题目

516. 最长回文子序列

中等

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字符串   动态规划

给你一个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。

子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的一个序列。

示例 1：

输入：s = "bbbab"
输出：4
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bbbb" 。

示例 2：

输入：s = "cbbd"
输出：2
解释：一个可能的最长回文子序列为 "bb" 。

提示：

• 1 <= s.length <= 1000
• s 仅由小写英文字母组成

思路和解题方法

1.  首先，我们使用一个二维数组dp来存储子问题的解，其中dp[i][j]表示字符串s在位置i到位置j范围内的最长回文子序列的长度。
2. 然后，我们初始化对角线上的值为1，表示单个字符本身就是一个回文子序列。
3. 接下来，我们从字符串尾部开始向前遍历，在每个位置i和j之间进行计算。如果s[i]等于s[j]，则s[i:j]范围内的最长回文子序列长度为s[i+1:j-1]范围内的最长回文子序列长度加2；如果s[i]不等于s[j]，则s[i:j]范围内的最长回文子序列长度为s[i+1:j]和s[i:j-1]中的较大值。
4. 最终，返回dp[0][s.size() - 1]，即整个字符串的最长回文子序列长度。

打印的dp数组 

  a  b  c   b   a

复杂度

        时间复杂度:

                O(n*n)

        时间复杂度是O(n^2)，其中n为输入字符串s的长度。这是因为我们使用了一个二维数组dp来存储子问题的解，然后使用两层嵌套的循环来填充这个数组，每次循环都需要考虑当前字符以及其之前的所有字符，因此时间复杂度为O(n^2)。

        空间复杂度

                O(n*n)

        空间复杂度也是O(n^2)，因为我们使用了一个二维数组dp来存储子问题的解，其大小为n*n。

c++ 代码

class Solution {
public:int longestPalindromeSubseq(string s) {// 创建二维数组dp来存储子问题的解，dp[i][j]表示s[i:j]范围内的最长回文子序列长度vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));// 初始化对角线上的值为1，即单个字符本身就是一个回文子序列for (int i = 0; i < s.size(); i++) {dp[i][i] = 1;}// 从字符串尾部开始遍历for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {// 从当前字符向后遍历for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {if (s[i] == s[j]) {// 如果s[i]等于s[j]，则s[i:j]范围内的最长回文子序列长度为s[i+1:j-1]范围内的最长回文子序列长度加2dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;} else {// 如果s[i]不等于s[j]，则s[i:j]范围内的最长回文子序列长度为s[i+1:j]和s[i:j-1]中的较大值dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}}// 返回整个字符串的最长回文子序列长度return dp[0][s.size() - 1];}
};

Java代码

• 首先，我们定义了一个二维数组dp来存储子问题的解，其中dp[i][j]表示字符串s在位置i到位置j范围内的最长回文子序列的长度。
• 然后，我们从字符串尾部开始向前遍历，确保不漏掉任何情况。在此过程中，我们对dp数组进行初始化，并且通过动态规划的方法逐步填充dp数组。
• 最后，返回dp[0][len - 1]，即整个字符串的最长回文子序列长度。

public class Solution {public int longestPalindromeSubseq(String s) {int len = s.length();int[][] dp = new int[len + 1][len + 1];  // 创建二维数组dp来存储子问题的解，dp[i][j]表示s[i:j]范围内的最长回文子序列长度for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {  // 从后往前遍历，保证情况不漏dp[i][i] = 1;  // 初始化对角线上的值为1，即单个字符本身就是一个回文子序列for (int j = i + 1; j < len; j++) {if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;  // 如果s[i]等于s[j]，则s[i:j]范围内的最长回文子序列长度为s[i+1:j-1]范围内的最长回文子序列长度加2} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], Math.max(dp[i][j], dp[i][j - 1]));  // 如果s[i]不等于s[j]，则s[i:j]范围内的最长回文子序列长度为s[i+1:j]和s[i:j-1]中的较大值}}}return dp[0][len - 1];  // 返回整个字符串的最长回文子序列长度}
}

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