AM@多元函数极值存在定理@条件极值

文章目录

    • abstract
    • 多元函数极值存在定理
      • 极值求解
      • 求解步骤
        • 驻点部分
        • 偏导不存在的点
      • 多元函数最值
    • 条件极值
      • 条件极值转为无条件极值
      • 极值必要条件
      • 拉格朗日乘数法
      • 推广

abstract

  • 多元函数极值和最值@多元函数极值存在定理@条件极值

多元函数极值存在定理

  • 本定理给出极值存在充分条件
  • 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)的某个邻域内来连续,且有一阶和二阶连续偏导数,又 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)=0, f y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{y}(x_0,y_0)=0 fy(x0,y0)=0(驻点存在),令
    • f x x ( x 0 , y 0 ) = A f_{xx}(x_0,y_0)=A fxx(x0,y0)=A
    • f x y ( x 0 , y 0 ) = B f_{xy}(x_0,y_0)=B fxy(x0,y0)=B
    • f y y ( x 0 , y 0 ) = C f_{yy}(x_0,y_{0})=C fyy(x0,y0)=C
    • Δ \Delta Δ= A B − B 2 AB-B^2 ABB2
  • f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处是否取得极值的条件和结论为:
    • Δ > 0 \Delta{>0} Δ>0时具有极值,
      • A < 0 A<0 A<0时有极大值,
      • A > 0 A>0 A>0时有极小值
    • Δ < 0 \Delta<0 Δ<0没有极值
    • Δ = 0 \Delta=0 Δ=0时需要另外讨论才能确定

极值求解

  • 这里指无条件极值
  • 分为两部分:所有驻点不可导点处都有可能是极值

求解步骤

驻点部分
  • 建立并解方程组 f x ( x , y ) = 0 f_{x}(x,y)=0 fx(x,y)=0; f y ( x , y ) = 0 f_{y}(x,y)=0 fy(x,y)=0;得到一切实数解,得一切驻点
    • 两个方程都是一元方程,可能有多个解,方程1解设为 x 1 , ⋯ , x m x_1,\cdots,x_{m} x1,,xm;方程2的解设为 y 1 , ⋯ , y n y_1,\cdots,y_{n} y1,,yn
    • 构造驻点坐标: ( x i , y j ) (x_i,y_{j}) (xi,yj), i = 1 , ⋯ , n ; j = 1 , ⋯ , m i=1,\cdots,n;j=1,\cdots,m i=1,,n;j=1,,m,共有 n × m n\times{m} n×m个驻点
  • 对每个驻点 ( x i , y j ) (x_i,y_{j}) (xi,yj),求处二阶偏导数 A , B , C A,B,C A,B,C
  • 确定 Δ = A C − B 2 \Delta=AC-B^2 Δ=ACB2得符号,由定理2的结论判定 f ( x i , y j ) f(x_i,y_{j}) f(xi,yj)是否为极值(若为极值,进一步根据 A A A得符号判断该极值是极大值还是极小值)
偏导不存在的点
  • 如果函数存在某些偏导数不存在的点,那么这些点也可能是极值点,需要逐个判断
  • 如果函数处处可偏导,则不需要处理这部分

  • 求函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)= x 2 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9 x x^2-y^3+3x^2+3y^2-9x x2y3+3x2+3y29x的极值
    • 构造并解方程组: f x ( x , y ) = 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 f_{x}(x,y)=3x^2+6x-9=0 fx(x,y)=3x2+6x9=0; f y ( x , y ) f_{y}(x,y) fy(x,y)= − 3 y 2 + 6 y = 0 -3y^2+6y=0 3y2+6y=0
    • 分别解得 x 1 = 1 x_1=1 x1=1; x 2 = − 3 x_2=-3 x2=3; y 1 = 0 y_1=0 y1=0; y 2 = 2 y_2=2 y2=2
    • 构造驻点 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0), ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2); ( − 3 , 0 ) (-3,0) (3,0); ( − 3 , 2 ) (-3,2) (3,2)
    • 计算函数的 A , B , C A,B,C A,B,C: A = f x x ( x , y ) = 6 x + 6 A=f_{xx}(x,y)=6x+6 A=fxx(x,y)=6x+6; B = f x y ( x , y ) = 0 B=f_{xy}(x,y)=0 B=fxy(x,y)=0, C = f y y = − 6 y + 6 C=f_{yy}=-6y+6 C=fyy=6y+6; Δ = A C − B 2 = 36 ( x + 1 ) ( − y + 1 ) \Delta=AC-B^2=36(x+1)(-y+1) Δ=ACB2=36(x+1)(y+1)
    • 分别判断驻点的判别式
      • ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)处, Δ = 72 > 0 \Delta=72>0 Δ=72>0,且 A = 12 > 0 A=12>0 A=12>0,所以函数在 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)处有极小值 f ( 1 , 0 ) = − 5 f(1,0)=-5 f(1,0)=5
      • ( 1 , 2 ) (1,2) (1,2)处, Δ = − 72 < 0 \Delta=-72<0 Δ=72<0,所以 f ( 1 , 2 ) f(1,2) f(1,2)不是极值
      • ( − 3 , 0 ) (-3,0) (3,0)处, Δ = − 72 < 0 \Delta=-72<0 Δ=72<0, f ( − 3 , 0 ) f(-3,0) f(3,0)不是极值
      • ( − 3 , 2 ) (-3,2) (3,2)处, Δ = 72 < 0 \Delta=72<0 Δ=72<0, A < 0 A<0 A<0,所以函数在 ( − 3 , 2 ) (-3,2) (3,2)处有极大值 f ( − 3 , 2 ) = 31 f(-3,2)=31 f(3,2)=31

多元函数最值

  • 与一元函数相类似,我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.
  • 如果 f ( x , y ) f(x ,y) f(x,y)在有界闭区域D上连续,那么 f ( x , y ) f( x ,y) f(x,y)在D上必定能取得最大值和最小值.
  • 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上.
  • 我们假定,函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点,
    • 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值),那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).
  • 因此,在上述假定下,求函数的最大值和最小值的一般方法是:
    • 将函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.
    • 但这种做法,由于要求出 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在D的边界上的最大值和最小值,所以往往相当复杂.
    • 在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数 f ( x , y ) f(x ,y) f(x,y)的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在D上的最大值(最小值).

  • 制作体积为 2 2 2的封闭长方体水箱,设长,宽分别为 x , y x,y x,y,则高为 2 x y \frac{2}{xy} xy2,问 x , y x,y x,y分别取多少时用料最省?
  • 水箱的表面积为 A = 2 ( x y + x 2 x y + y 2 x y ) A=2(xy+x\frac{2}{xy}+y\frac{2}{xy}) A=2(xy+xxy2+yxy2)= 2 ( x y + 2 x + 2 y ) 2(xy+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}) 2(xy+x2+y2); ( 0 < x , y ) (0<x,y) (0<x,y)
    • A x A_{x} Ax= 2 ( y − 2 x 2 ) 2(y-\frac{2}{x^2}) 2(yx22); A y = 2 ( x − 2 y 2 ) A_{y}=2(x-\frac{2}{y^2}) Ay=2(xy22)=0
    • x = 2 3 x=\sqrt[3]{2} x=32 ; y = 2 3 y=\sqrt[3]{2} y=32
    • 函数有唯一驻点 ( 2 3 , 2 3 ) (\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}) (32 ,32 ),并且在函数 A A A开区域 D D D内部取得,则该点一定是极值点
    • 又由题意可知,函数 A A A在区域 D D D内一定由最小值,所以当 x = 2 3 x=\sqrt[3]{2} x=32 ; y = 2 3 y=\sqrt[3]{2} y=32 时,函数 A A A取得最小值 A ( 2 3 , 2 3 ) A(\sqrt[3]{2},\sqrt[3]{2}) A(32 ,32 ),此时高度为 2 2 3 2 3 \frac{2}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}} 32 32 2= 2 3 \sqrt[3]{2} 32

条件极值

  • 上面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制在函数的定义域内以外,并无其他条件,所以有时候称为无条件极值.
  • 但在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题.
    • 例如,求表面积为a而体积为最大的长方体的体积问题.设长方体的三棱的长为 x , y , z x,y,z x,y,z则体积 V = x y z . V= xyz. V=xyz.又因假定表面积为 a 2 a^2 a2,所以自变量 x , y , z x,y,z x,y,z还必须满足附加条件 2 ( x y + y z + x z ) = a 2 2(xy + yz + xz) = a^2 2(xy+yz+xz)=a2.
    • 像这种对自变量有附加条件的极值称为条件极值.

条件极值转为无条件极值

  • 对于有些实际问题,可以把条件极值化为无条件极值,然后利用第一目中的方法加以解决.例如上述问题,可由条件 2 ( x y + y z + x z ) = a 2 2( xy + yz +xz) = a^2 2(xy+yz+xz)=a2,将 z z z表示成(展开合并同类项移项可得)
    • z = a 2 − 2 x y 2 ( x + y ) z=\frac{a^2-2xy}{2(x+y)} z=2(x+y)a22xy,将其代入 V = x y z V=xyz V=xyz,得 V = x y 2 ( a 2 − 2 x y 2 ( x + y ) ) V=\frac{xy}{2}(\frac{a^2-2xy}{2(x+y)}) V=2xy(2(x+y)a22xy)的无条件极值

极值必要条件

  • 很多情形下,条件极值化为无条件极值不容易,需要寻找新的途径求解条件极值
  • 这种方法称为Lagrange乘数法
  • z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)(1)在条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0(2)下取得极值的必要条件是什么?
    • 设函数(1)在 P 0 ( x 0 , y 0 ) P_{0}(x_0,y_0) P0(x0,y0)处取得所求的极值,则 ϕ ( x 0 , y 0 ) = 0 \phi(x_0,y_0)=0 ϕ(x0,y0)=0(3)
    • 假定在 P 0 P_0 P0的某一邻域内 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ϕ ( x , y ) \phi(x,y) ϕ(x,y)均有连续的一阶偏导数,而 ϕ y ( x 0 , y 0 ) ≠ 0 \phi_{y}(x_0,y_0)\neq{0} ϕy(x0,y0)=0
    • 隐函数存在定理,方程(2)确定一个来纳许且具有连续导数的函数 y = ψ ( x ) y=\psi(x) y=ψ(x)(3-1)
    • 将式(3-1)代入(1),得到一个一元函数 z = f ( x , ψ ( x ) ) z=f(x,\psi(x)) z=f(x,ψ(x))(4)
    • 于是二元函数(1)在 P 0 P_0 P0取得所求的极值相当于一元函数(4)在 x = x 0 x=x_0 x=x0处取得极值
    • 由一元可导函数取得极值的必要条件, z x ∣ x = x 0 = 0 z_{x}|_{x=x_0}=0 zxx=x0=0(5),即 f x ( x 0 , y 0 ) + f y ( x 0 , y 0 ) y x ∣ x = x 0 = 0 f_{x}(x_0,y_0)+f_{y}(x_0,y_0)y_{x}|_{x=x_0}=0 fx(x0,y0)+fy(x0,y0)yxx=x0=0(5-1)
    • 而由方程(2),用隐函数求导公式, y x ∣ x = x 0 y_{x}|_{x=x_0} yxx=x0= − ϕ x ( x 0 , y 0 ) ϕ y ( x 0 , y 0 ) -\frac{\phi_{x}(x_0,y_0)}{\phi_{y}(x_0,y_0)} ϕy(x0,y0)ϕx(x0,y0)(5-2)把上式代入(5-1),得
      • f x ( x 0 , y 0 ) − f y ( x 0 , y 0 ) ϕ x ( x 0 , y 0 ) ϕ y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_0,y_0)-f_{y}(x_0,y_0)\frac{\phi_{x}(x_0,y_0)}{\phi_{y}(x_0,y_0)}=0 fx(x0,y0)fy(x0,y0)ϕy(x0,y0)ϕx(x0,y0)=0(6)
    • 式(3),(6)就是函数(1)在条件(2)下在 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)取得极值得必要条件
  • 变形条件(6)
    • − f y ( x 0 , y 0 ) 1 ϕ y ( x 0 , y 0 ) -f_{y}(x_0,y_0)\frac{1}{\phi_{y}(x_0,y_0)} fy(x0,y0)ϕy(x0,y0)1= λ \lambda λ(6-1),变形即有 f y ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{y}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{y}(x_0,y_0)=0 fy(x0,y0)+λϕy(x0,y0)=0(6-2)
    • 且式(6)改写为 f x ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ x ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{x}(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)+λϕx(x0,y0)=0(6-3)
  • 将上述必要条件整理,得方程组(7)
    1. f x ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ x ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{x}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{x}(x_0,y_0)=0 fx(x0,y0)+λϕx(x0,y0)=0
    2. f y ( x 0 , y 0 ) + λ ϕ y ( x 0 , y 0 ) = 0 f_{y}(x_0,y_0)+\lambda\phi_{y}(x_0,y_0)=0 fy(x0,y0)+λϕy(x0,y0)=0
    3. ϕ ( x 0 , y 0 ) = 0 \phi(x_0,y_0)=0 ϕ(x0,y0)=0
  • 引进辅助函数 L ( x , y ) = f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y ) L(x,y)=f(x,y)+\lambda\phi(x,y) L(x,y)=f(x,y)+λϕ(x,y)(8),则(7-1,7-2)分别为 L x ( x 0 , y 0 ) = 0 L_{x}(x_0,y_0)=0 Lx(x0,y0)=0(9-1); L y ( x 0 , y 0 ) = 0 L_{y}(x_0,y_0)=0 Ly(x0,y0)=0(9-2)
  • 辅助函数 L ( x , y ) L(x,y) L(x,y)也称为Lagrange函数,参数 λ \lambda λ称为Lagrange乘子

拉格朗日乘数法

  • 要找到函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)(1)在附加条件 ϕ ( x , y ) = 0 \phi(x,y)=0 ϕ(x,y)=0(2)下的可能极值点,可以线作Lagrange函数: L ( x , y ) L(x,y) L(x,y)= f ( x , y ) + λ ϕ ( x , y ) f(x,y)+\lambda\phi(x,y) f(x,y)+λϕ(x,y)= f + λ ϕ f+\lambda\phi f+λϕ,其中 λ \lambda λ为参数
  • 求其对 x , y x,y x,y的一阶偏导数,并令它们为0,在和条件方程联立:
    • f x + λ ϕ x = 0 f_{x}+\lambda\phi_{x}=0 fx+λϕx=0
    • f y + λ ϕ y = 0 f_{y}+\lambda\phi_{y}=0 fy+λϕy=0
    • ϕ = 0 \phi=0 ϕ=0
  • 有此方程组解出 x , y , λ x,y,\lambda x,y,λ,得到的 ( x , y ) (x,y) (x,y)就是函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在附加条件(2)下的可能极值点

推广

  • Lagrange乘数法可以推广到自变量多于2个,附加条件多于1个的情形
  • 例如求 u = f ( x , y , z , t ) u=f(x,y,z,t) u=f(x,y,z,t)在附加条件 ϕ ( x , y , z , t ) = 0 \phi(x,y,z,t)=0 ϕ(x,y,z,t)=0, ψ ( x , y , z , t ) = 0 \psi(x,y,z,t)=0 ψ(x,y,z,t)=0下的极值
    • 此时构造的Lagrange函数为 L ( x , y , z , t ) L(x,y,z,t) L(x,y,z,t)= f ( x , y , z , t ) + λ ϕ ( x , y , z , t ) + μ ψ ( x , y , z , t ) f(x,y,z,t)+\lambda\phi(x,y,z,t)+\mu{\psi(x,y,z,t)} f(x,y,z,t)+λϕ(x,y,z,t)+μψ(x,y,z,t)
    • 参数 λ , μ \lambda,\mu λ,μ也可以用记号 λ 1 , λ 2 \lambda_1,\lambda_2 λ1,λ2表示
    • 求Lagrange函数 L L L的各个一阶偏导并令它们为0,再来联立两个条件方程,求出 ( x , y , z , t ) (x,y,z,t) (x,y,z,t),就是可能是所求的极值点

  • 求表面积为 a 2 a^2 a2而体积为最大的长方体的体积
    • 设长方体的三棱分别为 x , y , z x,y,z x,y,z,体积函数为 V = x y z V=xyz V=xyz, ( x , y , z > 0 ) (x,y,z>0) (x,y,z>0),(1)
    • 定义域之外的附加条件为 2 ( x y + y z + z x ) = a 2 2(xy+yz+zx)=a^2 2(xy+yz+zx)=a2(2),用方程一般形式表示:令 ϕ ( x , y , z ) \phi(x,y,z) ϕ(x,y,z)= 2 ( x y + y z + z x ) − a 2 2(xy+yz+zx)-a^2 2(xy+yz+zx)a2=0
    • 这是一个含3个自变量和一个附加条件的极值问题
    • 构造Lagrange函数为 L ( x , y , z ) L(x,y,z) L(x,y,z)= V + λ ϕ V+\lambda{\phi} V+λϕ= x y z + λ ( 2 ( x y + y z + z x ) − a 2 ) xyz+\lambda(2(xy+yz+zx)-a^2) xyz+λ(2(xy+yz+zx)a2)
    • 分别求偏导并令他们为0:得方程组(3)
      1. L x L_{x} Lx= y z + 2 λ ( y + z ) yz+2\lambda(y+z) yz+2λ(y+z)=0
      2. L y L_{y} Ly= x z + 2 λ ( x + z ) xz+2\lambda(x+z) xz+2λ(x+z)=0
      3. L z L_z Lz= x y + 2 λ ( y + x ) xy+2\lambda(y+x) xy+2λ(y+x)=0
    • 再与条件(2)联立(可以表示为 L λ = 2 ( x y + y z + z x ) − a 2 L_{\lambda}=2(xy+yz+zx)-a^2 Lλ=2(xy+yz+zx)a2=0
      • 对方程组(3)移项:
        • y z = − 2 λ ( y + z ) yz=-2\lambda(y+z) yz=2λ(y+z);(4-1)
        • x z = − 2 λ ( x + z ) xz=-2\lambda(x+z) xz=2λ(x+z);(4-2)
        • x y = − 2 λ ( y + x ) xy=-2\lambda(y+x) xy=2λ(y+x)(4-3)
      • 作式(4-1)比去(4-2),以及(4-1)比去(4-3)分别得:
        • x y = x + z y + z \frac{x}{y}=\frac{x+z}{y+z} yx=y+zx+z; y z = x + y x + z \frac{y}{z}=\frac{x+y}{x+z} zy=x+zx+y,分别令这两个比值为 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2
        • 由比例性质, k 1 = 1 , k 2 = 1 k_1=1,k_2=1 k1=1,k2=1,可得 x = y , y = z x=y,y=z x=y,y=z,
        • 即得 x = y = z x=y=z x=y=z,代入(2),得 x = y = z = 6 6 a x=y=z=\frac{\sqrt{6}}{6}a x=y=z=66 a

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.mzph.cn/news/138972.shtml

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈email:809451989@qq.com,一经查实,立即删除!

相关文章

HTTPS的工作流程

. HTTPS是什么&#xff1f; https是应用层中的一个协议&#xff0c;是在http协议的基础上引入的一个加密层。 为什么需要HTTPS 由于http协议内容都是按照文本的方式明文传输的&#xff0c;这就导致传输过程中会出现一些被篡改的情况。运营商劫持事件最开始百度&#xff0c;…

云栖大会丨桑文锋:打造云原生数字化客户经营引擎

近日&#xff0c;2023 云栖大会在杭州举办。今年云栖大会回归了 2015 的主题&#xff1a;「计算&#xff0c;为了无法计算的价值」。神策数据创始人 & CEO 桑文锋受邀出席「生态产品与伙伴赋能」技术主题&#xff0c;并以「打造云原生数字化客户经营引擎」为主题进行演讲。…

CSS特效006:绘制不断跳动的心形

css实战中&#xff0c;怎么绘制不断跳动的心形呢&#xff1f; 绘图的时候主要用到了transform: rotate(-45deg); transform-origin: 0 100%; transform: rotate(45deg); transform-origin: 100% 100%; 动画使用keyframes 时间上为infinite。 效果图 源代码 /* * Author: 大剑…

迅为龙芯3A5000主板,支持PCIE 3.0、USB 3.0和 SATA 3.0显示接口2 路、HDMI 和1路 VGA,可直连显示器

性能强 采用全国产龙芯3A5000处理器&#xff0c;基于龙芯自主指令系统 (LoongArch)的LA464微结构&#xff0c;并进一步提升频率&#xff0c;降低功耗&#xff0c;优化性能。 桥片 桥片采用龙芯 7A2000&#xff0c;支持PCIE 3.0、USB 3.0和 SATA 3.0显示接口2 路、HDMI 和1路 …

web3 React dapp项目通过事件从区块链中拿到 已取消 已完成 和所有的订单数据 并存入redux中

好 上文web3通过antd 在React dapp中构建订单组件基本结构我们算是把一个基本的订单组件展示做出来了 然后 我们继续 起一下环境先 ganache 终端运行 ganache -dMetaMask 登录一下 然后 打开项目 发布一下合约 truffle migrate --reset然后 运行一下 测试脚本 转入交易所 E…

excel中超级表和普通表的相互转换

1、普通表转换为超级表 选中表内任一单元格&#xff0c;然后按CtrlT&#xff0c;确认即可。 2、超级表转换为普通表 选中超级表内任一单元格&#xff0c;右键&#xff0c;表格&#xff0c;转换为区域&#xff0c;确定即可。 这时虽然已经变成了普通表&#xff0c;但样式没有…

CSS知识点梳理(一)

CSS 是层叠样式表&#xff08;Cascading Style Sheets&#xff09;的缩写&#xff0c;它是一种用于描述 HTML 或 XML&#xff08;包括如 SVG、MathML 等派生语言&#xff09;文档呈现的语言。CSS 可以用来控制文档的布局、颜色、字体等外观属性。 CSS 的主要特点包括&#xff…

JVM关键指标监控(调优)

JVM 99%情况下不需要调优 使用性能更好的垃圾回收器 核心指标 针对单台服务器而言&#xff1a; jvm.gc.time: 每分钟GC耗时在1s以内 500ms以内最佳 jvm.gc.meantime: 每次YGC耗时在100ms以内&#xff0c;50ms以内最佳 jvm.fullgc.count: FGC(老生代垃圾回收)最多几小时1次&…

11.9 知识总结(三板斧、全局配置文件、静态文件的配置、request对象等)

一、 三板斧的使用 三个方法&#xff1a; HttpResponse render redirect def index(request): print(request) # return HttpResponse("request") # 它返回的是字符串 # return render(request, index.html) # 加载HTML页面的 # return redirect(ht…

数据库 关系数据理论

问题 数据冗余更新异常插入异常删除异常 一个好的模式应当不会发生插入异常、删除异常和更新异常&#xff0c;数据冗余应尽可能少 数据依赖 定义&#xff1a;一个关系内部属性与属性之间的一种约束关系&#xff08;该约束关系是通过属性间值的相等与否体现出来数据间相关联…

iOS 17.2更新:15Pro支持拍摄空间视频!

苹果又为开发者预览版用户推送了iOS 17.2 Beta2测试版的更新&#xff0c;已经注册Apple Beta版软件计划的用户只需打开设置--通用--软件更新即可在线OTA升级至最新的iOS 17.2测试版。 本次更新包大小为750M左右&#xff0c;内部版本号为&#xff08;21C5040g&#xff09;&#…

设计模式--Command模式

命令模式&#xff08;Command Pattern&#xff09;是一种行为设计模式&#xff0c;它将一个请求封装为一个对象&#xff0c;从而使你可以用不同的请求对客户进行参数化&#xff0c;对请求排队或记录请求日志&#xff0c;以及支持可撤销的操作。 命令模式主要包含以下几个角色&…

『 MySQL数据库 』数据库基础之表的基本操作

文章目录 创建表&#x1f5e1;查看表&#x1f5e1;✒ 查看表内所有信息(描述\表结构等)✒ 根据条件查看表内数据✒ 查看表的具体详细信息: 修改表&#x1f5e1;✒ 修改表名:✒ 修改表的存储引擎、编码集(字符集和校验集):✒ 表内插入数据:insert into✒ 在表中新添一个字段(列)…

【react.js + hooks】使用 useLoading 控制加载

在页面上 loading&#xff08;加载&#xff09;的效果十分常见&#xff0c;在某些场景下&#xff0c;一个页面上甚至可能有特别多的 loading 存在&#xff0c;此时为每一个 loading 专门创建一个 state 显然太过繁琐&#xff0c;不如试试写一个 useLoading 来集中管理&#xff…

HarmonyOS应用开发-ArkTS基础知识

作者&#xff1a;杨亮Jerry 作为多年的大前端程序开发工作者&#xff0c;就目前的形式&#xff0c;个人浅见&#xff0c;在未来3-5年&#xff0c;移动端依旧是Android系统和iOS系统的天下。不过基于鸿蒙系统的应用开发还是值得我们去花点时间去了解下的&#xff0c;阅读并实践官…

【洛谷 P5019】[NOIP2018 提高组] 铺设道路 题解(模拟+双指针)

[NOIP2018 提高组] 铺设道路 题目背景 NOIP2018 提高组 D1T1 题目描述 春春是一名道路工程师&#xff0c;负责铺设一条长度为 n n n 的道路。 铺设道路的主要工作是填平下陷的地表。整段道路可以看作是 n n n 块首尾相连的区域&#xff0c;一开始&#xff0c;第 i i i …

【大学视听说上】网络学习计划清单

每单元建议学习时长为约2小时&#xff0c;每2-3周完成一个单元 视听说1: Online Self-Study Assignment (U校园) Week 2-9 Unit 3 3-2Sharing: Practice 2, 3, 4, 5 3-3 Listening: Use the skills 3, 4 3-4 Viewing: View it 1, 2 3-8 More practice in listening 3-10 …

MYSQL---基础篇

一、数据库操作 1.创建数据库&#xff1a;CREATE DATABASE db_test1&#xff1b; 2.使用数据库&#xff1a;use 数据库名&#xff1b; 3.删除数据库&#xff1a;DROP DATABASE [IF EXISTS] db_name; 4.创建表&#xff1a;CREATE TABLE table_name ( field1 datatype, field2…

win环境Jenkins高级配置各种插件和启动jar包

今天分享Jenkins高级配置各种插件&#xff0c;在看此篇之前必须先了解上一篇博客内容&#xff0c;因为此篇是在上篇的基础上完善的&#xff1a; 一、git仓库的多分支选择 想要多分支选择部署&#xff0c;需要全局安装Git parameter 插件 1、点击入口 来到 2、点击进入 安装一…

python flask_restful “message“: “Failed to decode JSON object: None“

1、问题表现 "message": "Failed to decode JSON object: None"2、出现的原因 Werkzeug 版本过高 3、解决方案 pip install Werkzeug2.0解决效果 可以正常显示json数据了 {"message": {"rate": "参数错误"} }