数据结构：AVL树讲解（C++）

AVL树

    • 1.AVL树的概念
    • 2.平衡因子
    • 3.节点的定义
    • 4.插入操作
    • 5.旋转操作（重点）
      • 5.1左单旋
      • 5.2右单旋
      • 5.3左右双旋
      • 5.4右左双旋
    • 6.一些简单的测试接口
    • 7.完整代码

1.AVL树的概念

普通二叉搜索树：二叉搜索树

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序普通的二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法(AVL树是以这两位的名字命名的)：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1，超过了需要对树中的结点进行调整(旋转)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

AVL树也是二叉搜索树，但有以下特点：

  • 它的左右子树都是AVL树
  • 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)
  • 如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在 O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2​n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2​n)。



2.平衡因子

AVL树的实现有很多种，本文引入平衡因子来维持高度稳定。
本文平衡因子的定义：右子树高度 - 左子树的高度。

依据每个节点的平衡因子，我们可以判断树的情况：

  • 平衡因子在(-1, 0, 1)，当前节点所在子树是稳定的。
  • 平衡因子为2或-2，当前节点所在子树是不稳定的。

插入节点后平衡因子的更新：

  • 插入节点在右子树，平衡因子加一。
  • 插入节点在左子树，平衡因子减一。

插入节点后平衡因子的不同情况（重点）：

  • 当前节点所在子树平衡因子为0，子树高度不变，不需要更新
    （原来一边高一边低，新插入在低一方，变成完全平衡）。
  • 当前节点所在子树平衡因子为1或-1，子树高度变化，需要向上更新。
    （原来完全平衡，现在一边高，子树整体高度加1，会影响到祖先的平衡，故需要向上更新看祖先所在子树是否平衡）
  • 当前节点所在子树平衡因子为2或-2，子树高度变化且不平衡，无需向上更新，对当前子树进行旋转操作。
    （当前子树已不平衡，向上更新没有意义，旋转操作是AVL树的核心，可以降低当前子树的高度且不影响上面的树结构）

在这里插入图片描述



3.节点的定义

节点除了需要增加一个平衡因子，还需要增加一个父亲指针，方便我们进行平衡因子的向上更新和旋转操作。

template<class K, class V>
struct ALVTreeNode
{ALVTreeNode<K, V>* _left;ALVTreeNode<K, V>* _right;ALVTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;  //存储键值对int _bf;  //平衡因子ALVTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0),_kv(kv){}
};



4.插入操作

PS：因为多加了一个父亲指针，所以插入时要注意更新父亲指针，平衡因子更新按前面的分析来还是比较简单的，旋转操作后面单独讲。

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr) //一开始为空树，直接插入即可{_root = new Node(kv);return true;}//找插入位置加插入Node* cur = _root;  //记录插入位置Node* parent = nullptr;  //待插入位置的父亲while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first)  //待插入节点在右子树{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first)  //待插入节点在左子树{parent = cur;cur = cur->_left;}else  //待插入节点已存在{return false;}}cur = new Node(kv);if (kv.first > parent->_kv.first)  //插入在父亲的右边{parent->_right = cur;}else  //插入在父亲的左边{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;  //注意更新父亲指针//调整平衡因子while (parent)  //是有可能调整到根部的{if (cur == parent->_right)  //如果新插入的在右子树{parent->_bf++;}else if (cur == parent->_left)  //如果新插入的在左子树{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0) //插入后高度不变{break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)  //插入后高度变化，但当前子树依然平衡，需要向上更新{parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)  //插入后高度变化，并且当前子树已经不平衡,旋转{//旋转操作（先省略）break;}else //存在大于2小于-2的情况，树原来就不平衡，应该报错{assert(false);}}return true;
}



5.旋转操作（重点）

5.1左单旋

主体思想：

在这里插入图片描述


平衡因子的调整：
在这里插入图片描述


代码加细节处理：

在这里插入图片描述

void RotateL(Node* parent)  //左单旋,rotate->旋转
{Node* SubR = parent->_right;Node* SubRL = SubR->_left;  //这个有可能为空Node* ppnode = parent->_parent;  //原来父亲的父亲parent->_right = SubRL;if(SubRL)  SubRL->_parent = parent;SubR->_left = parent;parent->_parent = SubR;if (ppnode == nullptr)  //旋转的是整颗树{_root = SubR;SubR->_parent = nullptr;}else  //旋转的是部分{if (ppnode->_left == parent) //是左子树{ppnode->_left = SubR;}else  //是右子树{ppnode->_right = SubR;}SubR->_parent = ppnode;}//最后更新平衡因子parent->_bf = SubR->_bf = 0;
}

5.2右单旋

PS：右单旋和左单旋类似，细节处理也差不多，这里只讲主体思路。
主体思路：
在这里插入图片描述

平衡因子的调整：
在这里插入图片描述

代码：

void RotateR(Node* parent)  //右单旋细节处理和左单旋差不多
{Node* SubL = parent->_left;Node* SubLR = SubL->_right;  //这个有可能为空Node* ppnode = parent->_parent;parent->_left = SubLR;if(SubLR)  SubLR->_parent = parent;SubL->_right = parent;parent->_parent = SubL;if (ppnode == nullptr)  //旋转的是整颗树{_root = SubL;SubL->_parent = nullptr;}else  //旋转部分{if (ppnode->_left == parent)  //是左子树{ppnode->_left = SubL;}else  //右子树{ppnode->_right = SubL;}SubL->_parent = ppnode;}//最后更新平衡因子parent->_bf = SubL->_bf = 0;
}

5.3左右双旋

PS：双旋其实就是两次单旋(复用即可)，有前面的基础很好理解，重点在于旋转后平衡因子的更新。

旋转思路：
在这里插入图片描述

平衡因子的调整：
想知道平衡因子调整是那种情况，我们需要在旋转前记录SubRL的平衡因子bf：

  • bf为0是第一种情况。
  • bf为1是第二种情况。
  • bf为-1是第三种情况。

在这里插入图片描述

代码：

void RotateLR(Node* parent)  //左右双旋
{Node* SubL = parent->_left;Node* SubLR = SubL->_right;int bf = SubLR->_bf;RotateL(SubL);RotateR(parent);if (bf == 1) //插入的是右边{SubLR->_bf = 0;SubL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1) //插入的是左边{SubLR->_bf = 0;SubL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 0) //刚好原来parent的左边就两个节点{SubLR->_bf = SubL->_bf = parent->_bf = 0;}else  //原来就不是平衡树，出现问题{assert(false);}
}

5.4右左双旋

PS：右左双旋和左右双旋思路是差不多的，重点还是在旋转后平衡因子的更新。

旋转思路：
在这里插入图片描述

平衡因子的调整：
和前面一样，旋转前确认SubRL的平衡因子bf即可。
在这里插入图片描述

代码：

void RotateRL(Node* parent)  //右左双旋
{Node* SubR = parent->_right;Node* SubRL = SubR->_left;int bf = SubRL->_bf;RotateR(SubR);RotateL(parent);if (bf == 1)  //插入的是右边{SubRL->_bf = 0;SubR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1) //插入的是左边{SubRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;SubR->_bf = 1;}else if (bf == 0)  //原来parent的右边就两个节点{SubRL->_bf = SubR->_bf = parent->_bf = 0;}else //原来就有问题{assert(false);}
}



6.一些简单的测试接口

int Height()
{return _Height(_root);
}int _Height(Node* root)  //求高度的
{if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}bool IsBalance()
{return IsBalance(_root);
}//看当前树是不是平衡树
//（1）看每个子树是否满足左右子树高度差不超过一
//（2）看平衡因子和所求的左右子树高度差是否一致
bool IsBalance(Node* root)
{if (root == nullptr)return true;int leftHight = _Height(root->_left);int rightHight = _Height(root->_right);if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << "->" << root->_bf << endl;return false;}return abs(rightHight - leftHight) < 2&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);
}



7.完整代码

#pragma once
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <utility>
using namespace std;template<class K, class V>
struct ALVTreeNode
{ALVTreeNode<K, V>* _left;ALVTreeNode<K, V>* _right;ALVTreeNode<K, V>* _parent;pair<K, V> _kv;  //存储键值对int _bf;ALVTreeNode(const pair<K, V>& kv):_left(nullptr),_right(nullptr),_parent(nullptr),_bf(0),_kv(kv){}
};template<class K, class V>
class AVLTree
{
public:typedef ALVTreeNode<K, V> Node;bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr) //一开始为空树，直接插入即可{_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;  //记录插入位置Node* parent = nullptr;  //待插入位置的父亲while (cur){if (kv.first > cur->_kv.first)  //待插入节点在右子树{parent = cur;cur = cur->_right;}else if (kv.first < cur->_kv.first)  //待插入节点在左子树{parent = cur;cur = cur->_left;}else  //待插入节点已存在{return false;}}cur = new Node(kv);if (kv.first > parent->_kv.first)  //插入在父亲的右边{parent->_right = cur;}else  //插入在父亲的左边{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;//调整平衡因子while (parent)  //是有可能调整到根部的{if (cur == parent->_right)  //如果新插入的是右子树{parent->_bf++;}else if (cur == parent->_left)  //如果新插入的是左子树{parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0) //插入后高度不变{break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)  //插入后高度变化，但当前子树依然平衡，需要向上更新{parent = parent->_parent;cur = cur->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)  //插入后高度变化，并且当前子树已经不平衡,旋转{//旋转if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)  //左单旋{RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1) //右单旋{RotateR(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)  //左子树的右边高，左右双旋{RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)  //右子树的左边高，右左双旋{RotateRL(parent);}else  //原来就不是平衡树{assert(false);}break;}else //树原来就不平衡，应该报错{assert(false);}}return true;}////int Height(){return _Height(_root);}int _Height(Node* root)  //求高度的{if (root == nullptr)return 0;int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;}bool IsBalance(){return IsBalance(_root);}//看当前树是不是平衡树//（1）看每个子树是否满足左右子树高度差不超过一//（2）看平衡因子和所求的左右子树高度差是否一致bool IsBalance(Node* root){if (root == nullptr)return true;int leftHight = _Height(root->_left);int rightHight = _Height(root->_right);if (rightHight - leftHight != root->_bf){cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << "->" << root->_bf << endl;return false;}return abs(rightHight - leftHight) < 2&& IsBalance(root->_left)&& IsBalance(root->_right);}private:void RotateL(Node* parent)  //左单旋,rotate->旋转{Node* SubR = parent->_right;Node* SubRL = SubR->_left;  //这个有可能为空Node* ppnode = parent->_parent;  //原来父亲的父亲parent->_right = SubRL;if(SubRL)  SubRL->_parent = parent;SubR->_left = parent;parent->_parent = SubR;if (ppnode == nullptr)  //旋转的是整颗树{_root = SubR;SubR->_parent = nullptr;}else  //旋转的是部分{if (ppnode->_left == parent) //是左子树{ppnode->_left = SubR;}else  //是右子树{ppnode->_right = SubR;}SubR->_parent = ppnode;}//最后更新平衡因子parent->_bf = SubR->_bf = 0;}void RotateR(Node* parent)  //右单旋细节处理和左单旋差不多{Node* SubL = parent->_left;Node* SubLR = SubL->_right;  //这个有可能为空Node* ppnode = parent->_parent;parent->_left = SubLR;if(SubLR)  SubLR->_parent = parent;SubL->_right = parent;parent->_parent = SubL;if (ppnode == nullptr)  //旋转的是整颗树{_root = SubL;SubL->_parent = nullptr;}else  //旋转部分{if (ppnode->_left == parent)  //是左子树{ppnode->_left = SubL;}else  //右子树{ppnode->_right = SubL;}SubL->_parent = ppnode;}//最后更新平衡因子parent->_bf = SubL->_bf = 0;}void RotateLR(Node* parent)  //左右双旋{Node* SubL = parent->_left;Node* SubLR = SubL->_right;int bf = SubLR->_bf;RotateL(SubL);RotateR(parent);if (bf == 1) //插入的是右边{SubLR->_bf = 0;SubL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == -1) //插入的是左边{SubLR->_bf = 0;SubL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 0) //刚好原来parent的左边就两个节点{SubLR->_bf = SubL->_bf = parent->_bf = 0;}else  //原来就不是平衡树，出现问题{assert(false);}}void RotateRL(Node* parent)  //右左双旋{Node* SubR = parent->_right;Node* SubRL = SubR->_left;int bf = SubRL->_bf;RotateR(SubR);RotateL(parent);if (bf == 1)  //插入的是右边{SubRL->_bf = 0;SubR->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1) //插入的是左边{SubRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;SubR->_bf = 1;}else if (bf == 0)  //原来parent的右边就两个节点{SubRL->_bf = SubR->_bf = parent->_bf = 0;}else //原来就有问题{assert(false);}}Node* _root = nullptr;
};

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