309.最佳买卖股票时机含冷冻期
题目要求：给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:
- 输入: [1,2,3,0,2]
- 输出: 3
- 解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
思路
本题是可以无限次买卖股票的，那么只需要考虑冷冻期就可以了。dp[i][j]数组代表了第i天，状态j的最大价值。考虑j可以有三个状态，0代表持有股票的状态，1代表不持有股票的状态，2代表正在冷冻期中的状态。但是有一个问题，不持有股票并不代表卖出股票，因此dp[i][2]如何从前一天转移过来是一个问题。
所以要重新考虑j的状态，具体可以区分出如下几种状态：
- 状态1：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）
- 不持有股票状态，这里有两种卖出股票状态
- 状态2：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）
- 状态3：今天卖出股票
- 状态4：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！
j的状态为：
- 0：状态一
- 1：状态二
- 2：状态三
- 3：状态四
状态转移方程：
牢记dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。
达到持有股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0]
- 操作二：今天买入了，有两种情况
- 前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i]
- 前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i]
- dp[i][0] = max({dp[i-1][1] - prices[i], dp[i-1][3] - prices[i], dp[i-1][0]}); // 有两种卖出状态可以再次买入，前一天保持卖出状态，或者前一天是冷冻期。
达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：
- 操作一：前一天就是状态二
- 操作二：前一天是冷冻期（状态四）
- dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]);
达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：
昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出
- dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];
达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：
昨天卖出了股票（状态三）
- dp[i][3] = dp[i-1][2];
dp数组的初始化：
保持卖出股票状态（状态二），这里其实从 「状态二」的定义来说 ，很难明确应该初始多少，这种情况我们就看递推公式需要我们给他初始成什么数值。
如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，那么大家感受一下 dp[0][1] （即第0天的状态二）应该初始成多少，只能初始为0。想一想如果初始为其他数值，是我们第1天买入股票后 手里还剩的现金数量是不是就不对了。
今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0][2]初始化为0，dp[0][3]也初始为0。
- dp[0][0] = -prices[0];
- dp[0][1] = 0;
- dp[0][2] = 0;
- dp[0][3] = 0;
class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices) {vector<vector<int>> dp(prices.size() + 1, vector<int>(4, 0));dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;dp[0][2] = 0;dp[0][3] = 0;for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {dp[i][0] = max({dp[i-1][1] - prices[i], dp[i-1][3] - prices[i], dp[i-1][0]});dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][3]);dp[i][2] = dp[i-1][0] + prices[i];dp[i][3] = dp[i-1][2];} return max({dp[prices.size()-1][1], dp[prices.size()-1][2], dp[prices.size()-1][3]});}
};714.买卖股票的最佳时机含手续费
题目要求：给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例 1:
- 输入: prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
- 输出: 8
解释: 能够达到的最大利润:
- 在此处买入 prices[0] = 1
- 在此处卖出 prices[3] = 8
- 在此处买入 prices[4] = 4
- 在此处卖出 prices[5] = 9
- 总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.
思路
dp[i][0] 表示第i天持有股票所剩最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。考虑手续费是对一次完整的交易定义的，因此我们只在卖出股票时扣除手续费。
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee
所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
class Solution {
public:int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {vector<vector<int>> dp(prices.size()+1, vector<int>(3, 0));dp[0][0] = -prices[0];dp[0][1] = 0;for (int i = 1; i < prices.size(); ++i) {dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] - prices[i]);dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] + prices[i] - fee);}return dp[prices.size()-1][1];}
};
