本篇思路：根据各方的资料，比如名师的资料，按大纲或者其他方式，收集/汇总考点，即需记忆点，在通过整体的记忆法，比如整体信息很多，通常使用记忆宫殿法，绘图记忆法进行记忆，针对局部/细节/组成的部分，可通过多种方法，比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

考点

通过汇总各方大佬资料，作为收集考点/记忆点的信息输入：XX，收集汇总如下：

汇总考点的必要，或者说，汇总记忆的内容的必要，不言而喻，首先，你要记忆东西，得有东西，所以你要梳理出你需要记忆的全部东西，其次，在收集多个大佬的梳理的考点，又可以找出各条逻辑帮助记忆考点，所以，梳理考点是很有必要的，是记忆的基础，是记忆宫殿里面的物品，是我们最后考试需要去找到的解题物品。

记忆/考点汇总——按大纲

——加减乘除原理——
＋加法原理：分类计数原理：如果完成一件事有n类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就可以完成这件事。若第一类办法中有$m_1$种不同的方法，第二类办法中有$m_2$种不同的方法…第n类办法中有$m_n$种不同的办法，那么完成这件事共用$N=m_1+m_2+...+m_n$种不同的方法。
×乘法原理：分步计数原理：如果完成一件事，必须依次连续地完成n个步骤，这件事才能完成。若完成第一个步骤有$m_1$种不同的方法，完成第二个步骤有$m_2$种不同的方法……完成第n个步骤有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N=m_1\ast m_2\ast ......\ast m_n$种不同的方法。——【不同类的方法（其中每一种方法都能把事情从头至尾做完）数之间做加法，不同步的方法（其中每一种方法都只能完成这件事的一部分）数之间做乘法】

-减法原理：正面难则反着做(“$-$”号)：当出现“至少、至多”、“否定用语"等正面较难分类的题目，可以采用反面进行求解，注意部分反面的技巧以及“且、或"的反面用法。

÷除法原理：看到相同，定序用除法消序($“÷"$号)：$÷$号的用法就在于消序，当题目需要消除顺序的时候，就是$÷$号登场的时候。
（1）部分相同、定序；（2）环排；（3）分组；
（1）定序问题：当把某n个元素进行排序时，其中m个元素不计顺序或者顺序已定，要把这m个元素的顺序除掉，有多少除多少，定序公式：$\frac{n!}{m!}$
（3）分组问题：
①均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘，即除法处理。
②非均匀分组：分步取，得组合数相乘，即组合处理。
③混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。

——排列组合——
1.排列与组合的推导：
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素做排列为$A_n^m$，事实上可以分为两个步骤：
第一步：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素做组合为$C_n^m$；
第二步：将这m个元素做全排列为$m!$，从而我们有$A_n^m=C_n^m\cdot m!=C_n^m\cdot A_m^m$，即$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}$
2. 排列是先组合再排列：
$A_n^m=C_n^m\cdot A_m^m=C_n^m\cdot m!$，故$A_n^m$可由组合$C_n^m$与阶乘$m!$代替。
3. 排列与组合的区别：
口诀：与序无关是组合，要求有序是排列。——【】
4. 解题准则：
（1）排列$A_n^m=C_n^m\cdot A_m^m=C_n^m\cdot m!$，故排列是先组合再排列，即$A_n^m$可由组合$C_n^m$与阶乘$m!$代替，为思路清晰，采用$C_n^m$与$m!$表达。
（2）选取元素或位置，用组合$C_n^m$。
（3）排序用阶乘$m!$。
（4）将所有的题目拆解为“选取”和“排序”的过程，然后再对应写表达式。
5. 排列问题与组合问题对比：
若从n个元素中取m个，需要考虑m的顺序，则为排列问题，用$A_n^m$表示；
若从n个元素中取m个，无须考虑m的顺序，则为组合问题，用$C_n^m$表示。
6. 排列数与组合数的含义对比：
（1）排列数A的含义：先挑选再排列，有序（元素之间互换位置，结果不同）。
（2）组合数C的含义：挑选、组合，无序（元素之间互换位置，结果不变）。

排列
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。$⟹$排列
从n个不同元素中，取出m个元素(m≤n)的所有排列的种数，称为从n个元素中取出m个元素的排列数，记作$A_n^m$。$⟹$$A_n^m$称为排列数
当m=n时，即从n个不同元素中取出n个元素的排列，称为n个元素的全排列，记作$A_n^n$，也称为n的阶乘，用符号$n!$表示。$⟹$$n!$称为n的阶乘
$A_n^m=n(n-1)(n-2)...(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$$⟹$$A_n^m$称为排列数
$A_n^n=n(n-1)(n-2)...2\cdot 1=n!$$⟹$$n!$称为n的阶乘/全排列
$A_n^{n-1}=A_n^n=n!$
$A_n^m\ne A_n^{n-m}$
$A_n^1=n$
$A_n^0=1$
$0!=1$、$1!=1$、$2!=2$、$3!=6$、$4!=24$、$5!=120$$⟹$常用数值——【】

组合
从n个不同元素中，任意取出m(m≤n)个元素并为一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合$⟹$组合
从n个不同元素中，取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数、称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作$C_n^m$$⟹$$C_n^m$称为组合数
$C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m(m-1)...\cdot 2\cdot 1}=\frac{n!}{m!(n-m)!}=\frac{A_n^m}{m!}$，则$A_n^m=C_n^m\cdot m!$ $⟹$$C_n^m$称为组合数
$C_n^m=C_n^{n-m}$$⟹$组合数性质：对称性
等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标：如$C_9^6=C_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3!}=84$ ，此性质作用：当$m＞\frac{n}{2}$时，计算$C_n^m$可变为计算$C_n^{n-m}$，能够使运算简化。
$C_n^m=C_n^{n-m}$ ，可得：$C_n^x=C_n^y$ $⟹$$x=y或x+y=n$(易遗忘此种情况)，其中，x，y均为非负整数
$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m$$⟹$组合数性质：递推公式

$\frac{C_{n-1}^{m-1}}{C_n^m}=\frac{m}{m}$
$n!=n\times (n-1)!$
$(n+1)\times n!=(n＋1)!$
$n\times n!=[(n＋1)-1]\times n!=(n+1)\times n!-n!=(n+1)!-n!$
$\frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}$$⟹$组合数性质

$C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n=2^n$
$C_n^0+C_n^2+C_n^4+...=2^{n-1}$
$C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=2^{n-1}$ $⟹$组合恒等式

$C_n^0=C_n^n=1$
$C_n^1=C_n^{n-1}=n-1$
$C_3^2=C_3^1=3$
$C_5^2=C_5^3=10$
$C_6^2=C_6^4=15$$⟹$常用组合数

——奇技——
一个位置一个元素
（1）先特殊后一般
先处理特殊元素或位置，再处理一般元素或位置。
（2）相邻、不相邻问题
相邻用捆绑打包法；不相邻用插空法；当相邻问题与不相邻问题同时出现在题干
中，需要按照先解决相邻再解决不相邻问题的顺序来求解。

一个位置多个元素（观察元素与对象采用不同策略）
分房问题特征：
（1）1个房间可容纳多个人；（2）每个人都只能去一间房。
①元素不同，对象不同，对元素无限定，则可重复使用——用方幂法；
②元素不同，对象不同，对元素有限定，元素与对象有对应关系——用对号不对号；
③元素不同，对象不同，对元素有限定，分组中有同样的数量——先分堆后分配；
④元素不同，对象相同——只分堆，不分配；
⑤元素相同，对象不同——先满足后隔板；
⑥元素相同，对象相同———穷举，列举法。

相邻与不相邻
相邻问题采用捆绑法：将相邻的几个元素捆绑看成一个大元素，再与其余普通元素进行排列，注意不要忘记这个捆绑后的大元素内部需要排序。
不相邻问题采用插空法：先排好其余元素，再将不相邻的元素插入空位。

分房问题
适用条件：元素不同，对象不同，对元素无限定，则可重复使用。
表现形式：不同的元素无限制地进入到不同的位置。
前提条件：每个元素只能进人一个位置，但是每个位置可以容纳多个元素。
注意事项：解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“人”，能重复的元素看作“房”，再利用乘法原理直接求解的方法称为“分房法”。一般地n个不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为$m^n$种。
解决办法：n个不同的元素无限制地进入m个不同的位置有$m^n$种方法。一共有“$可重复元{素}^{不可重复元素}$”种情况，即“可重复元素”为底数，“不可重复元素”为指数。
方法应用：n个人/不同的球/不同的信去m个不同房间/不同盒子/不同邮筒，有$m^n$种方法。

广义的分房问题
要求：n个不同元素分给m个不同对象且所有元素全部分完
模型1：无限制条件的分房问题：任意分（容许有对象没分到）：方幂法，共有$m^n$种
模型2：有限制条件的分房问题：有限制条件分（每个对象至少分1个）：先分堆再分配

对号与不对号：无论几个元素，只要对号安排，都只有1种方法。
不对号安排记答案：2个不对号有1种方法；3个不对号有2种方法；4个不对号有9种方法；5个不对号有44种方法。

隔板法
适用条件：（1）元素相同；（2）对象不同；（3）每个对象至少分到1个。
方法原理：由于物品相同，每个对象仅以分到的数量来进行区分，所以通过隔板调整分配的数量，故隔板有几种放法就表示有几种分法。
使用要求：①n个元素要相同；②m个分配对象不同。
公式公式：如果分配对象非空，即每个对象至少分一个，则有$C_{n-1}^{m-1}$种；如果分配对象允许空，则有$C_{n+m-1}^{m-1}$种。——【理解记忆法：将n个相同元素摆成一排，它们之间有$n-1$个空位，插入$m-1$块隔板就可以分成m份，所以公式为$C_{n-1}^{m-1}$。如果分配对象允许空，此时将元素看成$m+n$个，再用隔板法，则有$C_{n+m-1}^{m-1}$种。】——【理解记忆法：将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分1个。：把这n个元素排成一排，中间有n-1个空，挑出m-1个空放上挡板，自然就分成了m组，所以分法一共有$C_{n-1}^{m-1}$种；将n个相同的元素全分给m个对象，每个对象至少分0个元素（即可以为空）。：增加m个元素（m为对象的个数），此时一共有n+m个元素，中间形成n+m-1个空，选出m-1个空放上挡板即可，共有$C_{n+m-1}^{m-1}$种方法。】

n个不同元素作圆形排列，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人，共有$(n-1)!$种排法。如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有$\frac{1}{m}{C}_n^m$ 。

分组分配
（1）不同元素分组问题：
① 解题方法：如果出现m个小组没有任何区别，则需要消序，除以$A_m^m$，其他情况的分组不需要消序。
② 技巧总结：1）小组无名称，分组之后需要考虑消序，其中小组人数相同，则需要消序；小组人数不同，不需要消序。2）小组有名称，按要求分组之后不需要考虑消序。
（2）不同元素分配问题：
① 解题方法：先分组（注意消序），再分配（排列）
② 技巧总结：按“先分组，再分配”的顺序求解，分组时注意人数相同的小组需要消序。
（3）相同元素分配问题：
①相同元素分配不同对象至少分1个：
解题方法：挡板法：把n个相同元素排成一排，中间只有$n-1$个空，从中放$m-1$个挡板，故一共有$C_{n-1}^{m-1}$种分法。
②可以为0型：
解题方法：增加元素法：增加m个元素（m为对象的个数），使每个对象至少分得1个元素，满足了挡板法使用的条件，分法共$C_{n+m-1}^{m-1}$种。
④可以为多型：
解题方法：减少元素法：使每个对象至少分得1个元素，再使用挡板法。

分堆
指定数量的分堆：按照所给每堆的数量要求进行分堆，注意有几堆数量相同，就要除以几的阶乘，来进行消序。
未指定数量的分堆：如果数量没有指定，则需要先根据数量分类，然后再按照每堆的数量要求进行分堆，注意有几堆数量相同，就要除以几的阶乘，来进行消序。
指定元素的分堆：如果在分堆时，有特殊要求元素，则先安排特殊要求的元素，再选其他没有要求的元素．注意特殊要求元素所在的组不用考虑消序。
分配问题：当出现不同的归属对象时，转化为分配问题。分配问题包括两个过程：先分堆，再配送。也就是先按照数量分好堆，再排序。

特殊元素分配
元素定序：先将n个元素进行全排列有$n!$种，m个元素的全排列有$m!$种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去掉排序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有$\frac{n!}{m!}$种排列方法。或者用组合法，对于定序元素，只需选位置即可，无需排序。
位置定序：在所给位置中，某些位置有大小顺序要求，直接用组合法，选好元素放位置时无需排序。
部分元素相同：在对元素排列时，出现部分元素相同（没有区别），要除以相同元素数量的阶乘，以消除排序。比如n个元素中，有k个元素相同，其他元素不同，则排序的方法数为$\frac{n!}{k!}$。或者对于相同元素，采用组合选取位置，无需考虑顺序。

全能元素
全能元素：全能元素是指一个元素可以同时具备多个属性，在选取时，注意全能元素的归宿问题。
全能卡片：遇到全能卡片，要根据全能卡片的选中情况来分类讨论，当全能卡片选中时，要注意乘以倍数。
解题方法：对全能（特殊）元素要/不要，以及要几个进行分类讨论即可

单排环排
单排问题：
① 是且是 → 确定元素不用管，剩余元素直接排序即可；
② 是或是 → $A\cup B=A+B-A\cap B$；
③ 否且否 → 反面分析法：总情况数$-$是或是；
④ 否或否 → 反面分析法：总情况数$-$是且是。
环排公式：（1）若n个人围着一张圆桌坐下，共有$(n—1)!$种坐法；（2）若从n个人中选出m个人围着一张圆桌坐下，共有$C_n^m$·$(m-1)!$=$\frac{1}{m}\cdot A_n^m$种坐法。

——XX——
古典概型：$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数k}{样本空间中基本事件总数n}$
独立事件：$P(AB)=P(A)P(B)$，则称两事件A和B是相互独立的
伯努利公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为$P_n(k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$，（$k=0，1，2，\dots ，n$），其中$q=1-p$。
$k=n$时，即在n次独立重复试验中事件A全部发生，概率为$P_n(n)=C_n^n{p}^n(1-p{)}^0=p^n$。
$k=0$时，即在n次独立重复试验中事件A没有发生，概率为$P_n(0)=C_n^0{p}^0(1-p{)}^n=(1-p{)}^n$。
独立地做一系列的伯努利试验，直到第k次试验时，事件A才首次发生的概率为$P_k=(1-P{)}^{k-1}$（$k=1,2,...,n$）。
n次独立重复试验的特征：
①试验的次数不止一次，而是多次，次数$n\ge 1$；
②每次试验的条件是一样的，是重复性的试验序列；
③每次试验的结果只有A与$\overline{A}$两种（即事件A要么发生，要么不发生），每次试验相互独立，试验的结果互不影响，即各次试验中发生的概率保持不变。

方差：$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x}{)}^2+(x_2-\overline{x}{)}^2+...+(x_n-\overline{x}{)}^2]$，意义：方差是反映一组数据的整体波动大小的指标，它是指一组数据中各数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况。——【先平均，再求差，然后平方，最后再平均。】
简化方差：$S^2=\frac{1}{n}[(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)-n{\overline{x}}^2]$
拓展公式：$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x}{)}^2+(x_2-\overline{x}{)}^2+...+(x_n-\overline{x}{)}^2]=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{n}-(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}{)}^2$
标准差：$\sqrt{方差}$=$\sqrt{S^2}$，意义：方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小、方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位平方，标准差的单位与原数据的单位相同。

如果一组数据$x_1,x_2,...,x_n$的平均数是$\overline{x}$，方差为$S^2$，那么
（1）新数据$a{x}_1,a{x}_2,...,a{x}_n$的平均数是$a\overline{x}$，方差为$a^2{S}^2$；
（2）新数据$x_1+b,x_2+b,\dots ,x_n+b$的平均数是$\overline{x}+b$，方差为$S^2$；
（3）新数据$a{x}_1+b,a{x}_2+b,\dots ,a{x}_n+b$的平均数是$\alpha \overline{x}+b$，方差为$a^2{S}^2$。

整体

整体使用记忆宫殿法和绘图记忆法等进行记忆

目录大纲法

1. 计数原理
   加乘原理
   排列组合
   一个位置一个元素
   一个位置多个元素

2. 数据描述
   平均值
   方差与标准差

3. 概率
   事件及其简单运算
   加法公式
   乘法公式
   古典概型
   伯努利概型

记忆宫殿法

绘图记忆法

局部

学习记忆——数学篇——汇总——顺口溜记忆法+谐音记忆法+理解记忆法+归类记忆法+重点记忆法+比较记忆法+转图像记忆法

数字编码法

学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码和字母编码——两位数
学习记忆——英语——字母编码
学习记忆——记忆宫殿——编码——数字编码——数字声母

对号不对号

【思路】“不对号”问题可以这样记住答案：2个元素不对号，1种方法；3个元素不对号，2种方法；4个元素不对号，9种方法；5个元素不对号，44 种方法。

21鳄鱼、32上颚、49死狗、544武器妻

鳄鱼用上颚咬死了狗，妻子用武器打死了它。

归类记忆法

数学知识有一个最显著的特点，就是系统性很强。数学知识之间有着内在的联系，我们可以按照它们的特性，恰当归类，使之条理化、系统化，组成一个便于记忆的知识网络。

重点记忆法

抓住一个重点，去推导，去联想。

歌决记忆法

口诀：加法分类，类类相加；乘法分步，步步相乘。

谐音记忆法

涂色

（1）直线涂色：简单的乘法原理。
（2）环形涂色公式：把一个环形区域分为k块，每块之间首尾相连，用s种颜色去涂，要求相邻两块颜色不同，则不同的涂色方法有
$N=(s—1{)}^k＋(s—1)(-1{)}^k$，
式中，s为颜色数（记忆方法：se色），k为环形被分成的块数（记忆方法：kuai 块）。

理解记忆法

比较记忆法

转图像记忆法

学习记忆——数学篇——转图像记忆法