【数据结构与算法】two X 树的遍历以及功能实现

前言:
前面我们已经提到过树、二叉树的概念及结构、堆排序、Top-k问题等的知识点,这篇文章我们来详解一下二叉树的链式结构等问题。

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⛳⛳本篇内容:c语言数据结构--二叉树的遍历以及功能实现

目录

一.链式二叉树存储的概念

二.链式二叉树结构的实现

2.1 前置说明

2.2二叉树的遍历

前序遍历(Preorder Traversal)

中序遍历(Inorder Traversal)

后续遍历(Postorder Traversal)

层序遍历(LevelOrder)

2.3二叉树功能的实现

二叉树结构定义(struct BinaryTreeNode)

二叉树节点的创建(CreatBinaryTree)

二叉树的前序遍历函数(PrevOrder)

二叉树的中序遍历函数(InOrder)

二叉树的后序遍历函数(PostOrder)

统计二叉树节点个数(BTreeSize)

求出叶子节点的数量(BTreeLeafSize)

求二叉树的高度(BTreeHeight)

二叉树第k层节点个数(BTreeLevelKSize)

二叉树查找值为x的节点(BTreeFind)

二叉树的层序遍历(LevelOrder)

判断一棵树是否为完全二叉树(BinaryTreeComplete)


一.链式二叉树存储的概念

        二叉树的链式存储结构是指: 用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。
通常的方法是链表中每个结点由三个域组成, 数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点 左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址
链式结构又分为二叉链和三叉链,当前我们学习中一般都是二叉链,后面课程学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

二.链式二叉树结构的实现

2.1 前置说明

        在学习二叉树的基本操作前,需先要创建一棵二叉树,然后才能学习其相关的基本操作。
由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入,为了降低大家学习成本,
此处手动快速创建一棵简单的二叉树,快速进入二叉树操作学习,等二叉树结构了解的差不多时,我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){perror("malloc fail");return NULL;}node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}BTNode* CreatBinaryTree()
{BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;return node1;
}
注意:上述代码并不是创建二叉树的方式,真正创建二叉树方式后序详解重点讲解。
再看二叉树基本操作前,再回顾下二叉树的概念, 二叉树是:
1. 空树
2. 非空:根节点,根节点的左子树、根节点的右子树组成的。
从概念中可以看出,二叉树定义是递归式的,因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2.2二叉树的遍历

学习二叉树结构,最简单的方式就是遍历。所谓 二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则,依次对二叉树中的节点进行相应的操作, 并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一,也是二叉树上进行其它运算的基础。

以先序遍历为例子:

前序遍历(Preorder Traversal)

        亦称先序遍历,访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前.

中序遍历(Inorder Traversal)

访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)

后续遍历(Postorder Traversal)

访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后.

        由于被访问的结点必是某子树的根, 所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历

层序遍历(LevelOrder)

层序遍历 除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外,还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1,层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发,首先访问第一层的树根节点,然后从左到右访问第2层上的节点,接着是第三层的节点,以此类推,自上而下,自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

2.3二叉树功能的实现

二叉树结构定义(struct BinaryTreeNode)

代码实现:

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

二叉树节点的创建(CreatBinaryTree)
BTNode* BuyNode(BTDataType x)//树中一个节点的创建
{BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));if (node == NULL){perror("malloc fail");return NULL;}node->data = x;node->left = NULL;node->right = NULL;return node;
}BTNode* CreatBinaryTree()//树的构造
{BTNode* node1 = BuyNode(1);BTNode* node2 = BuyNode(2);BTNode* node3 = BuyNode(3);BTNode* node4 = BuyNode(4);BTNode* node5 = BuyNode(5);BTNode* node6 = BuyNode(6);node1->left = node2;node1->right = node4;node2->left = node3;node4->left = node5;node4->right = node6;return node1;
}

二叉树的前序遍历函数(PrevOrder)

        递归不可能一直调用函数,因为这个过程一直在创建栈帧,即使栈再大,也会栈溢出。所以肯定会回归,回归的本质就是销毁栈帧。

递归是由两个部分构成:

1.子问题 

2.返回条件

图解:

代码实现:

void PrevOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}printf("%d ", root->data);PrevOrder(root->left);PrevOrder(root->right);
}
二叉树的中序遍历函数(InOrder)

绘图:

void InOrder(BTNode* root) 
{if (root == NULL){printf("N ");return;}InOrder(root->left);printf("%d ", root->data);InOrder(root->right);}

二叉树的后序遍历函数(PostOrder)

        跟前中序的思路相差不大,这里就不绘图了。

代码实现:

void PostOrder(BTNode* root)
{if (root == NULL){printf("N ");return;}PostOrder(root->left);PostOrder(root->right);printf("%d ", root->data);
}

统计二叉树节点个数(BTreeSize)

画出递归展开图:

int BTreeSize(BTNode* root)
{//写法一if (root == NULL)return 0;return BTreeSize(root->left) + BTreeSize(root->right) + 1;//写法二return root == NULL ? 0 : BTreeSize(root->left) + BTreeSize(root->right) + 1;
}

求出叶子节点的数量(BTreeLeafSize)

        进入函数首先判断根节点是否为空,为空就直接返回0,说明树为空,直接返回叶子节点数量为0。

        接下来,检查当前的节点是叶子节点还是分支节点,若代码检查当前节点是否为叶子节点,即该节点的左子节点和右子节点都为空。如果是叶子节点,返回叶子节点数量为1。

        如果当前节点为分支节点,则继续调用该函数,计算左子树和右子树的叶子节点数量,并将它们相加,得到当前节点为根的子树的叶子节点数量。

        最后,函数返回左子树和右子树叶子节点数量的和,即整个二叉树的叶子节点数量。

int BTreeLeafSize(BTNode* root)//接受一个指向二叉树节点的指针root作为参数
{if (root == NULL)//代码检查根节点是否为空{return 0;}if ( root->left==NULL &&root->right==NULL){return 1;}return BTreeLeafSize(root->left) + BTreeLeafSize(root->right);}

求二叉树的高度(BTreeHeight)

先比较一下以下的哪种代码更优:

方案一: 

        在递归调用BTreeHeight函数之后,并没有对返回值进行保存和比较,而是直接返回了当前节点的左子树和右子树的高度中较大的一个加1。这样的实现虽然能够得到正确的结果,但是效率较低。因为在计算左子树的高度和右子树的高度时,每次都会重复递归调用 BTreeHeight函数

int BTreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}return BTreeHeight(root->left) > BTreeHeight(root->right) ?BTreeHeight(root->left) + 1 : BTreeHeight(root->right) + 1;
}

为了更好地理解方案一的解释,这里写出一个不用三目运算符,但是等价于上述代码的代码

画图理解:

这里其实用到的是分治算法,通常分为三个步骤:

  1. 分解(Divide):将原问题划分为若干个规模较小的子问题。这一步通常在递归的过程中进行,直到问题足够简单,可以直接求解

  2. 解决(Conquer):递归地解决子问题。对于每个子问题,如果它的规模足够小,可以直接求解;否则,继续递归地将子问题划分为更小的子问题。

  3. 合并(Combine):将子问题的解合并得到原问题的解。这一步通常在递归的回溯过程中进行。

代码实现: 

int BTreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}int h = 0;if (BTreeHeight(root->left) > BTreeHeight(root->right)){h = BTreeHeight(root->left) + 1;}else{h = BTreeHeight(root->right) + 1;}return h;
}

力扣执行:

方案二:

        使用了两个变量leftHeightrightHeight分别保存了左子树和右子树的高度。通过递归调用BTreeHeight函数分别计算左子树和右子树的高度,并将结果保存在这两个变量中。然后比较leftHeightrightHeight的值,将较大值加1作为当前节点的高度返回。这样的实现避免了重复计算,提高了效率。

int BTreeHeight(BTNode* root)
{if (root == NULL){return 0;}int leftHeight = BTreeHeight(root->left);int rightHeight = BTreeHeight(root->right);return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight+ 1;
}

力扣执行:

二叉树第k层节点个数(BTreeLevelKSize)

子问题:

转换成左子树的第k-1层和右子树的右子树的第k-1层

结束条件:

  • k == 1且节点不为空
  • 节点为空

代码实现:

int BTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{assert(k > 0);if (root == NULL)return 0;if (k == 1)return 1;return BTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

二叉树查找值为x的节点(BTreeFind)

        思路:就如果根节点为空,直接返回NULL,如果找到了就返回x这个节点的地址。

        从根节点开始遍历,先从左子树开始找,继续循环上述思路,如果节点不为NULL,但是节点不为x,那也是返回NULL,注意这个NULL是返回上一层的,谁调用它就返回给此函数。之后找右子树,也是一样的思路。

        左子树整体找完之后,从右子树整体开始找,重复上述过程。特别强调一个点,return返回的时候不会return到最外层,一定是逐层逐层返回的,没有跳跃的一个过程

画出递归展开图:

代码实现:

BTNode* BTreeFind(BTNode* root,BTDataType x)
{if (root == NULL)return NULL;if (root->data == x)return root;int ret1 = BTreeFind(root->left, x);if (ret1)return ret1;int ret2 = BTreeFind(root->right, x);if (ret2)return ret2;return NULL;
}

二叉树的层序遍历(LevelOrder)

层序遍历是用队列实现的,所以要使用队列的结构体,以下的结构体都要用到

typedef struct BTNode* QDataType;//注意这个地方的类型
typedef struct QueueNode
{	QDataType data;struct QueueNode* next;
}QNode;typedef struct Queue
{QNode* phead;QNode* ptail;int size;
}Queue;//表示队列整体,一个是出数据,一个是入数据.typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{BTDataType data;struct BinaryTreeNode* left;struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

画处解析图:

队列:先进先出

核心思路:上一层出时带下一层进队列

解析:  其实就是由原来的队列里面data的int类型,变成了struct BTreeNode* 类型的指针,指向了这个数节点。

代码实现: 

void LevelOrder(BTNode* root)
{Queue q;//在函数内部,定义了一个队列q,并通过调用QueueInit函数对队列进行初始化。QueueInit(&q);//如果根节点root不为空,将根节点入队,即调用QueuePush函数将root指针插入到队列q中。if (root)QueuePush(&q,root);while (!QueueEmpty(&q)){BTNode* front = QueueFront(&q);//首先通过调用QueueFront函数获取队列q的队首元素,并将其赋值给指针变量frontQueuePop(&q);//调用QueuePop函数将队首元素出队printf("%d ", front->data);//通过printf函数打印front指向的节点的数据值//如果front的左子节点不为空,将左子节点入队,//即调用QueuePush函数将front->left指针插入到队列q中		if (front->left)QueuePush(&q, front->left);//后面这个参数是一个值,不是地址//如果front的右子节点不为空,将右子节点入队,//即调用QueuePush函数将front->right指针插入到队列q中。if (front->right)QueuePush(&q, front->right);//后面这个参数是一个值,不是地址//循环体内的操作完成后,继续下一次循环,直到队列q为空。}//最后,打印换行符表示层序遍历结束,
//并调用QueueDestroy函数销毁队列q,释放内存。printf("\n");QueueDestroy(&q);
}

二叉树的销毁(BTDestroy)

       解析:要先判断根节点本身是否为空,为空就不销毁,返回。

        销毁是用到后序遍历的,因为中途删掉了根节点,那么左右指针就找不到了,所以后序遍历适合实现二叉树的销毁。

 画图:

void BTDestroy(BTNode* root)
{if (root == NULL){return NULL;}BTDestroy(root->left);BTDestroy(root->right);free(root);
}

判断一棵树是否为完全二叉树(BinaryTreeComplete)

非完全二叉树

完全二叉树

        思路一样的就不画动图了,只要前面遇到一次空,立即跳出循环,停止插入元素,然后检查后面的元素是否为空,后面全是空就是完全二叉树了。

以下这个二叉树就不是完全二叉树了

 代码实现:

bool BTreeComplete(BTNode* root)
{Queue q;QueueInit(&q);if (root)QueuePush(&q,root);while (!QueueEmpty(&q))//遍历树直到找到第一个空节点{BTNode* front= QueueFront(&q);QueuePop(&q);//遇到空就跳出if (front == NULL){break;}QueuePush(&q, front->left);QueuePush(&q, front->right);}// 检查后面的节点有没有非空// 有非空,不是完全二叉树while (!QueueEmpty(&q))//由于中途遇到空,所以跳出循环,这次循环是为了检查后面元素是否为空{BTNode* front = QueueFront(&q);QueuePop(&q);if (front){QueueDestroy(&q);return false;}	}QueueDestroy(&q);return true;
}

执行: 

 

        本篇到此结束,感谢来访!

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