部分截图来自原课程视频《2023李宏毅最新生成式AI教程》，B站自行搜索。

Diffusion Model回顾

前情回顾[07.Diffusion Model概述](https://blog.csdn.net/oldmao_2001/article/details/1341964 78)

VAE和Diffusion Model在构架上比较相似：

Diffusion Model算法

Training

第一行的repeat代表循环，执行2~5行，直到收敛停止。
第二行的$x_0\sim q(x_0)$中的$x_0$表示清晰的图片，整个语句表示采样一张图片。
第三行表示从 { 1 , ⋯ , T } \{1,\cdots,T\} {1,⋯,T}中采样一个整数$t$，$T$是一个很大的数字。
第四行表示从Normal Distribution中采样一个噪音$ϵ$

第五行比较复杂，先看：
$$\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}ϵ$$

这里表示将清晰的图片与噪音按权重进行相加得到的结果：

这里的权重： α ˉ t ∈ → s m a l l e r { α ˉ 1 , α ˉ 2 , ⋯ , α ˉ T } \bar{\alpha}_t \in \xrightarrow[smaller]{\{\bar{\alpha}_1,\bar{\alpha}_2,\cdots,\bar{\alpha}_T\}} αˉt​∈{αˉ1​,αˉ2​,⋯,αˉT​} smaller​
这里的${\bar{\alpha }}_1$到${\bar{\alpha }}_T$是从大到小的关系。若从$T$中采样到的$t$越大，则$\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}$越小，$\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}$越大，表示二者相加时噪音占的权重就越大。
然后将权重相加结果丢进Noise predictor：${ϵ}_{\theta }$
$${ϵ}_{\theta }(\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}ϵ,t)$$
然后计算预测结果与真实噪音的差异，并更新Noise predictor参数，使其预测结果越接近真实噪音越好。
需要注意的是，和上节课程中讲的有亿点点不一样，之前原理课中介绍Diffusion模型加噪音是逐步加的，在论文的具体实作上却是一步到位的，后面有推导为什么可以这样做：

Inference

第一步，先从Normal Distribution中采样一个噪音$x_T$：

第二步，循环执行3，4步，共$T$次
第三步，再从Normal Distribution中采样一个噪音$z$
第四步中：
$x_t$是第$t$个步骤得到的结果：

第四步$x_{t-1}$的公式可用下图表示，黄色部分忘记标上${\delta }_t$，此外还有两组权重： { α ˉ 1 , α ˉ 2 , ⋯ , α ˉ T } \{\bar{\alpha}_1,\bar{\alpha}_2,\cdots,\bar{\alpha}_T\} {αˉ1​,αˉ2​,⋯,αˉT​}和 { α 1 , α 2 , ⋯ , α T } \{{\alpha}_1,{\alpha}_2,\cdots,{\alpha}_T\} {α1​,α2​,⋯,αT​}

在开始数学推导之前，先简单回顾图像生成模型的本质（上节课其实有讲）。

图像生成模型的本质目标

从一个已知的简单分布，例如：mean是0，每个维度的variance是1的高斯分布，采样出一个向量$z$，丢进网络$G$，得到一张图片：

我们希望找到一个网络$G$，使其生成的x与实际图片的分布越接近越好

对于文字生成图片任务也类似，只不过是多加了一个文字输入作为限制条件：

这里一段文字对应的图片可以有无数种答案，因此也是一个分布，比较上面两种模型，有没有其实差异并不大，因此后面的数学推导为了简便，先不考虑文字的输入。

MLE vs KL

上面考虑两个分布越接近越好，在数学上求解一种思路就是使用MLE（Maximum Likelihood Estimation），将网络$G$的参数记为$\theta$，则生成图片的结果记为：$P_{\theta }(x)$，而实际图片（训练数据）记为：$P_{data}(x)$

则任务可以描述为：
从训练数据$P_{data}(x)$采样得到： { x 1 , x 2 , ⋯ , x m } \{x^1,x^2,\cdots,x^m\} {x1,x2,⋯,xm}，若可计算$P_{\theta }(x^i)$，则根据MLE可知，我们要找到一组参数${\theta }^{\ast }$，使得：
$${\theta }^{\ast }=arg\underset{\theta }{\max }\prod _{i=1}^m{P}_{\theta }(x^i)$$
也就是参数${\theta }^{\ast }$让网络产生这些真实图片 { x 1 , x 2 , ⋯ , x m } \{x^1,x^2,\cdots,x^m\} {x1,x2,⋯,xm}的几率最大。
注：这里的$P_{\theta }(x^i)$实际上无法计算，因为它不是简单几个高斯叠加的GMM，而非常复杂。

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证明：最大化MLE与最小化KL等价。
$$\begin{array}{rl}{\theta }^{\ast }& =arg\underset{\theta }{\max }\prod _{i=1}^m{P}_{\theta }(x^i)\\ & =arg\underset{\theta }{\max }\log \prod _{i=1}^m{P}_{\theta }(x^i)\\ & =arg\underset{\theta }{\max }\sum _{i=1}^m\log P_{\theta }(x^i)\\ & \approx arg\underset{\theta }{\max }{E}_{x\sim P_{data}}[\log P_{\theta }(x)]\\ & =arg\underset{\theta }{\max }{\int }_x{P}_{data}(x)\log P_{\theta }(x)dx\end{array}$$
先取对数，然后连乘变累加，结果与求期望值相近似，再根据期望的定义写成积分形式。这里将积分项减去一个与$\theta$无关的项，不影响求最大值：
$${\int }_x{P}_{data}(x)\log P_{data}(x)dx$$
这里$P_{data}(x)$只和训练数据有关，与$\theta$无关，减去积分项后就可以合并，然后就写成了最小化两个分布KL散度的形式。
$$\begin{array}{rl}& =arg\underset{\theta }{\max }{\int }_x{P}_{data}(x)\log P_{\theta }(x)dx\\ & =arg\underset{\theta }{\max }\left({\int }_x{P}_{data}(x)\log P_{\theta }(x)dx-{\int }_x{P}_{data}(x)\log P_{data}(x)dx\right)\\ & =arg\underset{\theta }{\max }{\int }_x{P}_{data}(x)\log \frac{P_{\theta }(x)}{P_{data}(x)}dx\\ & =arg\underset{\theta }{\min }KL\left(P_{data}(x)||P_{\theta }(x)\right)\end{array}$$

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VAE

先回顾 VAE的计算，因为VAE和Diffusion很像，有些推导的过程也可以借鉴。

计算$P_{\theta }(x)$

VAE的$P_{\theta }(x)$可以写成：
$$P_{\theta }(x)={\int }_{z}P(z)P_{\theta }(x|z)dz$$
先求$z$产生的概率，然后求在$z$条件下产生$x$的概率，然后是针对所有$z$进行积分，就得到了$P_{\theta }(x)$
其中$P(z)$是已知的简单分布，对应上图中的粉红色圈圈。
$P_{\theta }(x|z)$如果采用如下定义：
$$P_{\theta }(x|z)=\{\begin{array}{l}1,G(z)=x\\ 0,G(z)\ne x\end{array}$$
表示$z$通过网络刚好与我们要的图片完全相同，那么就记为1，否则记为0。在图像生成任务这样做会使得上面的表达大概率是0，因为图片即使有1个像素不同也会使得$P_{\theta }(x|z)=0$
解决的方法就是用一个范围来表示网络的输出，如下图所示，$G(z)$表示一个高斯分布的Mean：

$P_{\theta }(x|z)$的定义就变成：
$$P_{\theta }(x|z)\propto \exp (-||G(z)-x|{|}_2)$$
表示$x$与高斯分布中心越近，产生它的概率越大。

Lower bound of $\log P(x)$

这里讲得比较简略，详细可以看这里：李宏毅学习笔记27.Unsupervised Learning.05: Deep Generative Model (Part II)
需要说明的是：概率$P_{\theta }(x)$需要网络的参数$\theta$才能计算出来，因此把其作为下标，后面很多地方都把下标$\theta$进行了省略。
上来直接从损失函数那里往后推：
$$\log P_{\theta }(x)={\int }_{z}q(z|x)\log P(x)dz$$
由于$\log P(x)$和z无关，由于${\int }_{z}q(z|x)dz=1$（这里的$q(z|x)$是任意一个分布，积分起来就是1），所以等式成立。
$$\begin{array}{rl}& ={\int }_{z}q(z|x)\log \left(\frac{P(z,x)}{P(z|x)}\right)dz\\ & ={\int }_{z}q(z|x)\log \left(\frac{P(z,x)}{q(z|x)}\frac{q(z|x)}{P(z|x)}\right)dz\\ & ={\int }_{z}q(z|x)\log \left(\frac{P(z,x)}{q(z|x)}\right)dz+{\int }_{z}q(z|x)\log \left(\frac{q(z|x)}{P(z|x)}\right)dz\\ & \ge {\int }_{z}q(z|x)\log \left(\frac{P(z,x)}{q(z|x)}\right)dz=E_{q(z|x)}\left[\log \left(\frac{P(x,z)}{q(z|x)}\right)\right]\end{array}$$
上面倒数第二行中的最后一项可以看成是两个分布的KL散度，两个分布由于不可能相似，所以该项大于0，所以就写成：
$$KL(q(z|x)||P(z|x))\ge 0$$
所以才推导出整个式子的下限，最后可以写成期望的形式，其中的$q(z|x)$就是VAE中的Encoder。

DDPM

计算$P_{\theta }(x)$

Diffusion模型生成图片理论上是从一张噪音图片$x_T$开始，不断经过Denoise模块后得到最终结果。

中间第$t$个单步的输入输出可以表示为：

数学上可以写为：
$$P_{\theta }(x_{t-1}|x_t)\propto \exp (-||G(x_t)-x_{t-1}|{|}_2)$$
那么某张图片$x_0$产生的概率可以写为：
$$P_{\theta }(x_0)={\int }_{x_1:x_T}P(x_t)P_{\theta }(x_{T-1}|x_T)\cdots P_{\theta }(x_{t-1}|x_t)\cdots P_{\theta }(x_0|x_1)d{x}_1:x_T$$
积分号下面的$x_1:x_T$表示从$x_1$到$x_T$逐个计算，上式中的第一个$P$没有下标$\theta$，因为噪音$x_T$产生是从简单的高斯分布从采样的，没有经过Denoise模块，与参数$\theta$无关。

Lower bound of $\log P(x)$

原理

DDPM中$\log P(x)$的下界与VAE的推导一样，VAE的推导已省略，要想
$$\text{Maximize}\log P_{\theta }(x_0)$$
则要提高$\log P(x)$的下界：
$$\text{Maximize}{E}_{q(x_1:x_T|x_0)}\left[\log \left(\frac{P(x_0:x_T)}{q(x_1:x_T|x_0)}\right)\right]$$
其中，表示Forward Process的$q(x_1:x_T|x_0)$可以写为：
$$q(x_1:x_T|x_0)=q(x_1|x_0)q(x_2|x_1)\cdots q(x_T|x_{T-1})$$

VAE与DDPM二者的下界对比如下图，就不画表格了。

下面来看上面公式中Forward Process中的通项$q(x_t|x_{t-1})$如何计算，在DDPM中，$x_t$与$x_{t-1}$的关系如下图所示：

${\beta }_1,{\beta }_2\cdots ,{\beta }_T$是预先定义好的权重值（超参数），用来调整noise的占比，最右边的noise是从$\mathcal{N}(0,I)$中采样得来。
整个$q(x_t|x_{t-1})$是一个高斯分布，其Mean为：$\sqrt{1-{\beta }_t}{x}_t$，各个维度的Variance都一样，是：$\sqrt{{\beta }_t}$

Reverse Process的通项$q(x_t|x_0)$在理论上应该是一步步计算的：

注：$q(x_t|x_0)$的意思是给定清晰图片$x_0$的情况下，得到$x_t$的分布概率。
但是实际上可以选择一步到位，看下图：

第一行是$x_0$到$x_1$的过程，第二行是$x_1$到$x_2$的过程，两次加的噪音都是从同一个高斯分布中采样出来的，但是是两次独立的采样（红色箭头），然后可以把第一行红框处的部分带入第二行的$x_1$，得到：

由于两次采样是从同一个高斯分布而来，虽然乘了不同的系数，我们还是可以将两次采样合并为一个采样（如下图的红框合并为黄色采样结果）：

这样一来，本来两次的采样就合并为一次了，同理，如果有多次采样，也可以用相同的方法合并为一步到位，只不过前面的系数有变化而已。

如上图所示，第$t$步的$q(x_t|x_0)$系数分别为：$\sqrt{1-{\beta }_1}\cdots \sqrt{1-{\beta }_t}$和$\sqrt{1-(1-{\beta }_1)\cdots (1-{\beta }_t)}$
为了简化表达，令：
$$\begin{gathered} {\alpha }_t=1-{\beta }_t \\ {\bar{\alpha }}_t={\alpha }_1{\alpha }_2\cdots {\alpha }_t \end{gathered}$$
上面的系数就可写成：
$$\begin{gathered} \sqrt{{\bar{\alpha }}_t} \\ \sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t} \end{gathered}$$

数学推导

然后就是从论文Understanding Diffusion Models: A Unified Perspective中摘抄过来的下限的推导：
$$\begin{array}{rl}\log P(x)& \ge E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_{0:T})}{q(x_{1:T}|x_0)}\right]\\ & =E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T){\prod }_{t=1}^T{p}_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{{\prod }_{t=1}^{T}q(x_t|x_{t-1})}\right]\\ & =E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T)p_{\theta }(x_0|x_1){\prod }_{t=2}^T{p}_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{q(x_1|x_0){\prod }_{t=2}^{T}q(x_t|x_{t-1})}\right]\\ & =E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T)p_{\theta }(x_0|x_1){\prod }_{t=2}^T{p}_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{q(x_1|x_0){\prod }_{t=2}^{T}q(x_t|x_{t-1},x_0)}\right]\\ & =E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T)p_{\theta }(x_0|x_1)}{q(x_1|x_0)}+\log \prod _{t=2}^T\frac{p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{q(x_t|x_{t-1},x_0)}\right]\\ & =E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T)p_{\theta }(x_0|x_1)}{q(x_1|x_0)}+\log \prod _{t=2}^T\frac{p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{\frac{q(x_{t-1}|x_t,x_0)q(x_t|x_0)}{q(x_{t-1}|x_0)}}\right]\\ & =E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T)p_{\theta }(x_0|x_1)}{q(x_1|x_0)}+\log \prod _{t=2}^T\frac{p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{\frac{q(x_{t-1}|x_t,x_0)\cancel{q(x_t|x_0)}}{\cancel{q(x_{t-1}|x_0)}}}\right]\\ & =E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T)p_{\theta }(x_0|x_1)}{\cancel{q(x_1|x_0)}}+\log \frac{\cancel{q(x_1|x_0)}}{q(x_T|x_0)}+\log \prod _{t=2}^T\frac{p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{q(x_{t-1}|x_t,x_0)}\right]\\ & =E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T)p_{\theta }(x_0|x_1)}{q(x_T|x_0)}+\sum _{t=2}^T\log \frac{p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{q(x_{t-1}|x_t,x_0)}\right]\\ & =E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log p_{\theta }(x_0|x_1)\right]+E_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T)}{q(x_T|x_0)}\right]+\sum _{t=2}^T{E}_{q(x_{1:T}|x_0)}\left[\log \frac{p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{q(x_{t-1}|x_t,x_0)}\right]\\ & =E_{q(x_1|x_0)}\left[\log p_{\theta }(x_0|x_1)\right]+E_{q(x_T|x_0)}\left[\log \frac{p(x_T)}{q(x_T|x_0)}\right]+\sum _{t=2}^T{E}_{q(x_t,x_{t-1}|x_0)}\left[\log \frac{p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)}{q(x_{t-1}|x_t,x_0)}\right]\\ & =\underset{\text{reconstruction term}}{\underbrace{E_{q(x_1|x_0)}\left[\log p_{\theta }(x_0|x_1)\right]}}-\underset{\text{prior matching term}}{\underbrace{D_{KL}(q(x_T|x_0)||p(x_T))}}-\sum _{t=2}^T\underset{\text{denoising matching term}}{\underbrace{E_{q(x_t|x_0)}\left[D_{KL}(q(x_{t-1}|x_t,x_0)||p_{\theta }(x_{t-1}|x_t))\right]}}\end{array}$$
原文公式51的第一个$p$多了一个$\theta$

上面的结果中的第二项prior matching term可以忽略，原文中直接给0值，这项是衡量两个分布的相似度，一个分布是从搞屎采样出来的噪音$x_T$，另外是给定清晰图片$x_0$进行diffusion process得到$x_T$的过程，该过程由我们自己操控，两个分布毫无相似度，因此为0。李老师在这里的解释是因为该表达式中没有包含网络参数$\theta$，因此与要最大化的下限无关，可以忽略。
现在的下限等于第一项（reconstruction term）减去第三项（denoising matching term），要使得整体最大化，就是要第一项越大越好，第三项越接近0越好，这里推导第一项的过程与第三项相似，因此只推导第三项。

写到这里由于字数太多，需要令开一篇。