C++前缀和算法的应用：统计上升四元组

本文涉及的基础知识点

C++算法：前缀和、前缀乘积、前缀异或的原理、源码及测试用例包括课程视频

题目

给你一个长度为 n 下标从 0 开始的整数数组 nums ，它包含 1 到 n 的所有数字，请你返回上升四元组的数目。
如果一个四元组 (i, j, k, l) 满足以下条件，我们称它是上升的：
0 <= i < j < k < l < n 且
nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
示例 1：
输入：nums = [1,3,2,4,5]
输出：2
解释：

当 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 且 l = 3 时，有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
当 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 且 l = 4 时，有 nums[i] < nums[k] < nums[j] < nums[l] 。
没有其他的四元组，所以我们返回 2 。
示例 2：
输入：nums = [1,2,3,4]
输出：0
解释：只存在一个四元组 i = 0 ，j = 1 ，k = 2 ，l = 3 ，但是 nums[j] < nums[k] ，所以我们返回 0 。
参数范围：
4 <= nums.length <= 4000
1 <= nums[i] <= nums.length
nums 中所有数字互不相同，nums 是一个排列。

容易理解

分析

第一层循环，枚举j，第二层循环枚举k。时间复杂度O(n*n)。在通过不通过之间，用vector<vector>就通过不了，用int**勉强可以通过。分两步：


第一步	求前缀和
第二步	枚举j和k

核心代码

class Solution {
public:
long long countQuadruplets(vector& nums) {
m_c = nums.size();
int** vSum = new int*[m_c + 1];//vSum[i][j]：nums[0,j)中小于等于i的个数
for (int i = 1; i <= m_c; i++)
{//计算小于i的个数
vSum[i] = new int[m_c+1];
vSum[i][0] = 0;
for (int j = 0 ; j < m_c; j++ )
{
vSum[i][j+1] = vSum[i][j] + (nums[j] <= i);
}
}
long long llRet = 0;
for (int j = 1; j < m_c; j++)
{
for (int k = j + 1; k+1 < m_c; k++)
{
if (nums[j] < nums[k])
{
continue;
}
//nums[i]范围：nums[0,j)中小于等于nums[k]的数量
const long long lessNumK = vSum[nums[k]][j];
//nums[k+1,m_c)中大于nums[j]
const long long moreNumJ = m_c - (k + 1) - (vSum[nums[j]][m_c]- vSum[nums[j]][k+1]);
llRet += lessNumK * moreNumJ;
}
}
return llRet;
}
int m_c;
};

测试用例

template
void Assert(const vector& v1, const vector& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}

template
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}

int main()
{
Solution slu;
vector nums ;
long long res;
nums = { 1, 3, 2, 4, 5 };
res = slu.countQuadruplets(nums);
Assert(2LL, res);
nums = { 1, 2,3,4 };
res = slu.countQuadruplets(nums);
Assert(0LL, res);
nums = { 4,3,2,1 };
res = slu.countQuadruplets(nums);
Assert(0LL, res);
nums = { 4,3,2,6,5,1 };
res = slu.countQuadruplets(nums);
Assert(0LL, res);
nums = { 1,3,2,4 };
res = slu.countQuadruplets(nums);
Assert(1LL, res);
nums = { 2,1,4,3,5 };
res = slu.countQuadruplets(nums);
Assert(2LL, res);
nums.clear();
for (int i = 0; i < 4000; i++)
{
nums.emplace_back(i + 1);
}
res = slu.countQuadruplets(nums);
Assert(0LL, res);
//CConsole::Out(res);
}

性能稍强

分析

第一层循环，枚举l或k；第二层循环，枚举j。时间复杂度O(n*n)，代码简洁得多，可以轻松通过。

变量解释


llRet	所有符合条件的四元祖
iLessLK	nums[0,j)中小于nums[i]的数量
m_v132[j]	nums[0,i)中符合i,j,k的数量

核心代码

class Solution {
public:long long countQuadruplets(vector<int>& nums) {m_c = nums.size();long long llRet = 0;vector<long long> m_v132(m_c);//132for (int lk = 0; lk < m_c; lk++){int iLessLK = 0;for (int j = 0; j < lk; j++){if (nums[j] < nums[lk]){iLessLK++;llRet += m_v132[j];}else{//iLessLK 表示[0,j)中小于nums[lk]的数，假定其索引为i，则nums[i] < nums[lk] ，nums[j] < nums[lk],故i j lk，符合前三个数i,j,km_v132[j] += iLessLK;}}}return llRet;}int m_c;
};

2月旧代码

class Solution {
public:
long long countQuadruplets(vector& nums) {
m_c = nums.size();
//vLeft[i][m] 表示nums[i]及之前的元素，小于等于m+1的个数
int vLeft[4000][4000] = { 0 };
{
for (int i = 0; i < m_c; i++)
{
if (i > 0)
{
memcpy(vLeft[i], vLeft[i - 1], sizeof(vLeft[0]));
}
for (int j = nums[i] - 1; j < m_c; j++)
{
vLeft[i][j] ++;
}
}
}
long long llRet = 0;
for (int j = 1; j + 1 < m_c; j++)
{
for (int k = j + 1; k + 1 < m_c; k++)
{
if (nums[j] <= nums[k])
{
continue;
}
const int iLeft = vLeft[j - 1][nums[k] - 1];
const int iRight = nums[j] - vLeft[k][nums[j] - 1];
llRet += vLeft[j - 1][nums[k] - 1] * (nums.size() - k - 1 - iRight);
}
}
return llRet;
};
int m_c;
};

扩展阅读

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