1 原函数存在性和可积性

1.1 函数可积的充分条件（判定条件）

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 可积
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有有限个第一类间断点，则 $f(x)$ 可积
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，只有有限个间断点，则 $f(x)$ 可积
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调有界，则 $f(x)$ 可积

1.2 函数存在原函数的充分条件（判定条件）

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上存在原函数 $F(x)$
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有第一类间断点，则 $f(x)$ 不存在原函数
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有无穷间断点，则 $f(x)$ 不存在原函数

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的情况	原函数是否存在	是否可积
连续无间断	是，且为 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$	是
可去间断点（有限个）	否	是
跳跃间断点（有限个）	否	是
无穷间断点	否	可能
振荡间断点	可能	可能

1.3 函数可积的必要条件（性质）

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$f(x)\ge 0$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，$f(x)>0$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx>0$
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$f(x)\ge 0$ 且不恒等于 $0$，则 ${\int }_a^{b}f(x)dx>0$

1.4 变上限积分的性质

设 $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt,x\in [a,b]$，则有：

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $k$ 阶可导，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上 $k+1$ 阶可导

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的情况	是否可积	面积 $F(x)$	$F(x)$ 是否为 $f(x)$ 的原函数	$F(x)$ 是否在 $x=x_0$ 连续	$F(x)$ 是否在 $x=x_0$ 可导
连续无间断	是	$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$	是	是	是
存在可去间断点 $x=x_0$	是	$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$	否	是	是
存在跳跃间断点 $x=x_0$	是	$F(x)=\{\begin{array}{ll}{\int }_a^{x}f(t)dt,& x\le x_0\\ {\int }_a^{x_0}f(t)dt+{\int }_{x_0}^{x}f(t)dt,& x>x_0\end{array}$	否	是	否

2 平面图形

2.1 平面图形的面积

2.1.1 直角坐标系下的平面图形的面积

当 $f(x)\ge g(x),x\in [a,b]$ 时，所围面积为

$$S=\underset{D}{\iint }dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_{g(x)}^{f(x)}dy={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx$$

2.1.2 参数方程形式下的平面图形的面积

设曲线方程 $y=f(x),x\in [a,b]$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$ 确定，则所围曲边梯形的面积为

$$S=\underset{D}{\iint }dxdy={\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}dy={\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)x^{\prime }(t)dt$$

2.1.3 极坐标系下的平面图形的面积

当 $r_2(\theta )\ge r_1(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]$ 时，所围面积为

$$S=\underset{D}{\iint }dxdy=\underset{D}{\iint }rdrd\theta ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}rdr=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }[r_2^2(\theta )-r_1^2(\theta )]d\theta$$

---

极坐标方程的角度定限问题

【$k$ 叶玫瑰线】极坐标下的形式为 $r=a\sin k\theta$ 或 $r=a\cos k\theta$。参数为 $k$ 的玫瑰线，在 $[0,2\pi ]$ 上会形成 $2k$ 个花瓣，其中 $k$ 个极径为正，$k$ 个极径为负。当 $k$ 为奇数时，$k$ 个正极径花瓣和 $k$ 个负极径花瓣两两重叠，实际只有 $k$ 个花瓣，此时可认为极径永为正。

【例 1】求 $r=\sin 3\theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0,2\pi ]\Rightarrow 3\theta \in [0,6\pi ]$。

因为 $r=\sin 3\theta \ge 0$，所以有 $3\theta \in [0,\pi ]\cup [2\pi ,3\pi ]\cup [4\pi ,5\pi ]$，即 $\theta \in [0,\frac{\pi }{3}]\cup [\frac{2\pi }{3},\pi ]\cup [\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3}]$。

注意 k 为奇数，因此只需考虑极径为正的情况即可，所以面积为

$$S=({\int }_0^{\frac{\pi }{3}}+{\int }_{\frac{2\pi }{3}}^{\pi }+{\int }_{\frac{4\pi }{3}}^{\frac{5\pi }{3}})d\theta {\int }_0^{\sin 3\theta }rdr=3{\int }_0^{\frac{\pi }{3}}d\theta {\int }_0^{\sin 3\theta }rdr$$

【例 2】求 $r=\sin 2\theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0,2\pi ]\Rightarrow 2\theta \in [0,4\pi ]$。

因为 $r=\sin 2\theta \ge 0$，所以有 $2\theta \in [0,\pi ]\cup [2\pi ,3\pi ]$，即 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]\cup [\pi ,\frac{3\pi }{2}]$。

注意 k 为偶数，而这里只考察了极径为正的情况，所以面积还需要乘以 2，如下

$$S=2({\int }_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_{\frac{3\pi }{2}}^{\pi })d\theta {\int }_0^{\sin 2\theta }rdr=4{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^{\sin 2\theta }rdr$$

【例 3】求 $r=\cos 2\theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0,2\pi ]\Rightarrow 2\theta \in [0,4\pi ]$。

当 $r=\cos 2\theta \ge 0$ 时，有 $2\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]\cup [\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}]\cup [\frac{7\pi }{2},2\pi ]$，即 $\theta \in [0,\frac{\pi }{4}]\cup [\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]\cup [\frac{7\pi }{4},2\pi ]$。

注意 k 为偶数，而这里只考察了极径为正的情况，所以面积还需要乘以 2，如下

$$S=2({\int }_0^{\frac{\pi }{4}}+{\int }_{\frac{3\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}+{\int }_{\frac{7\pi }{4}}^{2\pi })d\theta {\int }_0^{\cos 2\theta }rdr=8{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}d\theta {\int }_0^{\cos 2\theta }rdr$$

---

【双纽线】极坐标形式为 $r^2=a^2\sin 2\theta$ 或 $r^2=a^2\cos 2\theta$。

【例 4】求 $r^2=\sin 2\theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0,2\pi ]\Rightarrow 2\theta \in [0,4\pi ]$。

因为 $r^2=\sin 2\theta \ge 0$，所以有 $2\theta \in [0,\pi ]\cup [2\pi ,3\pi ]$，即 $\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]\cup [\pi ,\frac{3\pi }{2}]$。

极径必为正，所以面积为

$$S=({\int }_0^{\frac{\pi }{2}}+{\int }_{\pi }^{\frac{3\pi }{2}})d\theta {\int }_0^{\sqrt{\sin 2\theta }}rdr=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^{\sqrt{\sin 2\theta }}rdr$$

【例 5】求 $r^2=\cos 2\theta$ 所围面积。

【解】注意有 $\theta \in [0,2\pi ]\Rightarrow 2\theta \in [0,4\pi ]$。

因为 $r^2=\cos 2\theta \ge 0$，所以有 $2\theta \in [0,\frac{\pi }{2}]\cup [\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}]\cup [\frac{7\pi }{2},2\pi ]$，即 $\theta \in [0,\frac{\pi }{4}]\cup [\frac{3\pi }{4},\frac{5\pi }{4}]\cup [\frac{7\pi }{4},2\pi ]$。

极径必为正，所以面积为

$$S=({\int }_0^{\frac{\pi }{4}}+{\int }_{\frac{3\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}+{\int }_{\frac{7\pi }{4}}^{2\pi })d\theta {\int }_0^{\sqrt{\cos 2\theta }}rdr=4{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}d\theta {\int }_0^{\sqrt{\cos 2\theta }}rdr$$

2.2 平面图形的形心和质心

2.2.1 平面图形的形心

设 $D$ 由 $f(x)\ge g(x),x\in [a,b]$ 所围，则形心 $(\bar{x},\bar{y})$ 为

$$\begin{array}{rl}& \bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }xdxdy}{\underset{D}{\iint }dxdy}=\frac{{\int }_a^{b}x[f(x)-g(x)]dx}{{\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx}\\ & \bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }ydxdy}{\underset{D}{\iint }dxdy}=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b[f^2(x)-g^2(x)]dx}{{\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx}\end{array}$$

2.2.2 平面图形的质心

设 $D$ 由 $f(x)\ge g(x),x\in [a,b]$ 所围，面密度为 $\rho (x,y)$，则质心 $(\bar{x},\bar{y})$ 为

$$\begin{array}{rl}& \bar{x}=\frac{\underset{D}{\iint }x\rho (x,y)dxdy}{\underset{D}{\iint }\rho (x,y)dxdy}\\ & \bar{y}=\frac{\underset{D}{\iint }y\rho (x,y)dxdy}{\underset{D}{\iint }\rho (x,y)dxdy}\end{array}$$

3 平面曲线

3.1 平面曲线的曲率

3.1.1 直角坐标系下的平面曲线的曲率

设曲线方程为 $y=y(x)$，$y(x)$ 二阶可导，则曲线的曲率和曲率半径分别为

$$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{\sqrt{(1+y^{\prime 2}{)}^3}},R=\frac{1}{K}$$

3.1.2 直角坐标系下的平面曲线的曲率

设曲线方程 $y=f(x),x\in [a,b]$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$ 确定，则曲线的曲率和曲率半径分别为

$$K=\frac{|x^{\prime }(t)y^{\prime \prime }(t)-x^{\prime \prime }(t)y^{\prime }(t)|}{\sqrt{[x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t){]}^3}},R=\frac{1}{K}$$

3.2 平面曲线的弧长

3.2.1 直角坐标系下的平面图形的弧长

设曲线方程为 $y=y(x),x\in [a,b]$，则弧微分和弧长分别为

$$\begin{array}{rl}& ds=\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx\\ & s={\int }_a^{b}ds={\int }_a^b\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx\end{array}$$

3.2.2 参数方程形式下的平面图形的弧长

设曲线方程 $y=f(x),x\in [a,b]$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$ 确定，则弧微分和弧长分别为

$$\begin{array}{rl}& ds=\sqrt{1+{\left(\frac{y^{\prime }(t)}{x^{\prime }(t)}\right)}^2}d[x(t)]=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt\\ & s={\int }_{\alpha }^{\beta }ds={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt\end{array}$$

3.2.3 极坐标系下的平面图形的弧长

设平面曲线由极坐标方程 $r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]$ 确定，则可先转化为参数方程形式

$$\{\begin{array}{l}x(\theta )=r(\theta )\cos \theta \\ y(\theta )=r(\theta )\sin \theta \end{array}$$

此时参数方程形式下的弧微分和弧长为

$$\begin{array}{rl}& ds=\sqrt{1+{\left(\frac{y^{\prime }(\theta )}{x^{\prime }(\theta )}\right)}^2}d[x(\theta )]=\sqrt{x^{\prime 2}(\theta )+y^{\prime 2}(\theta )}d\theta =\sqrt{r^{\prime 2}(\theta )+r^2(\theta )}d\theta \\ & s={\int }_{\alpha }^{\beta }ds={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^{\prime 2}(\theta )+r^2(\theta )}d\theta \end{array}$$

3.3 平面曲线的形心和质心

3.3.1 平面曲线的形心

（1）x 轴区间 $[a,b]$ 上的形心为

$$\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}xdx}{{\int }_a^{b}dx}=\frac{a+b}{2}$$

（2）设曲线由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$ 确定，则平面曲线的形心 $(\bar{x},\bar{y})$ 为

$$\begin{gathered} \bar{x}=\frac{{\int }_{\alpha }^{\beta }x(t)ds}{{\int }_{\alpha }^{\beta }ds}=\frac{{\int }_{\alpha }^{\beta }x(t)\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt}{{\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt} \\ \bar{y}=\frac{{\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)ds}{{\int }_{\alpha }^{\beta }ds}=\frac{{\int }_{\alpha }^{\beta }y(t)\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt}{{\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt} \end{gathered}$$

3.3.2 平面曲线的质心

设线密度为 $\rho (x)$，则 x 轴区间 $[a,b]$ 上的形心为

$$\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}x\rho (x)dx}{{\int }_a^b\rho (x)dx}$$

4 旋转体

4.1 旋转体的体积

4.1.1 万能公式

设曲线方程为 $y=f(x),x\in [a,b]$，旋转轴方程为 $Ax+By+C=0$，则曲线绕旋转轴所成体积为

$$V=2\pi \underset{D}{\iint }r(x,y)dxdy=2\pi \underset{D}{\iint }\frac{|Ax+Bf(x)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}dxdy$$

4.1.2 曲线绕平行于 x 轴的直线所得旋转体的体积（切片法）

设曲线方程为 $y=f(x),x\in [a,b]$ 和 $y=g(x),x\in [a,b]$，且 $f(x)\ge g(x)$。

（1）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),x=a,x=b$，x 轴（$y=0$）所围，则 $D$ 绕 x 轴（$y=0$）所得旋转体的体积为

$$V=2\pi \underset{D}{\iint }|y|dxdy=2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}|y|dy=\pi {\int }_a^b|f(x){|}^{2}dx$$

（2）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),x=a,x=b$，$y=k$ 所围，则 $D$ 绕 $y=k$ 所得旋转体的体积为

$$V=2\pi \underset{D}{\iint }|y|dxdy=2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}|y-k|dy=\pi {\int }_a^b|f(x)-k{|}^{2}dx$$

（3）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),y=g(x),x=a,x=b$，x 轴（$y=0$）所围，则 $D$ 绕 x 轴（$y=0$）所得旋转体的体积为

$$V=2\pi \underset{D}{\iint }|y|dxdy=2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_{g(x)}^{f(x)}|y|dy=\pi {\int }_a^b[f^2(x)-g^2(x)]dx$$

（4）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),y=g(x),x=a,x=b$ 所围，则 $D$ 绕 $y=k(k\ge f(x)或k\le g(x))$ 所得旋转体的体积为

$$V=2\pi \underset{D}{\iint }|y|dxdy=2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_{g(x)}^{f(x)}|y-k|dy=\pi {\int }_a^b([f(x)-k{]}^2-[g(x)-k{]}^2)dx$$

4.1.3 曲线绕平行于 y 轴的直线所得旋转体的体积（柱壳法）

设曲线方程为 $y=f(x),x\in [a,b]$ 和 $y=g(x),x\in [a,b]$，且 $f(x)\ge g(x)$。

（1）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),x=a,x=b$，x 轴（$y=0$）所围，则 $D$ 绕 y 轴（$x=0$）所得旋转体的体积为

$$V=2\pi \underset{D}{\iint }|x|dxdy=2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}|x|dy=2\pi {\int }_a^b|xf(x)|dx$$

（2）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),x=a,x=b$，x 轴（$y=0$）所围，则 $D$ 绕 $x=k$ 所得旋转体的体积为

$$V=2\pi \underset{D}{\iint }|y|dxdy=2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_0^{f(x)}|x-k|dy=2\pi {\int }_a^b|x-k|\cdot |f(x)|dx$$

（3）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),y=g(x),x=a,x=b$ 所围，则 $D$ 绕 y 轴（$x=0$）所得旋转体的体积为

$$V=2\pi \underset{D}{\iint }|x|dxdy=2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_{g(x)}^{f(x)}|x|dy=2\pi {\int }_a^b|x|\cdot [f(x)-g(x)]dx$$

（4）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),y=g(x),x=a,x=b$ 所围，则 $D$ 绕 $x=k(k\ge b或k\le a)$ 所得旋转体的体积为

$$V=2\pi \underset{D}{\iint }|y|dxdy=2\pi {\int }_a^{b}dx{\int }_{g(x)}^{f(x)}|x-k|dy=2\pi {\int }_a^b|x-k|\cdot [f(x)-g(x)]dx$$

4.1.4 典型例题（必看）

【例 1】区域 $D$ 由曲线方程 $y=\sin x,y=0,y=\frac{\pi }{2}$ 所围，求 $D$ 绕 x 轴和 y 轴旋转所得旋转体的体积 $V_x$ 和 $V_y$。

【解】（1）$D$ 绕 x 轴所得旋转体的体积为

$$V_x=2\pi \underset{D}{\iint }ydxdy=2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx{\int }_0^{\sin x}ydy=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{2}xdx=\frac{{\pi }^2}{4}$$

（2）$D$ 绕 y 轴所得旋转体的体积为

$$V_y=2\pi \underset{D}{\iint }xdxdy=2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}dx{\int }_0^{\sin x}xdy=2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x\sin xdx=2\pi$$

以上方法是基于纵向分割的微元，即先 $dy$，后 $dx$，采用柱壳法。也可基于横向分割的微元，采用切片法，先 $dx$，后 $dy$，如下

$$\begin{array}{rl}{V}_y& =2\pi {\int }_0^{1}dy{\int }_{\arcsin y}^{\frac{\pi }{2}}xdx\\ & =\frac{{\pi }^3}{4}-\pi (\frac{{\pi }^2}{4}-2)=2\pi \end{array}$$

【例 2】设摆线 $\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t)\\ y=a(1-\cos t)\end{array}(t\in [0,2\pi ],a>0)$ 与 x 轴所围平面图形为 $D$。

（1）求 $D$ 绕 x 轴和 y 轴所得旋转体的体积；

（2）求 $D$ 绕直线 $y=2a$ 所得旋转体的体积。

【解】（1）$D$ 绕 x 轴所得旋转体的体积为

$$\begin{array}{rl}{V}_x& =2\pi \underset{D}{\iint }ydxdy=2\pi {\int }_0^{2\pi a}dx{\int }_0^{f(x)}ydy=\pi {\int }_0^{2\pi a}{f}^2(x)dx\\ & =\pi {\int }_0^{2\pi }{y}^2(t)d[x(t)]=\pi {\int }_0^{2\pi }{y}^2(t)x^{\prime }(t)dt=5{\pi }^2{a}^3\end{array}$$

$D$ 绕 y 轴所得旋转体的体积为

$$\begin{array}{rl}{V}_y& =2\pi \underset{D}{\iint }xdxdy=2\pi {\int }_0^{2\pi a}dx{\int }_0^{f(x)}xdy=\pi {\int }_0^{2\pi a}xf(x)dx\\ & =\pi {\int }_0^{2\pi }x(t)y(t)d[x(t)]=\pi {\int }_0^{2\pi }x(t)y(t)x^{\prime }(t)dt=6{\pi }^3{a}^3\end{array}$$

（2）$D$ 绕直线 $y=2a$ 所得旋转体的体积为

$$\begin{array}{rl}{V}_{y=2a}& =2\pi {\int }_0^{2\pi a}dx{\int }_0^{f(x)}(2a-y)dy\\ & =-\pi {\int }_0^{2\pi a}([2a-f(x){]}^2-(2a{)}^2)dx\\ & =8{\pi }^2{a}^3-\pi {\int }_0^{2\pi }[2a-x(t){]}^{2}d[x(t)]\\ & =8{\pi }^2{a}^3-\pi {\int }_0^{2\pi }[2a-x(t){]}^2{x}^{\prime }(t)dt=7{\pi }^2{a}^3\end{array}$$

【例 3】设心形线 $r=4(1+\cos \theta )$ 与 $\theta =0,\theta =\frac{\pi }{2}$ 所围图形为 $D$，求 $D$ 绕极轴旋转一周所得旋转体的体积。

【解】先将极坐标方程写成参数方程

$$\{\begin{array}{l}x(\theta )=4(1+\cos \theta )\cos \theta \\ y(\theta )=4(1+\cos \theta )\sin \theta \end{array}$$

因此 $D$ 绕 x 轴所得旋转体的体积为

$$\begin{array}{rl}{V}_x& =2\pi \underset{D}{\iint }ydxdy=2\pi {\int }_0^{8}dx{\int }_0^{f(x)}ydy=\pi {\int }_0^8{f}^2(x)dx\\ & =\pi {\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{y}^2(\theta )d[x(\theta )]=\pi {\int }_{\frac{\pi }{2}}^0{y}^2(\theta )x^{\prime }(\theta )d\theta =160\pi \end{array}$$

4.2 旋转体的侧面积

4.2.1 直角坐标系下的计算公式

（1）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),x=a,x=b$，x 轴所围，则 $D$ 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为

$$S=2\pi {\int }_a^b|f(x)|ds=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$$

（2）设 $D$ 由曲线方程 $y=f(x),x=a,x=b$，x 轴所围，则 $D$ 绕 $L:Ax+By+C=0$ 所得旋转体的侧面积为

$$S=2\pi {\int }_a^{b}r(x,y)ds=2\pi {\int }_a^b\frac{|Ax+Bf(x)+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\sqrt{1+f^{\prime 2}(x)}dx$$

4.2.2 参数方程形式下的计算公式

设曲线方程 $y=f(x),x\in [a,b]$ 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array},t\in [\alpha ,\beta ]$ 确定，$D$ 由曲线方程 $y=f(x),x=a,x=b$，x 轴所围，则 $D$ 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为

$$S=2\pi {\int }_a^b|f(x)|ds=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|y(t)|\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt$$

4.2.3 极坐标系下的计算公式

设平面曲线由极坐标方程 $r=r(\theta ),\theta \in [\alpha ,\beta ]$ 确定，则可先转化为参数方程形式

$$\{\begin{array}{l}x(\theta )=r(\theta )\cos \theta \\ y(\theta )=r(\theta )\sin \theta \end{array}$$

则 $D$ 绕 x 轴所得旋转体的侧面积为

$$S=2\pi {\int }_a^b|f(x)|ds=2\pi {\int }_{\alpha }^{\beta }|r(\theta )\sin \theta |\sqrt{r^2(\theta )+r^{\prime 2}(\theta )}d\theta$$