本文首先将介绍在目标跟踪任务中常用的匈牙利算法（Hungarian Algorithm）和卡尔曼滤波（Kalman Filter），然后介绍经典算法DeepSORT的工作流程以及对相关源码进行解析。

目前主流的目标跟踪算法都是基于Tracking-by-Detecton策略，即基于目标检测的结果来进行目标跟踪。DeepSORT运用的就是这个策略，上面的视频是DeepSORT对人群进行跟踪的结果，每个bbox左上角的数字是用来标识某个人的唯一ID号。

这里就有个问题，视频中不同时刻的同一个人，位置发生了变化，那么是如何关联上的呢？答案就是匈牙利算法和卡尔曼滤波。

• 匈牙利算法可以告诉我们当前帧的某个目标，是否与前一帧的某个目标相同。
• 卡尔曼滤波可以基于目标前一时刻的位置，来预测当前时刻的位置，并且可以比传感器（在目标跟踪中即目标检测器，比如Yolo等）更准确的估计目标的位置。

匈牙利算法（Hungarian Algorithm）

首先，先介绍一下什么是分配问题（Assignment Problem）：假设有N个人和N个任务，每个任务可以任意分配给不同的人，已知每个人完成每个任务要花费的代价不尽相同，那么如何分配可以使得总的代价最小。

举个例子，假设现在有3个任务，要分别分配给3个人，每个人完成各个任务所需代价矩阵（cost matrix）。

怎样才能找到一个最优分配，使得完成所有任务花费的代价最小呢？

匈牙利算法（又叫KM算法）就是用来解决分配问题的一种方法，它基于定理：

如果代价矩阵的某一行或某一列同时加上或减去某个数，则这个新的代价矩阵的最优分配仍然是原代价矩阵的最优分配。

算法步骤（假设矩阵为NxN方阵）：

1. 对于矩阵的每一行，减去其中最小的元素
2. 对于矩阵的每一列，减去其中最小的元素
3. 用最少的水平线或垂直线覆盖矩阵中所有的0
4. 如果线的数量等于N，则找到了最优分配，算法结束，否则进入步骤5
5. 找到没有被任何线覆盖的最小元素，每个没被线覆盖的行减去这个元素，每个被线覆盖的列加上这个元素，返回步骤3

继续拿上面的例子做演示：

step1 每一行最小的元素分别为15、20、20，减去得到：

step2 每一列最小的元素分别为0、20、5，减去得到：

step3 用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0，得到：

step4 线的数量为2，小于3，进入下一步；

step5 现在没被覆盖的最小元素是5，没被覆盖的行（第一和第二行）减去5，得到：

被覆盖的列（第一列）加上5，得到：

跳转到step3，用最少的水平线或垂直线覆盖所有的0，得到：

step4：线的数量为3，满足条件，算法结束。显然，将任务2分配给第1个人、任务1分配给第2个人、任务3分配给第3个人时，总的代价最小（0+0+0=0）：

所以原矩阵的最小总代价为（40+20+25=85）：

sklearn里的linear_assignment()函数以及scipy里的linear_sum_assignment()函数都实现了匈牙利算法，两者的返回值的形式不同：

import numpy as np 
from sklearn.utils.linear_assignment_ import linear_assignment
from scipy.optimize import linear_sum_assignmentcost_matrix = np.array([[15,40,45],[20,60,35],[20,40,25]
])matches = linear_assignment(cost_matrix)
print('sklearn API result:\n', matches)
matches = linear_sum_assignment(cost_matrix)
print('scipy API result:\n', matches)"""Outputs
sklearn API result:[[0 1][1 0][2 2]]
scipy API result:(array([0, 1, 2], dtype=int64), array([1, 0, 2], dtype=int64))
"""

在DeepSORT中，匈牙利算法用来将前一帧中的跟踪框tracks与当前帧中的检测框detections进行关联，通过外观信息（appearance information）和马氏距离（Mahalanobis distance），或者IOU来计算代价矩阵。

源码解读：

#  linear_assignment.py
def min_cost_matching(distance_metric, max_distance, tracks, detections, track_indices=None, detection_indices=None):...# 计算代价矩阵cost_matrix = distance_metric(tracks, detections, track_indices, detection_indices)cost_matrix[cost_matrix > max_distance] = max_distance + 1e-5# 执行匈牙利算法，得到匹配成功的索引对，行索引为tracks的索引，列索引为detections的索引row_indices, col_indices = linear_assignment(cost_matrix)matches, unmatched_tracks, unmatched_detections = [], [], []# 找出未匹配的detectionsfor col, detection_idx in enumerate(detection_indices):if col not in col_indices:unmatched_detections.append(detection_idx)# 找出未匹配的tracksfor row, track_idx in enumerate(track_indices):if row not in row_indices:unmatched_tracks.append(track_idx)# 遍历匹配的(track, detection)索引对for row, col in zip(row_indices, col_indices):track_idx = track_indices[row]detection_idx = detection_indices[col]# 如果相应的cost大于阈值max_distance，也视为未匹配成功if cost_matrix[row, col] > max_distance:unmatched_tracks.append(track_idx)unmatched_detections.append(detection_idx)else:matches.append((track_idx, detection_idx))return matches, unmatched_tracks, unmatched_detections

卡尔曼滤波（Kalman Filter）

卡尔曼滤波被广泛应用于无人机、自动驾驶、卫星导航等领域，简单来说，其作用就是基于传感器的测量值来更新预测值，以达到更精确的估计。

假设我们要跟踪小车的位置变化，如下图所示，蓝色的分布是卡尔曼滤波预测值，棕色的分布是传感器的测量值，灰色的分布就是预测值基于测量值更新后的最优估计。

在目标跟踪中，需要估计track的以下两个状态：

• 均值(Mean)：表示目标的位置信息，由bbox的中心坐标 (cx, cy)，宽高比r，高h，以及各自的速度变化值组成，由8维向量表示为 x = [cx, cy, r, h, vx, vy, vr, vh]，各个速度值初始化为0。
• 协方差(Covariance )：表示目标位置信息的不确定性，由8x8的对角矩阵表示，矩阵中数字越大则表明不确定性越大，可以以任意值初始化。

卡尔曼滤波分为两个阶段：(1) 预测track在下一时刻的位置，(2) 基于detection来更新预测的位置。

下面将介绍这两个阶段用到的计算公式。（这里不涉及公式的原理推导，因为我也不清楚原理(ಥ_ಥ) ，只是说明一下各个公式的作用）

预测

基于track在 t-1时刻的状态来预测其在 t时刻的状态。

在公式1中，x为track在t-1时刻的均值，F称为状态转移矩阵，该公式预测t时刻的x'：

矩阵F中的dt是当前帧和前一帧之间的差，将等号右边的矩阵乘法展开，可以得到cx'=cx+dt*vx，cy'=cy+dt*vy...，所以这里的卡尔曼滤波是一个匀速模型（Constant Velocity Model）。

在公式2中，P为track在t-1时刻的协方差，Q为系统的噪声矩阵，代表整个系统的可靠程度，一般初始化为很小的值，该公式预测t时刻的P'。

源码解读：

#  kalman_filter.py
def predict(self, mean, covariance):"""Run Kalman filter prediction step.Parameters----------mean: ndarray, the 8 dimensional mean vector of the object state at the previous time step.covariance: ndarray, the 8x8 dimensional covariance matrix of the object state at the previous time step.Returns-------(ndarray, ndarray), the mean vector and covariance matrix of the predicted state. Unobserved velocities are initialized to 0 mean."""std_pos = [self._std_weight_position * mean[3],self._std_weight_position * mean[3],1e-2,self._std_weight_position * mean[3]]std_vel = [self._std_weight_velocity * mean[3],self._std_weight_velocity * mean[3],1e-5,self._std_weight_velocity * mean[3]]motion_cov = np.diag(np.square(np.r_[std_pos, std_vel]))  # 初始化噪声矩阵Qmean = np.dot(self._motion_mat, mean)  # x' = Fxcovariance = np.linalg.multi_dot((self._motion_mat, covariance, self._motion_mat.T)) + motion_cov  # P' = FPF(T) + Qreturn mean, covariance

更新

基于 t时刻检测到的detection，校正与其关联的track的状态，得到一个更精确的结果。

在公式3中，z为detection的均值向量，不包含速度变化值，即z=[cx, cy, r, h]，H称为测量矩阵，它将track的均值向量x'映射到检测空间，该公式计算detection和track的均值误差；

在公式4中，R为检测器的噪声矩阵，它是一个4x4的对角矩阵，对角线上的值分别为中心点两个坐标以及宽高的噪声，以任意值初始化，一般设置宽高的噪声大于中心点的噪声，该公式先将协方差矩阵P'映射到检测空间，然后再加上噪声矩阵R；

公式5计算卡尔曼增益K，卡尔曼增益用于估计误差的重要程度；

公式6和公式7得到更新后的均值向量x和协方差矩阵P。

源码解读：

#  kalman_filter.py
def project(self, mean, covariance):"""Project state distribution to measurement space.Parameters----------mean: ndarray, the state's mean vector (8 dimensional array).covariance: ndarray, the state's covariance matrix (8x8 dimensional).Returns-------(ndarray, ndarray), the projected mean and covariance matrix of the given state estimate."""std = [self._std_weight_position * mean[3],self._std_weight_position * mean[3],1e-1,self._std_weight_position * mean[3]]innovation_cov = np.diag(np.square(std))  # 初始化噪声矩阵Rmean = np.dot(self._update_mat, mean)  # 将均值向量映射到检测空间，即Hx'covariance = np.linalg.multi_dot((self._update_mat, covariance, self._update_mat.T))  # 将协方差矩阵映射到检测空间，即HP'H^Treturn mean, covariance + innovation_covdef update(self, mean, covariance, measurement):"""Run Kalman filter correction step.Parameters----------mean: ndarra, the predicted state's mean vector (8 dimensional).covariance: ndarray, the state's covariance matrix (8x8 dimensional).measurement: ndarray, the 4 dimensional measurement vector (x, y, a, h), where (x, y) is the center position, a the aspect ratio, and h the height of the bounding box.Returns-------(ndarray, ndarray), the measurement-corrected state distribution."""# 将mean和covariance映射到检测空间，得到Hx'和Sprojected_mean, projected_cov = self.project(mean, covariance)# 矩阵分解（这一步没看懂）chol_factor, lower = scipy.linalg.cho_factor(projected_cov, lower=True, check_finite=False)# 计算卡尔曼增益K（这一步没看明白是如何对应上公式5的，求线代大佬指教）kalman_gain = scipy.linalg.cho_solve((chol_factor, lower), np.dot(covariance, self._update_mat.T).T,check_finite=False).T# z - Hx'innovation = measurement - projected_mean# x = x' + Kynew_mean = mean + np.dot(innovation, kalman_gain.T)# P = (I - KH)P'new_covariance = covariance - np.linalg.multi_dot((kalman_gain, projected_cov, kalman_gain.T))return new_mean, new_covariance

DeepSort工作流程

DeepSORT对每一帧的处理流程如下：

检测器得到bbox → 生成detections → 卡尔曼滤波预测→ 使用匈牙利算法将预测后的tracks和当前帧中的detecions进行匹配（级联匹配和IOU匹配） → 卡尔曼滤波更新

Frame 0：检测器检测到了3个detections，当前没有任何tracks，将这3个detections初始化为tracks
Frame 1：检测器又检测到了3个detections，对于Frame 0中的tracks，先进行预测得到新的tracks，然后使用匈牙利算法将新的tracks与detections进行匹配，得到(track, detection)匹配对，最后用每对中的detection更新对应的track

检测

使用Yolo作为检测器，检测当前帧中的bbox：

#  demo_yolo3_deepsort.py
def detect(self):while self.vdo.grab():...bbox_xcycwh, cls_conf, cls_ids = self.yolo3(im)  # 检测到的bbox[cx,cy,w,h]，置信度，类别idif bbox_xcycwh is not None:# 筛选出人的类别mask = cls_ids == 0bbox_xcycwh = bbox_xcycwh[mask]bbox_xcycwh[:, 3:] *= 1.2cls_conf = cls_conf[mask]...

生成detections

将检测到的bbox转换成detections：

#  deep_sort.py
def update(self, bbox_xywh, confidences, ori_img):self.height, self.width = ori_img.shape[:2]# 提取每个bbox的featurefeatures = self._get_features(bbox_xywh, ori_img)# [cx,cy,w,h] -> [x1,y1,w,h]bbox_tlwh = self._xywh_to_tlwh(bbox_xywh)# 过滤掉置信度小于self.min_confidence的bbox，生成detectionsdetections = [Detection(bbox_tlwh[i], conf, features[i]) for i,conf in enumerate(confidences) if conf > self.min_confidence]# NMS (这里self.nms_max_overlap的值为1，即保留了所有的detections)boxes = np.array([d.tlwh for d in detections])scores = np.array([d.confidence for d in detections])indices = non_max_suppression(boxes, self.nms_max_overlap, scores)detections = [detections[i] for i in indices]...

卡尔曼滤波预测阶段

使用卡尔曼滤波预测前一帧中的tracks在当前帧的状态：

#  track.py
def predict(self, kf):"""Propagate the state distribution to the current time step using a Kalman filter prediction step.Parameters----------kf: The Kalman filter."""self.mean, self.covariance = kf.predict(self.mean, self.covariance)  # 预测self.age += 1  # 该track自出现以来的总帧数加1self.time_since_update += 1  # 该track自最近一次更新以来的总帧数加1

匹配

首先对基于外观信息的马氏距离计算tracks和detections的代价矩阵，然后相继进行级联匹配和IOU匹配，最后得到当前帧的所有匹配对、未匹配的tracks以及未匹配的detections：

#  tracker.py
def _match(self, detections):def gated_metric(racks, dets, track_indices, detection_indices):"""基于外观信息和马氏距离，计算卡尔曼滤波预测的tracks和当前时刻检测到的detections的代价矩阵"""features = np.array([dets[i].feature for i in detection_indices])targets = np.array([tracks[i].track_id for i in track_indices]# 基于外观信息，计算tracks和detections的余弦距离代价矩阵cost_matrix = self.metric.distance(features, targets)# 基于马氏距离，过滤掉代价矩阵中一些不合适的项 (将其设置为一个较大的值)cost_matrix = linear_assignment.gate_cost_matrix(self.kf, cost_matrix, tracks, dets, track_indices, detection_indices)return cost_matrix# 区分开confirmed tracks和unconfirmed tracksconfirmed_tracks = [i for i, t in enumerate(self.tracks) if t.is_confirmed()]unconfirmed_tracks = [i for i, t in enumerate(self.tracks) if not t.is_confirmed()]# 对confirmd tracks进行级联匹配matches_a, unmatched_tracks_a, unmatched_detections = \linear_assignment.matching_cascade(gated_metric, self.metric.matching_threshold, self.max_age,self.tracks, detections, confirmed_tracks)# 对级联匹配中未匹配的tracks和unconfirmed tracks中time_since_update为1的tracks进行IOU匹配iou_track_candidates = unconfirmed_tracks + [k for k in unmatched_tracks_a ifself.tracks[k].time_since_update == 1]unmatched_tracks_a = [k for k in unmatched_tracks_a ifself.tracks[k].time_since_update != 1]matches_b, unmatched_tracks_b, unmatched_detections = \linear_assignment.min_cost_matching(iou_matching.iou_cost, self.max_iou_distance, self.tracks,detections, iou_track_candidates, unmatched_detections)# 整合所有的匹配对和未匹配的tracksmatches = matches_a + matches_bunmatched_tracks = list(set(unmatched_tracks_a + unmatched_tracks_b))return matches, unmatched_tracks, unmatched_detections# 级联匹配源码  linear_assignment.py
def matching_cascade(distance_metric, max_distance, cascade_depth, tracks, detections, track_indices=None, detection_indices=None):...unmatched_detections = detection_indicematches = []# 由小到大依次对每个level的tracks做匹配for level in range(cascade_depth):# 如果没有detections，退出循环if len(unmatched_detections) == 0:  break# 当前level的所有tracks索引track_indices_l = [k for k in track_indices if tracks[k].time_since_update == 1 + level]# 如果当前level没有track，继续if len(track_indices_l) == 0: continue# 匈牙利匹配matches_l, _, unmatched_detections = min_cost_matching(distance_metric, max_distance, tracks, detections, track_indices_l, unmatched_detections)matches += matches_lunmatched_tracks = list(set(track_indices) - set(k for k, _ in matches))return matches, unmatched_tracks, unmatched_detections

卡尔曼滤波更新阶段

对于每个匹配成功的track，用其对应的detection进行更新，并处理未匹配tracks和detections：

#  tracker.py
def update(self, detections):"""Perform measurement update and track management.Parameters----------detections: List[deep_sort.detection.Detection]A list of detections at the current time step."""# 得到匹配对、未匹配的tracks、未匹配的dectectionsmatches, unmatched_tracks, unmatched_detections = self._match(detections)# 对于每个匹配成功的track，用其对应的detection进行更新for track_idx, detection_idx in matches:self.tracks[track_idx].update(self.kf, detections[detection_idx])# 对于未匹配的成功的track，将其标记为丢失for track_idx in unmatched_tracks:self.tracks[track_idx].mark_missed()# 对于未匹配成功的detection，初始化为新的trackfor detection_idx in unmatched_detections:self._initiate_track(detections[detection_idx])...