引言

随着大数据时代的到来，我们经常会面临处理高维数据的问题。高维数据不仅增加了计算复杂度，还可能引发“维度灾难”。为了解决这一问题，我们需要对数据进行降维处理，即在不损失太多信息的前提下，将数据从高维空间映射到低维空间。主成分分析（PCA，Principal Component Analysis）就是一种常用的数据降维方法。

简而言之：：PCA降维就是把复杂的高维数据简化成更容易理解的低维数据，同时保留最重要的信息，让我们能够更方便地分析和处理这些数据。 

下图为例，所有的数据是分布在三维空间中，PCA将三维数据映射到二维平面u，二维平面由向量<u1,u2>表示，u1与u2垂直

代码演示： 

import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA# 创建一个包含五个数据点和两个特征的二维NumPy数组
data = np.array([[1, 1], [1, 3], [2, 3], [4, 4], [2, 4]])# 创建一个PCA对象，通过设置 n_components 参数为 0.9，表示要保留90%的原始数据的方差
pca = PCA(n_components=0.9)  # 提取90%特征# 对输入的数据进行PCA模型拟合，计算主成分
pca.fit(data)# 使用拟合好的PCA模型对原始数据进行转换，将数据压缩到新的特征空间，压缩后的结果存储在变量 new 中
new = pca.fit_transform(data)  # 压缩后的矩阵# 打印压缩后的数据
print("Compressed Data:")
print(new)# 打印每个选定主成分解释的方差比例。在这里，由于指定了 n_components=0.9，它将打印每个主成分解释的方差比例，直到累积解释的方差达到90%为止
print("Explained Variance Ratios:")
print(pca.explained_variance_ratio_)

 压缩后的矩阵：

经过PCA降维后的数据。这个矩阵包含了降维后的数据点在新的特征空间中的表示。

简单来说，每一行对应于原始数据中的一个数据点，而每一列对应于新的主成分（新的特征）。在这个例子中，由于设置了 n_components=0.9，只有第一个主成分被保留，因此新的特征空间只有一个维度。

主成分解释的方差比例：

在提供的数据集 data 中，每个数据点有两个特征。当应用PCA进行降维时，PCA会尝试找到一个新的特征空间，其中第一个主成分（第一个新特征）具有最大的方差，而第二个主成分（第二个新特征）具有次大的方差。详细推导过程可以看我的这篇博客：PCA降维的推导（超详细）_AI_dataloads的博客-CSDN博客

在数据中，PCA计算出的第一个主成分（新特征）具有约0.83的方差，而第二个主成分具有约0.17的方差。因此，第一个主成分保留了数据中大部分的变化和信息，而第二个主成分包含的信息相对较少。因此，降维后，只保留了第一个主成分，而第二个主成分的信息被丢弃了。

这就是为什么降维后只剩下一个主成分，即[0.83333333, 0.16666667]。这意味着降维后的数据集仅包含一个主成分，其中第一个主成分的贡献占主导地位，而第二个主成分的贡献相对较小，因此被删除。这是PCA的工作原理，它试图捕获数据中最重要的变化并减少维度以减小冗余。