我们获得

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(x)K_{\delta}(x)dx= \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)G_{\delta}(\xi)d\xi$ 。

因为 $K_{\delta}$ 是一个好核，因此，第一个积分当 δ 趋近于 0 时去到 f (0)。因为第二个积分当 δ 趋近于 0 时，很显然收敛于 $\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)d\xi$ , 声明得证。一般地，令 $F(y) = f (y + x)$ 使得

$\displaystyle f (x) = F(0) = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{F}(\xi)d\xi = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi x}d\xi$ 。

正如定理 1.9 的名称所表明的那样，它提供了一个公式，可以逆向 Fourier 变换；事实上，我们看到，Fourier 变换除却 x 到 –x 的变化，是其自身的逆变换。更确切地说，我们可以定义两个映射： $\mathcal{F}: \mathcal{S}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 和 $F^{*} :\mathcal{S}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 分别为如下形式

$\displaystyle \mathcal{F}(f)(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{2\pi i\xi x}dx$ 和 $\displaystyle \mathcal{F}^{*}(g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}g(\xi)e^{2\pi i\xi x}d\xi$ 。

因此，是 ℱ Fourier 变换，定理 1.9 确保在 𝒮(ℝ)上 $F^{*} \circ \mathcal{F} = I$ , 其中， $I$ 是恒等映射(译注：符号“○”表示复合函数)。此外，由于 ℱ 与 $\mathcal{F}^{*}$ 的定义差异仅在于指数中的符号，我们发现 $\mathcal{F}( f )( y) = F^{*}( f )( -y )$ , 因此，我们也有 $\mathcal{F} \circ F^{*}= I$ 。作为结论，我们推断出 $\mathcal{F}^{*}$ 是 𝒮(ℝ)上Fourier变换的逆向变换，因此我们有下面的结论。

推论 1.10 Schwarts 空间上的 Fourier 变换是一个双向的映射(bijective)。

1.6 Plancherel公式(The Plancherel formula)

关于Schwartz函数卷积，我们需要稍微深入一点的结论。关键事实在于，Fourier变换交换卷积与逐点乘积。这是一个可类比于针对Fourier级数的情景。

命题1.11 假如 f , g∈ 𝒮(ℝ), 则

( $i$ ) $f * g \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 。

( $ii$ ) $f * g = g * f$ 。

( $iii$ ) $\widehat{f*g}(\xi)=\hat{f}(\xi)*\hat{g}(\xi)$ 。

证明：

为了证明 f * g 是寁降的，首先观察到，对于任意 𝓁 ≥ 0 ，我们有 $\displaystyle \sup_{x}\left |x^{\ell}(f*g)(x) \right | \leq A_{\ell}\int_{-\infty}^{\infty}|f(y)|(1+|y|)^{\ell}dy$ ，

使得对于每一个 $\ell \geq 0$ ， $x^{\ell}(f*g)(x)$ 是有界函数。这种估算结转(carry over)到卷积 $f * g$ 的转数，从而(thereby)证明了 $f * g \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 。因为

$\displaystyle \left ( \frac{d}{dx} \right )^{k}(f*g)(x)=\left (f * \left ( \frac{d}{dx} \right )^{k}g \right )(x)$ (对 k = 1,2,....) 。

首先，对于 k = 1 这种情况，在 f * g 的定义之下对其进行微分即可证明恒等式。在这种情况下，通过 dg/dx 的寁降可证微分和积分的交换的合理性。然后，对于每一个k , 根据迭代性，可以推出恒等式。

对于固定的 $x$ ，变量 $x - y = u$ 的替换证明

$\displaystyle (f*g)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x-u)g(u)du=(g*f)(x)$ 。

这个变量替换是两个变量替换的组合，y ⟼ – y 和 y ⟼ y – h (且 h = x )。对于第一个变量替换，我们使用这个观察结果，即，对任意 Schwartz 函数 F， $\int_{-\infty}^{\infty}F(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}F(-x)dx$ ；对于第二个变量替换，应用命题 1.1 的第 (ii) 项即可。

最后，考虑 $F(x , y) = f (y) g(x - y) e^{-2\pi i\xi x}$ 。因为 f 和 g 是寁降的，分别考虑 | x | ≤ 2| y | 和 | x | ≥ 2| y | 这两种情况,我们看到，命题 1.8 之后关于积分次序变化的讨论适用于 F 。在这种情况下， $F_{1}( x ) = ( f * g )(x) e^{-2\pi i \xi x}$ 和 $F_{2}( y ) = ( f )(y) e^{-2\pi i \xi y}\hat{g}(\xi)$ 。因此， $\int_{-\infty}^{\infty}F_{1}(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}F_{2}(y)dy$ , 这就意味着(iii),因此，命题得证。

现在，我们使用 Schwartz 函数卷积属性来证明本节的主要结论。我们想到的结论是 ℝ 上 Parseval 恒等式对 Fourier 级数的函数模拟(analogue)。

Schwartz 空间可以使用 Hermit 内积

$\displaystyle (x,y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\overline{g(x)}dx$

来配备，与内积关联的范数(norm)(译注：“norm”本意指“木工为了获得直角而使用的带直角的工具”，这样做是为了达到某种实用的标准，或者模式。此处的“范数”，即“规范数”的简称，实为度量长度、大小等的概念)为

$\displaystyle \left \|f \right \|=\left ( \int_{-\infty}^{\infty} \left | f(x)^{2} \right |dx \right )^{1/2}$ 。

理论中第二个主要定理指出，Fourier变换是 𝒮(ℝ) 上的单式变换(unitary transformation)。

定理1.12(Plancherel 定理) 假如 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ , 则 $|| \hat{f} ||=\left \| f \right \|$ 。

证明：

假如 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ ，定义 $f^{b}(x)=\overline{f(-x)}$ 。则 $\widehat{f^{b}}(\xi)=\overline{\hat{f}(\xi)}$ 。现在，令 $h = f * f^{b }$ 。很显然，我们有

$\hat{h}(\xi)= |\hat{f}(\xi)|^{2}$ 和 $h(0)=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^{2}dx$ 。

现在，这个定理可以从应用逆向公式并令 x = 0 推出，即

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\hat{h}(\xi)d\xi = h(x)$ 。

1.7 (几个结论)向中速递降函数的扩展(Extension to functions of moderate decrease)

在前面的章节中，我们将Fourier变换和Plancherel公式限定于函数归属于Schwartz空间的这种情况。一旦我们做出附加的假设，即考虑之下的函数的Fourier变换也是中速递降的，则将这些结果扩展到中速递降函数只是水到渠成的事。事实上，关键的观察，即两个中速递降的函数 f 和 g 的卷积 f * g 也是一个中速递降函数(练习7)，这很容易获证；另有 $\widehat{f*g}=\hat{f} \cdot \hat{g}$ 。此外，乘法公式对中速递降函数依然成立，由此，我们推断出当 f 和 g 均是中速递降函数的时候的逆Fourier变换公式和Plancherel公式。

这种公式的泛化，虽然在适用范围上趋于保守，但在某些场景下还是挺有用的。

1.8 Weierstrass[váiəʃtrà:s]逼近定理(The Weierstrass approximation theorem)

现在，我们暂且离题，通过进一步地探调我们的好核来证明Weierstrass定理。这个结论我们曾经在第2章中略有提及。

定理1.13 令 f 为闭合且有界区间 [a,b]⊂ℝ 上的连续函数。则，对于任意 𝜖 > 0 ，都存在一个多项式 P 使得

$\displaystyle \sup_{x \in[a,b]}|f(x)-P(x)| < \epsilon$ 。

换句话说，f 可由多项式 P 一致地逼近。

证明：

令 [-M,M ] 表示在其内部包含闭区间[a,b]的任意闭区间，并令 g 为实数域 ℝ 上的连续函数，且其值在闭区间 [-M,M ]之外等于0，而在[a,b]之内等于 f 。例如，如下扩展 f ：通过从 f (b) 到 0 的直线段定义从 b 到 M，且通过从 f (a) 到 0 的直线段定义从 a 到 – M 的函数 g 。令 B 为 g 的边界，即，对于所有的 x，有| g(x)|≤ B 。则，因为 $\{K_{\delta} \}$ 是一个好核族，g 是连续且具备紧致支持的(compact support)，我们可以像推论1.7 的证明那样论证，可以看到，当 δ 趋近于无穷大时， $g * K_{\delta}$ 一致收敛于 g 。事实上，我们选取 $\delta_{0}$ 使得对于所有的 x∈ℝ ，有

$\displaystyle |g(x)-(g*K_{\delta_{0}})(x)|< \epsilon/2$ 。

现在，我们记得通过幂级数扩展 $e^{x}=\sum_{x=0}^{\infty}x^{n}/n!$ 给出的 $e^{x}$ ，此级数在 ℝ 的每一个紧致区间上都是一致收敛的。因此，存在一个 N 使得

$\displaystyle |K_{\delta_{0}}-R(x)|\leq \frac{\epsilon}{4MB}$ ( 对于所有 $x \in [-M,M]$ )，

其中， $R(x)=\delta_{0}^{(-1/2)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\pi x^{2}/\delta_{0})^{n}}{n!}$ 。我们记得，g 消失于闭区间 [-M,M] 之外，则，对于所有 x ∈ [-M,M ]，我们有

$\begin{array} {rl} \left | (g*K_{\delta_{0}})(x)-(g*R)(x) \right | & \displaystyle = \left | \int_{-M}^{M}g(t) \left [K_{\delta_{0}}(x-t) -R(x-t) \right ]dt \right | \\[0.2cm] \\ &\displaystyle \leq \left | \int_{-M}^{M}\left | g(t) \right| \left | \left [K_{\delta_{0}}(x-t) -R(x-t) \right ] \right |dt \right | \\[0.2cm] \\ &\displaystyle \leq 2MB \sup_{z \in [-2M,2M]} \left | K_{\delta_0}(z)-R(Z)\right | \\[0.2cm] \\ &<\epsilon/2 \:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \:\: \circ \end{array}$

因此，这个三角不等式意味着，只要 x ∈ [-M , M ] ，就有 $|g( x) - (g * R)( x)| < \epsilon /2$ ，因此，当 x ∈ [a, b] 时， $| f ( x) - (g * R)( x) | < \epsilon$ 。

最后，注意，g * R 是一个以 x 作为自变量的多项式。事实上，根据定义， $(g*R)(x)=\int_{-M}^{M}g(t)R(x-t)dt$ ，且 R ( x –t ) 以 x 作为自变量的多项式，因为，它在几次扩展之后，可以表达为 $R(x-t)=\sum_{n}a_{n}(t)x^{n}$ ，其中，其具有有限和。这样就推出了定理的证明。

2. 一些偏微分方程的应用(Applications to some partial differential equations)

我们之前提到过，Fourier变换的一个重要特性是它可以通过多项式交换微分和乘法。我们现在将这个关键事实与逆Fourier变换定理一起用于求解一些特定的偏微分方程。

2.1 实数轴上的时变热传导方程(The time-dependent heat equation on the real line)

在第4章中，我们考虑了圆周上的热传导方程。在这里，我们研究实数轴上的类似问题。

考虑一根无限长的杆，我们将其作为实数轴模型。并假设给到我们一个杆上位于 t = 0 时刻的初始温度分布函数 f (x)。现在，我们想确定位于点 x 处且时间 t > 0 的温度 u ( x ,t )。类似于第1章中给出的考量证明，当合适地归一化 u 的时候，它可以解下面的微分方程

(8) $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ ,

此方程称为热传导方程(heat equation)。我们施加的初始条件是 $u(x ,0) = f(x)$ 。

正如圆周上的情况一下，这个解是以卷积的形式给出的。事实上，按

$\displaystyle \mathcal{H}_{t}=\frac{1}{(4\pi t)^{(1/2)}}$ 且 $\displaystyle \hat{\mathcal{H}_{t}}(\xi)=e^{-4\pi^{2}t\xi^{2}}$

对方程(8)按 x 变量(通常)进行Fourier变换导出

$\displaystyle \frac{\partial \hat{u}}{\partial t}(\xi,t)=-4\pi^{2}\xi^{2}\hat{u}(\xi,t)$ 。

固定 ξ , 则这是一个以 t 为自变量的普通微分方程(且未知 $\hat{u}(\xi,\cdot)$ , 因此，存在一个常量 A( ξ ),使得

$\displaystyle \hat{u}(\xi,t)=A(\xi)e^{-4\pi^{2}t \xi^{2}}$ 。

我们也可以取初始条件的Fourier变换，并求得 $\hat{u}(\xi,0)=f(\xi)$ , 因此， $A(\xi)=\hat{f}(\xi)$ 。这就导出了下面的定理。

定理 2.1 假如(given) f ∈ 𝒮(ℝ),令

$u(x ,t) = ( f * \mathcal{H}_{t})(x) ( t > 0 )$ ，

其中， $\mathcal{H}_{t}$ 是热传导核。则：

( $i$ ) 当 x ∈ ℝ 且 t > 0 时，函数 u 是 $C^{2}$ ，且作为热传导方程的解。

( $ii$ ) 当 t ⟶ 0 时, u(x ,t) ⟶ f (x)(按 x 一致地)，因此，假如我们设 u(x ,0) = f (x)，则 u 在上半平面 $\overline{R_{+}^{2}}=\{( x ,t): x \in \mathbb{R}, t \geq 0 \}$ 的闭包(closure)上是连续的。

( $iii$ ) 当 t ⟶ 0 时, $\int_{-\infty}^{\infty}|u(x,t)-f(x)|^{2}dx \longrightarrow 0$ 。

证明：

因为 $u = f * \mathcal{H}_{t }$ , 以 x 为自变量进行Fourier变换，得到 $\hat{u}=\hat{f} \: \hat{\mathcal{H}_{t}}$ , 因此， $\displaystyle \hat{u}(\xi,t)=\hat{f}(\xi)e^{(-4\pi^{2} \xi^{2}t)}$ 。逆Fourier变换公式给出

$\displaystyle u(x ,t) = \int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{(-4\pi^{2} \xi^{2}t)}e^{(2\pi ix\xi)}d\xi$ 。

按照积分符号下的微分，读者可验证(i) 。事实上，读者可观察到，u 是无限可微的。注意，(ii)是推论 1.7 的直接结论，最后，根据 Plancherel 公式，我们有

$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left |u(x,t)-f(x) \right |^{2}dx &= \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}\left |\hat{u}(\xi,t)-\hat{f}(\xi) \right |^{2}d\xi \\[0.2cm]\\ &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\xi)|^{2}|e^{(-4\pi^{2}t\xi^{2})}-1|d\xi \end{array}$ 。

为了理解当 t ⟶ 0 时最后一个积分趋近于 0 ，我们按如下论证：

因为 $\left |e^{(-4\pi^{2}t\xi^{2})}-1 \right | \leq 2$ 且 f ∈ 𝒮(ℝ)，我们可以找到一个 N 使得

$\displaystyle \int_{|\xi| \geq N} \left |\hat{f}(\xi) \right |^{2}\left |e^{(-4\pi^{2}t\xi^{2})}-1 \right |d\xi < \epsilon$ ，

且对于任意小的 t ，因为 $\hat{f}$ 有界，我们有 $\displaystyle \sup_{|\xi| \leq N} \left |\hat{f}(\xi) \right |^{2}\left |e^{(-4\pi^{2}t\xi^{2})}-1 \right |d\xi \leq \epsilon/(2N)$ 。

因此，对于任意小的 t ， $\displaystyle \int_{|\xi| \leq N} \left |\hat{f}(\xi) \right |^{2}\left |e^{(-4\pi^{2}t\xi^{2})}-1 \right |d\xi < \epsilon$ 。这就完成了对定理的证明。

以上定理确保了具有初始数据 f 的热传导方程的解的存在。假如唯一性被恰当地归一化，则这个解也是唯一的。在这方面，我们注意到， $u = f * \mathcal{H}_t , f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ 满足下面的附加属性。

推论 2.2 函数 $u (\cdot , t )$ 在对于任意 T > 0 ，

(9) $\displaystyle \sup_{ \begin{array}{cl}x\in \mathbb{R} \\0 <t<T \end{array}} \left | x \right |^{k}\left |\frac{\partial^{\ell}}{\partial x^{\ell}} u(x,t)\right |<\infty$ ( 对于每一个k ，𝓁 ≥ 0)

的意义上，按 t 一致性地归属于 𝒮(ℝ) 。

证明：

这个结论是按如下过程估算的结果：

$\begin{array}{rl}|u(x,t)| & \leq \int_{|y|\leq |x|/2}|f(x-y)|\mathcal{H}_{t}(y)dy+ \int_{|y|\geq |x|/2}|f(x-y)|\mathcal{H}_{t}(y)dy \\[0.2cm] \\ &= \frac{C_{N}}{(1+|x|)^{N}}+\frac{C}{\sqrt{t}}e^{(-cx^{2})/t} \end{array}$ 。

事实上，因为 f 是寁降的，当 | y|≤ | x|/2 时，我们有 $|f(x-y)| \leq \frac{C_{N}}{(1+|x|)^{N}}$ 。此外，假如 $| y| \geq |x|/2$ , 则 $\mathcal{H}_{t}(y) \leq \frac{C}{\sqrt{t}}e^{(-cx^{2})/t}$ ，我们获得了以上的不等式。因此，我们发现，当 0 < t < T 时，u (x , t )是一致寁降的。

同样的结论也可以按 x 变量适用于 u 的导数，因为我们可以在积分符号下微分，并用 f ‘ 替换 f 并应用上面的估算结论，等等。

以上结论导出了下面的唯一性定理。

定理 2.3 假如 u (x , t)满足下面的条件：

(i) u 在上半平面的闭包中是连续的。

(ii) u 满足 t > 0 的热传导方程。

(iii) u 满足边界条件 u (x , 0) = 0 。

(iv) u 满足边界条件 u (x , 0) = 0 。

u (. ,t ) ∈ 𝒮(ℝ) 是按 t 一致性的，犹如在(9)中的情况一样。

则，我们推出 u = 0 。

以下，我们使用缩略形式 $\partial_{x}^{\ell}$ 和 $\partial_{t}^{u}$ 分别表示 $\partial^{\ell}u/\partial x^{\ell}$ 和 $\partial u / \partial t$ 。

证明：

我们将方程解 u (x , t ) 在时刻 t 的能量定义为

$\displaystyle E(t)=\int_{\mathbb{R}}|u(x,t)|^{2}dx$ 。

显然，E ( t ) ≥ 0 。因为 E ( t ) = 0 就足以证明 u 是一个递降函数，并且是通过证明 dE /dt ≤ 0 来完成的。这种施加于 u 上的假设允许我们在积分符号下微分 E ( t )，即，

$\displaystyle \frac{dE}{dt}=\int_{R}\left [\partial_{t}u(x,t)\overline{u}(x,t) +u(x,t)\partial_{t}\overline{u}(x,t) \right ]dx$ 。

但 u 满足热传导方程，因此， $\partial_{t}u=\partial_{x}^{2}u$ 且 $\partial_{t}\overline{u}=\partial_{x}^{2}\overline{u}$ ,于是，在分部积分之后(其中，我们使用了这个事实—— u 及其以 x 为自变量的导数随着 |x|⟶ ∞ 而寁降)，我们求得

$\begin{array}{rl}\displaystyle \frac{dE}{dt}&\displaystyle =\int_{\mathbb{R}}\left [\partial_{x}^{2}u(x,t)\overline{u}(x,t) +u(x,t)\partial_{x}^{2}\overline{u}(x,t) \right ]dx \\[0.2mm] \\ &\displaystyle =-\int_{\mathbb{R}}\left [\partial_{x}u(x,t)\partial_{x}\overline{u}(x,t) +\partial_{x}u(x,t)\partial_{x}\overline{u}(x,t)\right ]dx \\[0.2cm] \\ &=-2\int_{\mathbb{R}}|\partial_{x}(x,t)|^{2}dx \\[0.2cm] \\ &\leq 0 , \end{array}$

正如所声明的那样。因为，对于所有的 t 有 E (t) = 0 ，因此 u = 0 。

另一个热传导方程的唯一性定理(比(9)具有更少的限制性假设)可见问题 6。唯一性不成立的例子可见练习12和问题4。

2.2 在上半平面上的稳态热传导方程(The steady-state heat equation in the upper half-plane)

我们现在关注的是位于上半平面 $\mathbb{R}_{+}^{2}=\{ (x,y):x \in \mathbb{R},y>0 \}$ 中的方程

(10) $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}=0$ 。

我们所要求的边界条件是 u ( x ,0) = f ( x )。运算符号 Δ 是 Laplace 算子，且以上偏微分方程方程表述了 $\mathbb{R}_{+}^{2}$ 面上受边界条件 u = f 约束的稳态热传导方程。对于上半平面而言，解这个问题的核称为Poisson 核，且由下式给出

$\displaystyle \mathcal{P}_{y}(x)=\frac{1}{\pi}\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$ (其中，x ∈ ℝ 且 y > 0) 。

这与在第2章的第5.4节中讨论的圆盘的Poisson核类似。

注意，对于每一个固定的 y ，Poisson核 $\mathcal{P}_{y}$ 作为 x 的函数仅仅是中速递降的，因此，我们将使用适用于这些类型的函数的Fourier变换理论(见1.7见)。我们按照在时变热传导方程中的情况一样推进，通过按 x 变量对等式(10)(按常规)进行Fourier变换，从而获得

$\displaystyle -4\pi^{2}\xi^{2}\hat{u}(\xi,y)+\frac{\partial^{2}\hat{u}}{\partial y^{2}}(\xi,y)=0$ ，

其具有边界条件， $\hat{u}(\xi,0)=\hat{f}(\xi)$ 。这个以 y 为自变量(固定 ξ )的常微分方程的通解采用形式

$\hat{u}(\xi,y)=A(\xi)e^{-2\pi |\xi|y}+B(\xi)e^{2\pi |\xi|y}$ 。

假如我们忽略第二项(因为其寁降性)，在设置 y = 0 之后，我们求得

$\hat{u}(\xi,y)=\hat{f}(\xi)e^{-2\pi |\xi|y}$ 。

因此，按 f 与 Fourier 变换为 $e^{-2\pi |\xi|y}$ 的核的卷积给出 u。这正是上面给出的 Poisson核，正如下面所证明的那样。

引理 2.4 下面两个恒等式成立：

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi |\xi|y}e^{2\pi i\xi x}d\xi=\mathcal{P}_{y}(x)$ ,

$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{P}_{y}(x)e^{-2\pi i\xi x}dx=e^{-2\pi |\xi|y}$ 。

第一个公式非常直接，因为我们可以将积分拆分为从-∞到 0，和从 0 到 ∞ 两部分。则，因为 y > 0 ，我们有

$\begin{array}{rl}\displaystyle \int_{0}^{\infty}e^{-2\pi \xi y}e^{2\pi i\xi x}d\xi &\displaystyle = \left [ \frac{e^{2\pi i(x+iy)\xi}}{2\pi i(x+iy)} \right ]_{0}^{\infty} \\[0.2cm] \\ &\displaystyle=-\frac{1}{2 \pi i(x+iy)} \end{array}$ ，

类似地，有

$\displaystyle \int_{-\infty}^{0}e^{-2\pi \xi y}e^{2\pi i\xi x}d\xi = \frac{1}{2\pi i(x-iy)}$ 。

因此，

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-2\pi |\xi|y}e^{2\pi i\xi x}d\xi= \frac{1}{2\pi i(x-iy)}- \frac{1}{2\pi i(x+iy)}=\frac{y}{\pi (x^{2}+y^{2})}$ 。

现在，第二个公式是逆Fourier 变换定理应用于 $f$ 和 $\hat{f}$ 都是中速递降的这种情况的结果。

引理 2.5 当 y ⟶ 0 时，Poisson核在实数域 ℝ 上是好核。

证明：

在引理的第二个公式中设 ξ = 0，则表明 $\int_{-\infty}^{\infty}\mathcal{P}_{y}(x)dx=1$ ，并且，显然 ${P}_{y}(x) \geq 0$ ，因此，余下验证好核的最后一个属性。给定一个固定的 δ > 0，我们可以做变量替换 u = x/y 使得

$\displaystyle \int_{\delta}^{\infty}\frac{y}{x^{2}+y^{2}}dx=\int_{\delta/y}^{\infty}\frac{du}{1+u^{2}}=\left [\arctan(u) \right ]_{\delta/y}^{\infty}=\frac{\pi}{2}-\arctan(\delta/y)$ ，

当 y ⟶ 0 时，这个量去到 0 。因为 $\mathcal{P}_{y}(x)$ 是一个偶函数，证明完结。

下面的定理确保了我们问题的解的存在性。

定理 2.6 假如 $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ , 令 $u(x ,t) = ( f * \mathcal{P}_y)(x)$ 。则：

(i) $u(x ,y)$ 在上半平面 $\mathbb{R}_{+}^{2}$ 上是 $C^{2}$ 且 $\Delta u = 0$ 。

(ii) 当 y ⟶ 0 时，u(x ,y) ⟶ f ( x ) 是一致性地 。

(iii) 当 y ⟶ 0 时， $\int_{-\infty}^{\infty}|u(x,y)-f(x)|^{2}dx \longrightarrow 0$ 。

(iv) 假如 u(x ,0) = f ( x )，则 u 在上半平面的 $\overline{\mathbb{R}_{+}^{2}}$ 闭包中是连续的，且在

u(x ,y) ⟶ 0 (当 | x | + y ⟶ ∞时)

的意义上消失于无穷远处。

证明：

(i), (ii)，和 (iii) 部分的证明与热传导方程的证明类似，留予读者去完成。对于(iv)部分，只要 f 是中速递降的，则其就是两个简单估算的结果。首先，下面的不等式

$\displaystyle |( f * \mathcal{P}_{y})(x)| \leq C \left (\frac{1}{1+x^{2}} + \frac{y}{x^{2}+y^{2}} \right )$

可按这样的方式证明(与热传导方程的情况一样)——将积分 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x-t)\mathcal{P}_{y}(t)dt$ 拆分成 | t | ≤ | x |/2 和 | t | ≥ | x |/2 两部分。因此，由于

$\sup_{x}\mathcal{P}_{y}(x) \leq c/y$ ，我们有 $|( f * \mathcal{P}_y)(x)| \leq C/y$ 。

当| x| ≥ | y |时，使用第一个估算，而当 | x| ≤ | y |时，使用第二个估算，这样就给到了无穷远处期望的递降。

下面证明这个解在本质上是唯一的。

定理 2.7 假如 u 在上半平面的 $\mathbb{R}_{+}^{2}$ 闭包中是连续的，且满足，对于 $(x,y) \in \mathbb{R}_{+}^{2}$ 有 $\Delta u = 0$ 以及 u(x ,y)消失于无穷远处。则 u = 0 。

一个简单的例子证明，关注 u 在无穷远处的下降条件是必要的：取 u(x ,y) = y 。很显然，u 满足稳态热传导方程且在实数轴上消失，且 u 并不恒等于 0。

这个定理的证明依赖一个关于谐函数(满足 Δu = 0 的函数)的事实。这个事实是，谐函数在某一点的值等于其围绕以该点为圆心的任何圆的平均值。

引理 2.8(均值属性(Mean-value property)) 假如 Ω 是 $\mathbb{R}^{2}$ 上的一个开集，令 u 为 $C^{2}$ 类的一个函数，且在 Ω 中 Δu = 0 。假如，以(x , y)为圆心的圆盘的闭包和半径 R 的闭包包含于 Ω ，则，对于任意 0 ≤ x ≤ R，有

$\displaystyle u(x , y) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}u(x+r\cos(\theta),y+r\sin(\theta))d\theta$ 。

证明：

令 $U(r,\theta)=u( x + r\cos(\theta),y + r\sin(\theta))$ 。按极坐标表达 Laplace 算子，方程 Δu = 0 意味着

$\displaystyle 0 = \frac{\partial^{2} U}{\partial \theta^{2}} + r \frac{\partial} {\partial r} (r \frac{\partial U}{\partial r})$ 。

假如我们定义 $F(r) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}U(r ,\theta )d\theta$ , 则上式给出

$\displaystyle r \frac{\partial} {\partial r} (r \frac{\partial F}{\partial r})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left [-\frac{\partial^{2} U}{\partial \theta^{2}}(r,\theta) \right ]d\theta$ 。

$\frac{\partial^2 U}{\partial \theta^{2}}$ 在圆上的积分由于 $\frac{\partial U}{\partial \theta}$ 是周期函数而消失，因此， $r \frac{\partial} {\partial r} (r \frac{\partial U}{\partial r})=0$ ，则 $r \frac{\partial U}{\partial r}$ 一定是常量。在 r = 0 处计算这个表达式，我们求得 $\frac{\partial F}{\partial r}=0$ 。因此，F 是一个常量，但因为 F(0) = u(x ,y)，我们最后求得对于任意 0 ≤ x ≤ R 有 F(r) = u(x ,y)，这便是均值属性。

最后，注意以上的论据隐含在第2章定理5.7的证明过程中。

我们采用反证明证明定理 2.7。分别考虑 u 的实部和虚部，我们可以假设 u 其自身是实数，并且在某处严格为正值，比如，对于某个 $x_{0} \in \mathbb{R}$ 且 $y_{0}>0$ 有 $u(x_{0},y_{0})>0$ 。我们将看到，这将会推导出矛盾。首先，因为 u 在无穷远处消失。我们可以找到一个半径为 R 的任意大半圆盘 $D_{R}^{+}=\{ (x,y):x^{2}+y^{2} \leq R,y>0 \}$ , 且在半圆盘之外 $u(x,y) \leq u(x_{0},y_{0})$ 。接下来，因为 u 在 $D_{R}^{+}$ 上是连续的，它在上面可以获得它的最大值 M，因此，存在一个点 $(x_{1},y_{1}) \in D_{R}^{+}$ ，其值为 $u(x_{1},y_{1})=M$ ，而在半圆盘上，u(x ,y) ≤ M ；此外，由于在半圆盘之外 $u(x,y) \leq \frac{1}{2}u(x_{0},y_{0}) \leq M$ 。现在，谐函数的均值属性意味着，只要积分圆位于上半平面，就有

$\displaystyle u(x_{1},y_{1})=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}u(x_{1}+\rho\cos(\theta),y_{1}+\rho\sin(\theta))d\theta$ ，

矛盾的事实在于 $\displaystyle u(x_{1},y_{1})=M$ 。现在令 $\rho \longrightarrow y_{1}$ ，并再次使用 u 的连续性，我们看到，这意味着 $u(x_{1} ,0) = M > 0$ 。这个矛盾的事实在于，对于所有 x ，u(x ,0) = 0 。

3. Poisson[pwasɔ:ŋ]求和公式 (The Poisson summation formula)

Fourier变换的定义是出于对Fourier级数连续版本的需求，适用于定义在实数轴上的函数。我们现在证明，圆周上的函数分析与实数域 ℝ 上的相关函数之间存在更显著的联系。

已知一个实数轴上的函数 f ∈ 𝒮(ℝ) ，我们可以通过技巧(recipe)构造另一个新的函数

$\displaystyle F_{1}(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(x+n)$ 。

因为 f 是寁降的，其级数在每一个 ℝ 的紧致子集上是绝对且一致收敛的，因此， $F_{1}$ 是连续的。注意， $F_{1}(x+1)=F_{1}(x)$ ，因为，在以上求和中，从 n 到 n + 1 的逾越(passage)仅仅平移了由 $F_{1}(x)$ 定义的级数项。因此，函数 $F_{1}(x)$ 是以 1 为周期的。因此，函数 $F_{1}$ 称为函数 f 的周期化(periodization)。

有另一种方式可以实现函数 f 的“周期化版本(periodic version)”,即，通过 Fourier分析。以恒等式

$\displaystyle f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(\xi)e^{2\pi i\xi x}d\xi$

开始，考虑其离散相似对象(analogue), 只不过积分由求和公式

$\displaystyle F_{2}(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi inx}$

所替代。再一次地，其和绝对且一致地收敛，由于 $\hat{f}$ 属于 Schwartz 空间，因此 $F_{2}$ 连续,最后导出了同样的函数。

定理3.1 (Poisson summation formula)( Poisson求和公式) 假如 f ∈ 𝒮(ℝ) ,则

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(x+n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{2\pi inx}$ 。

特别地，令 x = 0 ,我们有

$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)$ 。

换句话说，f 的周期化的Fourier系数由 f 在整数上的Fourier变换值精确地给出。

证明：

为了验证第一个公式，采用第2章中的定理2.1就已足够证明两侧(都是连续的)具有相同的 Fourier 系数(视为圆周上的函数)。很显然，右侧的第 m 项 Fourier 系数是 $\hat{f}(m)$ 。对于左侧，我们有

$\begin{array}{rl} \displaystyle \int_{0}^{1} \left \{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(x+n) \right \}e^{-2\pi imx}dx &\displaystyle= \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{0}^{1} f(x+n)e^{-2\pi imx}dx \\[0.2cm] \\ &=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{n}^{n+1} f(y)e^{-2\pi imy}dy \\[0.2cm] \\ &=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}f(y)e^{-2\pi imy}dy \\[0.2cm] \\ &=\hat{f}(m) , \end{array}$

其中，交换积分与求和是允许的，因为 f 是寁降的。这就完成了定理的证明。

我们注意到，当我们仅仅假设 $f$ 和 $\hat{f}$ 都是中速递降函数时，这个定理也可扩展到这种情况。事实上，对这个扩展应用的证明不变。

已经证明，周期化运算在许多问题上是重要的，甚至当 Poisson求和公式都不适用的场合。我们举 1 例，考虑初等函数 f (x) = 1/ x (x ≠ 0)。结果是，当对称求和的时候， $\sum_{n=-\infty}^{\infty}1/(x+n)$ 给出了余切函数的部分分数的分解。事实上，当 x 不是整数的时候，这个和等于 π cot (πx) 。类似地，对于 $f (x) = 1/ x^{2}(x \neq 0)$ , 我们得到，只要 x ∉ ℤ，就有 $\sum(n=-\infty)^{\infty}1/(x+n)^{2} = \pi^{2}/[\sin(\pi x)]^{2}$ (见练习15)。

3.1 𝜗 函数和ζ函数(Theta and zeta functions)

定义 s > 0 时的 𝜗 函数(译注：𝜗 为希腊字母 θ 的数学体)为

$\displaystyle \vartheta(s)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-\pi n^{2}s}$ 。

施加于 s 上的限制条件使得级数绝对收敛。这个特殊函数的关键事实在于，它满足下面的函数方程。

定理3.2 只要 s > 0 ，就有 $s^{(-1/2)} \vartheta(1/s) = \vartheta(s)$ 。

定理的证明通过将Poisson求和公式简单地应用于函数对

$f (x) = e^{-\pi sx^{2}}$ 和 $\hat{f}(\xi)=s^{(-1/2)}e^{(-\pi \xi^{2}/s)}$ 来实现。

当 Re{ s }> 0 时，𝜗 函数也可以推展到 s 取复数值的情况，并且函数方程在这时仍然是有效的。𝜗 函数与数论中的另一个重要的函数 ζ 函数(译注：ζ 为希腊字母 ζ 的数学体)具有紧密联系，对于 Re{ s } > 1 的 ζ 函数定义为

$\displaystyle \zeta (s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}$ 。

后面我们将会看到，这个函数携带了素数(prime number)的基本信息(见第8章)。

业已证明，ζ ，𝜗 和另一个重要函数通过下列恒等式关联起来：

$\displaystyle \pi^{(-s/2)}\Gamma(-s/2) \zeta (s)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}t^{(\frac{s}{2}-1)}[\vartheta(t-1)]dt$ ，

其对于 s > 1 是有效的(见练习17和18)。(译注：𝜏 的数学体LaTex语法 \mathit{\tau})

回到函数 𝜗 ，定义其广义形式 Θ(z|𝜏)为

$\displaystyle \Theta(z|\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\pi n^{2}\tau}e^{2\pi inz}$ ，

其中，Re{ 𝜏 }> 0 且 𝜏∈ℂ 。取 z = 0 且 𝜏 = is ,我们得到 Θ(z|𝜏) = 𝜗(s) 。

3.2 热传导核(Heat kernels)

与 Poisson 求和公式和 𝜗 函数相关的另一个应用是圆周上的时变热传导方程。这个受条件 u( x,0) = f ( x )(其中，f 是以 1 为周期的周期函数)约束的方程

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}$

的解，已在前面章节由公式

$u(x ,t) = ( f * H_{t})(x)$

给出，其中， $\mathcal{H}_{t}(x)$ 是圆周上的热传导核，即，

$H_{t}(x)=\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-4\pi^{2}n^{2}t}e^{2\pi inx}$ 。

特别注意我们在上一节中对广义 𝜗 函数的定义，我们有 $\Theta(z|\tau) = \mathcal{H}_{t}(x)$ 。此外，我们记得实数域 ℝ 上的热传导方程，它产生了热传核

$\mathcal{H}_{t}(x)=\displaystyle \frac{1}{(4\pi t)^{1/2}}e^{(-\frac{x^{2}}{4t})}$ ，

其中， $\displaystyle \widehat{\mathcal{H}}(t)=e^{(-4\pi^{2}t\xi^{2})}$ 。这两个对象之间的基本关系是Poisson 求和公式的直接结果。

定理 3.3 圆周上的热传导核是实数轴上的热传导核的周期化：

$\displaystyle H_{t}(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\mathcal{H}_{t} (x+n)$ 。

尽管证明 $\mathcal{H}_{t}$ 在实数域 ℝ 上是好核非常简单，但我们又面对更困难的问题，即，证明 $\mathcal{H}_{t}$ 在圆周上也是好核。上面的结论允许我们解决这个问题。

推论3.4 核 $H_{t}(x)$ 在 t ⟶ 0 的情况下是好核。

证明：

我们已经观察到， $\int_{|x|\leq (1/2)}H_{t}(x)dx=1$ 。现在，注意到，由于 $\mathcal{H}_{t}(x) \geq 0$ ，从以上公式立即可推出 $H_{t}(x) \geq 0$ 。最后，我们声明，当 | x | ≤ 1/2 时，

$H_{t}(x) = \mathcal{H}_{t}(x) + \epsilon_{t}(x)$ ,

其中，误差(error)满足 $|\varepsilon_{t}(x)| \leq c_{1}e^{(-c_{2}/t)}(c_{1}, c_{2} > 0$ 且 $0 < t \leq 1 )$ 。为了理解这一点，再次注意，定理中的公式给出

$\displaystyle H_{t}(x) = \mathcal{H}_{t}(x)+ \sum_{|n| \geq 1}^{}\mathcal{H}_{t} (x+n)$ ；

因此，由于 | x | ≤ 1/2 ，

$\displaystyle \varepsilon_{t}(x)=\frac{1}{\sqrt{4\pi t}}\sum_{|n|\geq 1}e^{[-(x+n)^{2}]/(4t)} \leq Ct^{(-1/2)}\sum_{n\geq 1}e^{(-cn^{2}/t)}$ 。

现在注意，只要 $0 < t \leq 1$ , 就有 $n^{2}/t \geq n^{2}$ 和 $n^{2}/t \geq 1/t$ ，因此， $\displaystyle e^{(-cn^{2}/t)} \leq e^{(-\frac{c}{2}n^{2})}e^{(-\frac{c}{2})(\frac{1}{t})}$ 。因此

$\displaystyle |\varepsilon_{t}(x)| \leq Ct^{(-1/2)}e^{(-\frac{c}{2}\frac{1}{t})}\sum_{n \geq 1}e^{(-\frac{c}{2}n^{2})} \leq c_{1}e^{(-c_{2}/t)}$ 。

这个声明的证明完成，且结论为，当 t ⟶ 0 时， $\int_{|x| \leq {1/2}}|\varepsilon_t(x)|dx \longrightarrow 0$ 。现在，很清楚了，当 $H_{t}$ 满足当 t ⟶ 0 时,

$\displaystyle \int_{\eta<|x|\leq 1/2}|H_{t}(x)|dx \longrightarrow 0$ ，

因为 $\mathcal{H}_{t}$ 是如此。

3.3 Poisson核(Heat kernels)

按上面关于热核的讨论类似的方式，我们指出圆盘的Poisson核与上半平面之间的关系，其中

$\displaystyle P_{r}(\theta)=\frac{1-r^{2}}{1-2r\cos(\theta)+r^{2}}$ 和 $\displaystyle \mathcal{P}_{y}(\theta)=\frac{1}{\pi}\frac{y}{y^{2}+x^{2}}$ 。

定理3.5 $P_{r}(2\pi x)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} \mathcal{P}_{y}(x+n)$ (其中， $r=e^{-2\pi y}$ ) 。

这又是一个Poisson求和公式应用于 $f(x)=\mathcal{P}_{y}(x)$ 和 $\hat{f}(\xi)=e^{-2\pi|\xi|y}$ 的直接推论。

当然，在这里，我们是在假设 $f$ 和 $\hat{f}$ 是中速递降的前提下使用Poisson求和公式。

4. Heisenberg[háizənbɛək]不确定性原理(The Heisenberg uncertainty principle)

该原理的数学要旨(thrust)可以根据函数与其Fourier变换之间的关系来表述。这个基本的底层法则，以其最隐晦(vaguest)和最通用(general)的形式表明，函数及其Fourier变换不能同时完全(essentially)是局部化的。更准确地说，如果一个函数的质量(mass)的“多数(preponderance)”集中在一个长度为 L 的区间内，那么它的Fourier变换的质量的多数不可能位于一个完全(essentially)小于 $L^{-1}$ 的区间内。准确的表述如下。

定理 4.1 假如 ψ 是一个位于 𝒮(ℝ) 上的函数，且满足归一化的条件 $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}dx=1$ 。则

$\displaystyle \left ( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}|\psi(x)|^{2}dx \right )\left (\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}|\hat{\psi}(\xi)|^{2}d\xi \right ) \geq \frac{1}{16\pi^{2}}$ ，

并且，当且仅当 $\psi(x) = Ae^{-Bx^{2}}$ ( 其中， $B \geq 0$ 且 $|A|^{2}=\sqrt{(2B)/\pi}$ ) 时，等号成立。事实上，对于每一个 $x_{0},\xi_{0} \in \mathbb{R}$ ，我们有

$\displaystyle \left ( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}(x-x_{0})^{2}|\psi(x)|^{2}dx \right )\left (\int_{-\infty}^{\infty}(\xi-\xi_{0})^{2}|\hat{\psi}(\xi)|^{2}d\xi \right ) \geq \frac{1}{16\pi^{2}}$ 。

证明：

第二个不等式实际上由第一个不等式通过用 $e^{-2\pi ix \xi_{0}}\psi(x+x_{0})$ 替换 ψ(x)再变更变量而推导出。为了证明第一个不等式，我们按如下论证。从我们的归一化假设 $\int_{}^{}|\psi(x)|^{2} = 1$ 开始，并记得 ψ 和 ψ’ 是寁降的，通过分部积分给出一个积分式

$\begin{array}{rl} 1\displaystyle&=\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}dx \\[0.2cm] \\ &\displaystyle=-\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{d}{dx}|\psi(x)|^{2}dx \\[0.2cm] \\ &\displaystyle=-\int_{-\infty}^{\infty}\left [x\psi^{'}(x)\overline{\psi(x)}+x\overline{\psi^{'}(x)}\psi(x)\right ]dx \end{array}$ 。

最后一个恒等式沿袭，因为 $|\psi|^{2}=\psi \overline{\psi}$ 。因此，

$\begin{array}{rl} 1\displaystyle& \leq 2\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|x||\psi(x)||\psi^{'}(x)|dx \\[0.2cm] \\ &\displaystyle \leq 2 \left ( \int_{-\infty}^{\infty}x^{2}|\psi(x)|^{2}dx \right )^{1/2} \left ( \int_{-\infty}^{\infty}|\psi^{'}(x)|^{2}dx \right )^{1/2} \end{array}$ ，

其中，我们已经使用了 Cauchy-Schwarz不等式。根据Fourier变换的属性,恒等式

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|\psi^{'}(x)|^{2}dx =4\pi^{2}\int_{-\infty}^{\infty}\xi^{2}|\hat{\psi}(\xi)|^{2}d\xi$

成立，而Plancherel公式推导出了定理中不等式的证明。

如果等式成立，那么我们在应用 Cauchy-Schwarz 不等式的地方也一定有等式，因此，对某些常量，我们求得 $\psi^{'}(x) = \beta x\psi(x)$ 。这个方程的解是 $\psi(x)=Ae^{\beta x^{2}/2}$ ，其中，A 是常量。因为，我们希望 ψ 是 Schwartz 函数，所以我们必须取 β = -2B < 0 ，且因为我们施加了限制条件 $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}dx=1$ ，我们求得 $|A|^{2}=\sqrt{(2B)/\pi}$ ,正如所证明的那样。

定理 4.1 中包含的精确论断首先在量子力学(quantum mechanics)研究中被发现。当人们考虑可以同时定位粒子的位置和动量(momentum)的程度时，它就出现了。假设我们正在处理(比方说)沿实数轴行进的电子，那么根据物理定律，物质受“状态函数(state function)” ψ 的支配，我们可以假设它在 𝒮(ℝ) 中，并且根据以下要求

(11) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}dx=1$

归一化。然后确定粒子的位置，而不是一个确定的点 x ；相反，它的可能位置由如下的量子力学规则给出：

粒子位于区间(a,b)的概率是 $\int_{a}^{b}|\psi(x)|^{2}dx$ 根据这个原则，在 ψ 的辅助下，我们可以计算出粒子可能的位置：事实上，粒子可能仅有很小的可能性位于已知的区间(a’, b’)中，但无论如何，它一定在实数轴上的某个地方，因为 $\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^{2}dx=1$ 。

除了概率密度(probability density) $|\psi(x)|^{2}dx=1$ 之外，还存在粒子可能所处的期望值(expectation)。期望值是对粒子所处位置的最佳猜测。由 $|\psi(x)|^{2}dx$ 所确定的概率分布给出，是由

(12) $\displaystyle \overline{x}=\int_{-\infty}^{\infty}x|\psi(x)|^{2}dx$

所定义的量。为什么期望值是我们的最佳的猜测呢？考虑更简单的(理想化的)情景，在这个情况中，给予我们的粒子仅在实数轴上的有限多个不同的点 $x_{1} , x_{2},..., x_{N}$ 处可以发现，且粒子在 $x_{i}$ 点出现的概率为 $p_{i}$ , 而 $p_{1} + p_{2} + ... + p_{N }= 1$ 。则，如果我们不知道额外信息的情况下，我们被迫对粒子的位置做出一个选择，很自然地，我们会取 $\overline{x}=\sum_{i=1}^{N}x_{i}p_{i}$ ,这就是粒子可能位置的恰当的加权平均值。显然，量(12)是这种情况的通用(积分)版本。

接下来，我们来到方差(variance)的概念。在我们的术语中，它是附加到我们的期望上的不确定性(uncertainty)。已经确定了粒子的预期位置是 x (由(12)给出)。其结果的不确定性是量

(13) $\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}(x-\overline{x})^{2}|\psi(x)|^{2}dx$ 。

注意，假如 ψ 高度地集中于 $\overline{x}$ 附近，则意味着存在 x 在 $\overline{x}$ 附近的一个高概率，因此(13) 很小，因为对积分的大部分贡献发生在 $\overline{x}$ 附近的 x 值上。这里，我们有很小的不确定性。在另一方面，假如 ψ(x)是相当扁平的(即，概率分布 $|\psi(x)|^{2}dx$ 不是很集中)，则积分(13)相当大，因为 $(x-\overline{x})^{2}$ 的大值将生效，因此，不确定性相对较大。

也值得观察，期望值 $\overline{x}$ 是一种其不确定性 $\int_{-\infty}^{\infty}(x-\overline{x})^{2}|\psi(x)|^{2}dx$ 是最小的一种选择。事实上，假如我们试图将其针对 $\overline{x}$ 的导数等于 0 来最小化这个量，我们求得 $2 \int_{-\infty}^{\infty}(x-\overline{x})^{2}|\psi(x)|^{2}dx = 0$ ，这就给到 (12) 。